4. Деление

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь.

Если а  b = с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

В теоретико-множественной теории операция деления связана с разбиением множества на классы.

Пусть дано множество А и совокупность А₁, А₂,...A_b равномощных его подмножеств – разбиение множества А на классы, символи­чески это можно записать так:

А, А₁~А₂~...~ A_b,где А_i  А,i= 1,2, ..., b.

Если выполняются условия:

1. А_i , где 1 = 1,2,...,b;

2. А_iA_j = , где i  j и i, j = 1,2,...,b;

3. А_i  А₂ …_b = А

Иn(A) = с, п(А₁) = n(A₂) = ... = п(А_b) = а, то п(А) = п(А₁)+п(А₂)+...+п(А_b) = a + a+…+a = a b

b

Получаем a b = с.

Рассмотрим две задачи. В первой – по количеству элементов множества А и числу равномощных классов требуется найти число элементов в каждом из классов А_i разбиения множества. Во второй – по количеству элементов множества А и каждого из равномощных классов А_i требуется определить количество классов разбиения.

Задача 14.

Известно: число элементов множества А, п(А) = с, число равномощных классов – b. Найти: число элементов в каждом классе, п(А_i) = а –?

Так как a b = с, то а = с : b или п(А_i) = п(А) : b, где i = 1, 2, ..., b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число равномощных классов обозначает число элементов в каждом из равномощных классов.

Эта задача на деление на равные части.

Задача 15.

Известно: число элементов множества А, п (А) = с, число элементов в каждом из равномощных классов, п (А_i) = а. Найти: число клас­сов – b.

Так как a b = с, то с : а = b или п(А):п (А_i) = b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число элементов, в каждом из равномощных классов обозначает число рав­номощных классов.

Эта задача на деление по содержанию.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное число b с остатком – это, значит, найти такие целые неотрица­тельные числа q и r, что

а = bq + r, где 0  r < b.

Пусть а = п(А) и множество А разбито на множества А₁, А₂,... А_q, D, В так, что множества А₁, А₂,... А_q равночисленны, а множество D содер­жит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁, А₂,... А_q. Тогда, если п(А₁) = п(А₂) = ...= п(А_q) = b, а п(D) = r, то а = bq + r, где 0  r < b, причем число q (равночисленных множеств) является неполным час­тным при делении а на b, а число r (число элементов в D) – остатком при этом делении.

Задача 16.

Решить и объяснить выбор действий.

У бабушки было 10 морковок. Она связала их в пучки по 5 морко­вок в каждом. Сколько получилось пучков?

Решение:

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество морковок, которые были у бабушки, п(А) = 10. А₁, А₂,...А_b – разбиение множества А на классы. А_i – множество морковок в каждом классе (пучке), А₁ ~ А₂~…~ А_b, п(А_i) = 5. Надо найти число классов b. п(А) = 10 = с; п(А_i) = 5 = а, т.к. аb = с, то b = с:а или b = п(А): n(А_i) =10:5 = 2.

Получилось 2 класса, т.е. 2 пучка.

Задача 17.

Решить и объяснить выбор действий.

12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех карандашей. п(А) = 12. А₁, А₂, А₃ – разбиение множества A на классы. А₁~А₂~А₃, число равномощных классов b = 3.

Найти: число элементов в каждом из равночисленных классов, п(А_i) = а – ?, с = п(А) = 12, b = 3, а – ?

Т.к. с = а b, то а = с: b = 12: 3 = 4 или п(А_i) = п(А): b, п(А_i) =12:3=4.

В каждом классе 4 элемента, каждый ученик получил по 4 каран­даша.

Эта задача на деление на равные части.

Задача 18.

Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи.

13 ложек разложили на столы, по 4 ложки на каждый. На сколько столов положили ложки и сколько ложек осталось?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех ложек, п(А) = 13 = а, А_i – множество ложек на одном столе.

А₁~А₂~ ... ~А_q, n(A₁) = п(А₂) =...= п(А_q) = 4 = b, q – число равно­численных множеств (число столов) - надо найти.

D – множество ложек, которые остались, п(D) = r – число ложек, которое надо найти.

А = (А₁ А₂ ... A_q)  D.

п(А) = (А₁ А₂ ... A_q) + n(D), (А₁ А₂ ... A_q)  D = .

а = bq+r, т.е. 13 = 4q + r.

Чтобы найти q и r, надо выполнить деление с остатком 13 на 4, 13 : 4 = 3 (ост. 1), 13 = 43 + 1.

Ложки положили на 3 стола, и одна ложка осталась.

Задача 19.

(это задача на отношение «меньше в...») Решить.

Оля нашла 8 подосиновиков, а белых грибов в 2 раза меньше. Сколько белых грибов нашла Оля?

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств.

А – множество подосиновиков, которые нашла Оля, п(А) = 8. В – множество белых грибов, в котором белых грибов столько же, сколько подосиновиков, В ~А, тогда п(В)= 8.

В 2 раза меньше равносильно разбиению множества В на 2 равно­численных непересекающихся подмножества В₁ и В₂, где В₁ ~ В₂; В₁ B₂ =  и B₁B₂ = B.

