2. Функции

Функция – одно из важнейших понятий математики.

__________________________________________________________________

Определение 5. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством действительных чисел R, при котором каждому числу множества X соответствует единственное число из множества R.

_____________________________________________________________________________________________

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др.

Если f – функция на множестве X, то действительное число у соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной), а у – функцией.

Множество чисел вида f(x) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Часто функции задают с помощью формул y = f(х), указывающих как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Иногда при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) (множество допустимых значений выражения f(x)).

Кроме формул, функции могут быть заданы:

- при помощи таблицы;

- графически.

Графиком функции у = f(х) с областью определения X является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(х) для всех х из множества X.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции.

Например,

Линия не является графиком функции.

Функции могут обладать многими свойствами, одно из которых – монотонность.

__________________________________________________________________

Определение 6. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 7. Функция f называется возрастающей на некото­ром промежутке А, если для любых чисел X₁ и Х₂ из множества А выполняется условие: х, < х₂ => f(x₁) < f(х₂) (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 8. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x₁, х₂ из множества А вы­полняется условие: x₁ < х₂ = f(x₁) > f(х₂) (большему значению аргу­мента соответствует меньшее значение функции).

____________________________________________________________________________________

Пример 4.

Функция задана аналитически (формулой) у = 2х + 1.

1. Построить график функции, если ее область определена

а) Х = [– 0; 2]; б) Х = {– 2, – 1, 0, 1,…}; в) X = R

2. Исследовать на монотонность

1). Построить график функций:

а) б) в)

2) исследуем функцию на монотонность. Пусть х₁ < х₂  f(x₁)= 2x₁ + 2 и f(x₂) = 2x₂ + 2.

Найдем разность

f(x₁) – f(x₂)= (2x₁ + 2)–( 2x₂ + 2) =(2x₁ – 2x₂)+ 2 – 2 = 2 (x₁ – x₂)<0, т.к. x₁ < x₂;

f(x₁) – f(x₂)<0 f(x₁) < f(x₂)

Получили: x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂), по определению (6) функция у = 2х + 2 возрастающая.

__________________________________________________________________

Определение 9. Прямой пропорциональностью называется функ­ция вида у =kх, где k  0 и k – действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае ( k  0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

4. Если f – прямая пропорциональность и (х₁ у₁), (х₂, у₂) – пары соответственных значений переменных х и у, причем х₁  0, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство прямой пропорциональной зависимости можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

__________________________________________________________________

Определение 10. Обратной пропорциональностью называет функция вида у = ,где к – не равное нулю действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

Если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то эти величины называют обратно пропорциональными.

В нашем случае х  у = k(k 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства обратной пропорциональной зависимости

1. Областью определения и областью значений функции множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком функции является гипербола.

3. При k > 0 – функция убывающая на всей области определения, при k < 0 – функция возрастающая на всей области определения.

4. Если f – обратная пропорциональность и (х₁, у₁), (х₂, у₂) - пары соответственных значений переменных х и у, то . Еслих > 0 и у > 0, то основное свойство обратной пропорциональной зависимости, сформулировать можно так: с увеличением (уменьшением) значения аргумента х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

___________________________________________________________________

Определение 11. Функция, которая может быть задана при помо­щи формулы у = kх + с, называется линейной, k  0.

______________________________________________________________________________________________

Некоторые ее свойства:

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком является прямая, пересекающая ось ОY в точке с ординатой с.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

Задача 4.

Задания для младших школьников:

1. Увеличить каждое четное однозначное натуральное число в 2 раза.

2. Заполнить таблицу:

Делимое	8	8	8	8
Делитель	1	2	4	8
Частное

Функции, приведенные в этих пунктах, задайте при помощи формул и укажите для каждой область определения и множество значений.

Решение:

1. Четные однозначные числа 2, 4, 6, 8.Увеличиваем каждое из них в 2 раза: 4, 8, 12, 16.

Задаем формулой у = 2х. Область определения Х= {2, 4, 6, 8}.

Множество значений Y = {4, 8, 12, 16}.

2. Заполняем таблицу

Делимое	8	8	8	8
Делитель	1	2	4	8
Частное	8	4	2	1

Задаем функцию формулой

Область определения X = {1, 2, 4, 8}.

Множество значений Y = {1,2,4, 8}.

Основными свойствами прямой и обратной пропорциональности можно пользоваться при решении текстовых задач.

Задача 5.

Из куска ткани длиной 20 м в мастерской сшили 5 одинаков костюмов. Сколько потребуется ткани на 15 таких же костюмов?

