3. Бинарные отношения

Пусть р  Х Y; если Х = Y, то в этом случае говорят о бинарном отношении между элементами одного множества или об отношении на множестве и пишут p  х или р  х²

Отношения на множестве X могут обладать следующими свойствами:

1. Говорят, что отношение р обладает свойством рефлексивности, если для любого х из множества Х истинно х р х, другими словами, если каждый элемент х  Х находится в отношении р с самим собой (хХ)х р х – И.

2. Говорят, что отношение р обладает свойством антирефлексивности если о любом элементе множества х можно сказать, что он не находится в отношении р с самим собой.

(х Х)–И.

3. Говорят, что отношение р обладает свойством симметричности, если для всех элементов х и у из множества Х истинно утвержде­ние: если элемент х находится в отношении р с элементом у, то и элемент у находится в отношении р с элементом х.

(х, у Х)хру  урх –И.

4. Говорят, что отношение/» обладает свойством антисимметрич­ности, если для всех различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в отношении р с элементом у, сле­дует, что элемент у не находится в отношении р с элементом х.

(х, у Х, х  у)х р у – И.

5. Говорят, что отношение р обладает свойством транзитивности, если для всех элементов х, у, z из множества X истинно утверждение: если элемент х находится в отношении p с элементом у и элемент у находится в отношении р с элементом z, то элемент х находится в отношении р с элементом z.

(х, у,z Х)х р у  у р z х р z – И.

6. Говорят, что отношение р обладает свойством связности, если для любых элементов х и у из множествах Х и х  у, следует, что или х находится в отношении р с у, или у находится в отношении р с х.

(х, уХ, х  у)х р у или у р х – И.

Указанные свойства отношений позволяют выделить два вида отношений.

1. Отношение р на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

Имеет место теорема:

Для того чтобы отношение р определяло разбиение множества Х на классы, необходимо и достаточно, чтобы р было отношением эквивалентности.

2. Отношение р на множестве X называется отношением порядка, если оно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

Множество Х с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Если отношение порядка, заданное на множестве X, обладает свойством связности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество X.

Задача 6.

На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5} задано отношение p, хрух >y

а) задать отношение перечислением пар;

б) построить граф отношения;

в) определить вид отношения.

Решение.

а) а = {(2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3);(5,1); (5,2); (5,3); (5,4)}

б

2

1. 3

5 4

)

в) Определим, какими свойствами обладает отношение.

1. Сформулируем свойство рефлективности: (хХ)х > х – Л. Получим ложное высказывание, отношение свойством рефлективности не обладает.

Следовательно, Р не является отношением эквивалентности.

2. Проверим далее остальные свойства.

3. Антирефлексивность:(xX)–-истинно, обладает.

4. Симметричность: (х, у  Х)х > у  у > х – ложно, не обладает.

5. Антисимметричность: (х, уХ, х  у) х > у  –истинно, обладает.

6. Транзитивность: (х, у, zХ), х > у и у > z  x > z – истинно, обладает.

7. Связность: (х, уХ, х  у) х > у или у > х – истинно, обладает.

Отношение р обладает свойствами антисимметричности и транзитивности, значит, оно отношение порядка, а т.к. оно обладает еще свойствами антирефлексивности и связности, то оно – отношение строгого линейного порядка, и множество X этим отношением линейно упорядочено (5 > 4 > 3 > 2 >1).

Задача 7.

На множестве Х= {х/х  N, х < 12} задано отношение К – «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Объясните, почему отношение К является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества, определяемые этим отношением.

Решение. Отношение К является отношением эквивалентности, т.к. оно рефлексивно (можно сказать, что любое число имеет один и тот же остаток при делении на 4 с самим собой), симметрично (если число х имеет один и тот же остаток при делении на 4 с числом у, то и число у имеет один и тот же остаток при делении на 4 с числом х), транзитивно (если число х имеет при делении на 4 тот же остаток, что и число у, а число у имеет при делении на 4 тот же остаток, что и число z, то числа х и z имеют равные остатки при делении на 4).

Как известно, любое отношение эквивалентности, заданное на множестве X, определяет разбиение этого множества на классы таким образом, что в один класс попадают элементы, находящиеся в данном отношении, а в разные классы – не находящиеся в нем. Таким образом, каждый класс будет состоять из чисел, дающих один и тот же остаток при делении на 4. Таких классов 4: {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7, 11}, {4, 8, 12}.