Решение: п(В) = п(B₁B₂) = п(B₁) + п(B₂) = 2п(B₁)

8 = 2  п(В₁), тогда п(В₁) = 8 : 2 = 4.

A -

B -

B₁ B₂

Оля нашла 4 белых гриба.

Задача 20.

(это задача на отношение «больше в...» в косвенной форме.)

Решить.

У Коли 6 открыток, это в 3 раза больше, чем у Лены. Сколько от­крыток у Лены?

Решение:

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств.

А – множество открыток у Лены, п(А) = а – ?

В – множество открыток у Коли, п(В) = b = 6.

У Коли в 3 раза больше, чем у Лены, тогда В₁ ~B₂ ~В₃ ~ A, где В₁, B₂, В₃, – разбиение множества В на классы.

A–

В –

В₁ В₂ В₃

В = В₁ В₂ В₃, где В1 В₂ = , 5_; В1 В₃ = ,В₂  В₃ = , n(B) = 3а, 6 = 3а, а = 6:3, а = 2.

Множество A состоит из двух элементов, у Лены 2 открытки.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение частного и деления в аксиоматической теории. Докажите, что 8:4 = 2.

2. Каков теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел? Рассмотрите задачи: на деление на равные части; на деление по содержанию.

3. Сформулируйте правило деления суммы на число и дайте его теоретико-множественное истолкование. Приведите примеры использования этого правила в начальном курсе математики.

4. Объясните теоретико-множественный смысл деления с остатком. Каким образом рассматривают это действие в начальных классах?

5. Из учебников математики для начальных классов приведите примеры задач, при решении которых раскрывается теоретико-множественный смысл частного.

Упражнения

383. Используя теоретико-множественный смысл частного, объяснить смысл выражений:

а) 10: 2; б)5:1; в) 5 : 5.

384.Решить и обосновать выбор действий, пользуясь теоретико-множественным истолкованием натурального числа.

а)Из леса нужно вывезти 27 больших бревен. Трактор может вывозить каждый раз по 9 бревен. Сколько раз трактору нужно съездить в лес за бревнами?

б)Толя собрал для коллекции 18 красивых марок и разместил их на 3 листах поровну. Сколько марок на каждом из этих листов?

385. а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой 35 кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины по 10 кочанов в каждую. Сколько потребовалось корзин?

б) Девочка принесла 30 морковок. 12 морковок она положила в корзину, а остальные раздала поровну 9 кроликам. Поскольку морковок она раздала каждому кролику?

386. а) Во дворе играли 5 девочек и 7 мальчиков. Для игры в волейбол они разделились поровну на 2 команды. Сколько детей было в каждой команде?

б) В студенческом строительном отряде было 19 юношей и 8 де­вушек. Они разбились на бригады по 9 человек. Сколько бригад получилось?

387. а) С горы на санках скатились 18 ребят, а на лыжах в 3 раза меньше, чем на санках. Сколько всего ребят скатилось с горы?

б) В школьном саду 8 яблонь, а груш в 4 раза меньше. Сколько всего яблонь и груш в саду?

388. а) Юннаты посадили 20 слив, в 4 раза больше, чем вишен. Сколько вишен посадили в саду?

б) На мельницу привезли 10 мешков ржи, в 2 раза больше, чем пшеницы. Сколько всего мешков зерна привезли на мельницу?

389. а) Мальчик выпилил 16 дощечек и сделал из них скворечники, расходуя по 8 дощечек на каждый. Сколько скворечников сделал мальчик?

б) Мальчик выпилил 12 дощечек и сделал из них 4 одинаковые кормушки для птиц. Сколько дощечек он израсходовал на каждую кормушку?

390. а) Во дворе гуляли 4 утенка и 8 цыплят. Во сколько раз больше было цыплят, чем утят? Во сколько раз было меньше утят, чем цыплят?

б) У Лены было 2 красных шарика и 6 зеленых. Во сколько р; красных шариков меньше, чем зеленых? Во сколько раз зелен шариков больше, чем красных?

391. а) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды, чтобы девочек и мальчиков было в каждой команде поровну. Сколько человек было в каждой команде? Сколько девочек и мальчиков в каждой команде?

б) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хло­пушки раздали детям по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?

392. а) Юннатам надо было посадить 26 луковиц тюльпанов. Они садили их по 8 штук в каждом ряду. Сколько рядов получилось? Сколько еще осталось луковиц?

б) Купили 85 кубиков и 55 кеглей для детского сада. Их упаковали в пакеты. Кубиков – по 10 в каждый, кеглей – по 6 в каждый. Оставшиеся кубики и кегли положили в один пакет вместе. Сколько пакетов с кубиками и сколько с кеглями получилось? Сколько кубиков и кеглей положили в последний пакет?

Студент по данной теме должен уметь:

• доказывать теоремы о теоретико-множественном смысле арифметических действий;

• обосновывать выбор действий при решении текстовых задач;

• обосновывать законы арифметических действий с теоретико-множественных позиций;

• выполнять теоретический анализ заданий из учебников математики для начальной школы;

• при решении задачи различными способами определять свойства (правило, закон), которое является обобщением приведенных способов решения задачи.

1Эту равносильность часто используют при доказательстве теорем методом от противного.

16