Решение:

В задаче идет речь о расходовании ткани на костюмы. Этот процесс характеризуется тремя величинами: количеством (в данном случае надо говорить о длине, но в таких ситуациях чаще употребляется слово «количество») ткани, расходуемой на один костюм, количеством костюмов и количеством ткани, израсходованной на все костюмы. Согласно условию задачи количество ткани, расходуемой на один костюм, не меняется. Обозначим его буквой k. Количество костюмов х и количество израсходованной на них ткани у изменяются, они связаны между собой зависимостью у = kx, т.е. зависимость количества ткани, израсходованной на костюмы, от количества костюмов прямо пропорциональная. Прямая пропорциональность является математической моделью ситуации, представленной в задаче.

Запишем основное свойство этой зависимости .

Решим задачу двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1. 20 : 5 = 4(м); 1. 15 : 5 = 3 (раза);

2. 4  15 = 60 (м); 2. 20  3 = 60 (м).

Решая задачу первым способом, сначала нашли количество тка­ни, расходуемой на один костюм, – коэффициент к. Затем, зная что у = 4х, нашли значение у при условии, что х = 15.

При решении задачи вторым способом воспользовались основным свойством прямой пропорциональной зависимости: во сколько раз увеличивается количество костюмов, во столько же раз увеличивается количество ткани, израсходованной на их изготовление.

Задача 6.

Мастер делает 6 деталей за 1 час, а ученик – 2 детали. Мастер сделал 48 деталей. Сколько деталей сделает ученик за это же время ?

Решение:

В задаче рассматриваются величины: время, производительность труда – количество деталей в 1 час, работа – количество всех деталей, сделанных мастером или учеником. Первая величина – время – постоянная, а две другие принимают различные значения.

Составим таблицу:

	Работа	Производительность труда	Время
Мастер	48 д.	6 д.	Одинаковое Одинаковое
Ученик	?	2 д.

Работа и производительность труда находятся в прямой пропорциональной зависимости.

Если работу обозначим буквой А, время – t, производительность труда – p, то получим А = = t р, а отношение А : р = t – постоянная.

В задаче надо найти работу, следовательно, А – функция. Производительности труда у ученика и у мастера разные, значит р – аргумент, время t постоянно – , это коэффициент пропорциональности.

Обозначим время работы буквой k, работу – у, производительность х, тогда получим или у = kх, т.е. математической моделью ситуации в задаче является прямая пропорциональность.

Решим задачу двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1. 48 : 6 = 8 (ч); 1.6 : 2 = 3 (раза);

2. 2  8 = 16 (д); 2. 48 : 3 = 16 (д).

Решив задачу первым способом, мы нашли сначала время работы мастера и ученика – коэффициент пропорциональности k, он равен 6.

Затем, зная, что А = 8  2 = 16, нашли значение А при условии, что р = 2.

При решении задачи вторым способом воспользовались основным свойством прямой пропорциональной зависимости: во сколько раз производительность ученика меньше производительности мастера, во столько же раз меньше деталей сделает ученик.

Задача 7.

Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста 15 км/ч. Велосипедист проехал расстояние от села до железнодорожной станции за 4 часа. За сколько часов можно проехать это расстояние на машине?

Решение:

В задаче рассматриваются величины: скорость движения, время движения и расстояние, причем последняя величина (расстояние от села до железнодорожной станции) – постоянна, а две другие принимают различные значения.

Составим таблицу:

	Скорость	Время	Расстояние
Машина	60 км/ч	?	Одинаковое
Велосипед	15 км/ч	4ч

Скорость и время движения – величины обратно пропорциональные, т.к. их произведение равно некоторому числу, а именно расстоянию от железнодорожной станции до села, т.е. t  v = S.

В задаче надо найти время движения машины, значит, t – функция. Обозначили время движения машины – у. Скорости разные, значит, V – аргумент х, S – постоянно, то есть S – коэффициент пропорциональности k; у = . Время находится в обратной пропорциональной зависимости от скорости при постоянном расстоянии.

Запишем основное свойство этой зависимости:

Решим задачу двумя арифметическими способами.

1 способ: 2 способ:

1. 15-4 = 60 (км); 1. 60 : 15 = 4 (раза);

2. 60 : 60 = 1 (ч); 2. 4:4=1 (ч).

Решая задачи первым способом, мы сначала нашли расстояние 60 км (коэффициент пропорциональности).

Затем, зная, что t = нашли значение t при условии, что V = 60. При решении задачи вторым способом воспользовались основым свойством обратной пропорциональности.

Во сколько раз скорость движения машины больше скорости движения велосипедиста, во столько же раз время движения меньше времени движения велосипедиста.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение соответствия между элементами двух множеств. Приведите примеры соответствия между элементами множеств А = {7, 13, 5, 26, 3, 44, 652} и В = {1, 2}. Задайте его перечислением пар, графом. Укажите образ 652 и прообраз 2.

2. Сформулируйте определение функции.

3. Какая функция называется возрастающей, убывающей, монотонной?

4. Назовите способы задания функций.

5. Сформулируйте определение прямой пропорциональной зависимости, ее свойства, основное свойство.

6. Сформулируйте определение обратной пропорциональной зависимости, ее свойства, основное свойство.

7. Сформулируйте определение линейной зависимости, ее свойства.

Постройте графики функций:

а) у = 2х;

б) у = – 3х;

в) у = ;

г) у = ;

д) у = 2х – 3;

е) у = –3х + 2.

Упражнения

228. Соответствие Р – «число х кратно числу у» – задано между элементами множеств А = {14, 35, 48, 37} и В = {2, 3, 4, 5}, причем х  А, у В. Постройте граф соответствия, укажите образы элементов 48 и 37 и прообраз 2.

229. Соответствие S – «число х делитель числа у» – задано между эле­ментами множеств А = {1, 3, 5} и В = {6, 8, 15, 16}. Задайте перечислением пар, графиком, характеристическим свойством, графом. Укажите прообразы чисел 15 и 16.

230. Задать соответствие между множествами перечислением пар, графом, графиком с помощью характеристического свойства. Указать образ

последнего элемента из множества А и прообраз первого элемента из множества В.

231. А ={1,2, 3,4}; В ={7, 8, 9};

RAB; x S y  (x + y)2.

232. А ={1, 2, 3, 4}; В = {7, 8, 9};

P  АВ; х Р у 

234. А ={1,2, 3,4}; В ={7, 8, 9};

К  АВ; х К у  х 2  у 2.

235. A = {1, 2, 3, 4}; B= {7, 8, 9};

R  АВ; х R у 

236. А = {1,2, 3,4}; В ={7, 8, 9};

P  АВ; х Р у 

237. A = {1,2,3,4}; B = {7, 8, 9};

K АВ; х K у 

238. A ={1, 2, 3, 4}; B ={5, 6, 7, 8, 9};

S  АВ; х S у  y > x в 3 раза.

239. A = {1, 2, 3, 4}; B ={5, 6, 7, 8, 9};

P  АВ; х Р у  х < y на 4.

240. Каждому числу из множества X = {4, 5, 6} поставлен в соответствии его делитель из множества натуральных чисел. Является ли это соответствие функцией?

241. Постройте графики функции и найдите множество значений функций:

1. у = х – 3;

2. у = 2 – х, если области определения х таковы:

а) Х = N\{5}; б) Х = [1,5]; в) Х=R.

242. Функции заданы при помощи таблицы:

Таблица 1

х	1	2	3	4	5
у	2	4	6	8	10

Таблица 2

х	1	2	3	4	5
у	4	5	6	7	8

Таблица 3

х	1	2	3	4	5
у	4	3	2	1	0

Для каждой из функций:

а) укажите область определения и область значений;

б) задайте функцию при помощи формулы;

в) постройте график;

г) выясните, является функция возрастающей или убывающей.

243. Какие из следующих формул задают на множестве действительных чисел R функцию: а) у = 2х; б) у =; в) у – 3х = 2; г) х² + у² = 9 ?

244. До привала туристы прошли 5 км. После привала они шли х часов скоростью 3 км/ч. Составьте формулы, выражающие зависимость всего пройденного расстояния (у км) от времени движения (х ч.): а) после привала и б) с начала движения. Какие функции задают эти формулы. Каковы области определения их, если весь пройденный туристами путь не превышает 23 км?

245. Стороны прямоугольника 4 см и х см. Запишите формулы, выражающие зависимость от длины стороны для: а) площади (у см²) и б) периметра (у см). Постройте графики этих зависимостей при условии, что х  5.

246. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 6 см². Запишите формулу, выражающую зависимость высоты этого прямоугольника от основания. Постройте графики этой зависимости при условии, что стороны прямоугольника не превышают 3 см, учитывая, что: а) хR; б) хN.

247. Найдите множества значений функции у = 4 – х² , если область ее определения является множеством Х:

а) Х = R;

б) Х = (–,0)

в) Х = –2, 2;

г) Х={–2; –1; 0; 1; 2}.

Постройте графики функции для всех случаев.

248. Найдите область определения функции:

а) у = 3х – 2;

б) у = ;

в) у = ;

г) у = 3х;

д) у = 7х;

е) у = ;

ж) у = 3;

з) у = ;

и) у = ;

к) у = .

249. Не выполняя построения графика, установите, принадлежит ли графику функции у = 2х – 3 точка М, если:

а) М(0,4); б) М(3, –3); в) М(1, –1).

250. Постройте график функции у = 2х, зная, что ее область определе­ния есть:

а) множество действительных чисел R;

б) множество целых чисел;

в) промежуток [–2, 2 ];

г) множество Х= {– 2, –1, 0, 1, 2}.

251. Установите вид зависимости, в которой находятся переменные х и у, если:

а) х – длина стороны квадрата, у – его периметр;

б) х – длина стороны квадрата, у – его площадь;

в) х – число страниц, перепечатываемых машинисткой за 1 час, у – число часов, за которое она перепечатывает рукопись;

г) х – число прочитанных страниц книги, у – число страниц, оставшихся непрочитанными.

252. Какие из нижеприведенных таблиц задают функцию? Какие из них задают прямую или обратную пропорциональность? Для по­следних задайте функцию формулой и постройте график.

а)

х	1	2	3	4
у	3	6	3	6

б)

х	1	2	3	4
у	3	6	9	12

в)

х	1	2	3	4
у	12	6	4	3

г)

х	1	2	3	4
у	3	5	7	9

д)

х	1	2	3	4
у	15	30	60	90

е)

х	1	2	3	4
у	60	30	15	10

253. Решить задачи разными способами, способы решения обосновать:

а) Из двух городов выехали навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Автомобилист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал мотоциклист, если он двигался со скоростью 45 км/ч?

б) Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 5 км/ч?

в) В первый день магазин продал 8 одинаковых портфелей и получил за них 800 рублей. Во второй день было продано 4 таких же портфеля. Сколько денег получили за портфели во второй день?

г) С участка собрали 6 мешков картофеля по 50 кг в каждом. Этот картофель разложили в ящики по 25 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?

д) Два столяра отремонтировали стульев поровну. Первый столяр работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день. Сколько работал второй, если он ремонтировал по 5 стульев в день?

е) Из города А в город В на поезде можно доехать за 21 час. За сколько часов можно долететь на самолете из города А в город В, если скорость самолета 700 км/ч, а скорость поезда 100 км/ч?

ж) Три трактора могут вспахать поле за 60 часов. За сколько времени вспашут это поле 9 таких же тракторов?

з) Купили 2 кг груш по 42 руб. и бананы по 21 руб. Сколько купи­ли бананов, если за груши и бананы заплатили поровну?

и) Из пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг дугу два пешехода. Первый двигался со скоростью 4 км/ч и прошел до встречи 12 км. Сколько прошел второй пешеход, если он двигался со скоростью 2 км/ч?

к) Купили большие альбомы по 200 рублей и столько же малень­ких альбомов по 50 рублей. Сколько заплатили за маленькие аль­бомы, если за большие заплатили 600 рублей?

254. Между элементами множеств А = {1,9,3,8} и В = {16,2,6,18} задайте два соответствия так, чтобы одно из них было функцией.

255. Соответствие f между множествами X = [–3, 1] и Y = R задано уравнением у = х². Докажите, что f – функция и постройте ее график.

256. Постройте график функции f, заданной уравнением у = – 2х, и найдите с его помощью f (–1,5), f (2, 7), f (3, 4). На какое множество отображает данная функция промежуток (1, 3]?

257. Постройте график функции у = – х + 6. Используя построенный график, установите, на какое множество данная функция отображает промежуток [0, 3].

258. С турбазы на станцию, отстоящую от нее на 20 км, отправился турист со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии (s км) от станции он будет через t ч? Покажите, что соответствие между значениями s и t — функция. Каковы ее область определения и множество значений?

259. Периметр правильного многоугольника равен 100 см. Напишите уравнение, выражающее зависимость между числом сторон многоугольника (х) и длиной его стороны (у). Какую функцию задает это уравнение?

260. Используя понятие прямой и обратной пропорциональности, обоснуйте способы решения нижеприведенных задач, рассматриваемых в начальных классах:

а) За 3 м ткани уплатили 12 р. Сколько стоит 15 м ткани, купленной по той же цене?

б) Швея сшила 96 наволочек за 6 дней. Каждый день она шила поровну. За сколько дней она может сшить 32 наволочки при той же норме выработки в день?

в) Автомобиль «Москвич» на 100 км пути расходует 9 л бензина. Сколько литров бензина расходует эта машина на 500 км пути?