Умозаключения

Большую часть знаний об окружающей нас действительности получаем с помощью рассуждений. В логике вместо термина суждение» чаще используется в качестве его синонима слово «заключение». Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывания, содержащие новое знание, полученное из исходного.

В умозаключении из посылок выводится заключение. В словесных формулировках заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит» и др. Для удобства договорились записывать умозаключение с посылками А₁, А₂,..., А_и и заключением В в виде . В ней черта заменяет слово «следовательно».

Умозаключения делятся на дедуктивные (правильные) и недедуктивные (неправильные). Правильными называются умозаключения, в которых посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Неправильными называются все умозаключения, в которых нет логического следования между посылками и заключением.

Наиболее часто встречающиеся схемы правильных умозаключений (в математике они называются правилами вывода).

(правило заключения);

(правило отрицания);

(правило силлогизма).

Выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинное заключение. Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:

«Если запись числа х оканчивается четной цифрой, то число х делится на 2. Запись числа 126 оканчивается четной цифрой 6, следовательно, число 126 делится на 2».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) – это «запись числа х оканчивается четной цифрой», а В(х) – «число х делится на 2». Частная по­сылка представляет собой высказывание, которое получилось из усло­вия общей посылки при х = 126 (т.е. это А(126)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 126 (т.е. это В(126)). Таким образом, форма данного умозаключения такова:

Истинность умозаключений, выполненных по правилам заключе­ния, отрицания и силлогизма, можно показать, если записать правила на теоретико-множественном языке. Покажем, например, что умозаключение, выполненное по правилу силлогизма, является правильными.

Посылка А (х) => В(х) может быть записана в виде Т_А  Т_В, где Т_А и Т_В – множества истинности предикатов А(х) и В(х). Посылка В(х) => С(х) может быть записана в виде Т_В  Т_С, где Т_В и Т_С – множес­тва истинности предикатов В(х) и С(х). Заключение А (х) => С(х) можно записать в виде Т_А  Т_С.

Всё умозаключение, построенное по правилу силлогизма, запи­шется на теоретико-множественном языке так:

Изобразив на кругах Эйлера множества Т_А , Т_В , Т_С, мы видим, если Т_А  Т_В и Т_В  Т_{С ,} то Т_А  Т_С.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение

а) объема понятия;

б) содержания понятия.

2. Какие виды понятий вы знаете? Назовите понятия, относящиеся к каждому виду.

3. Назовите способы определения понятий и перечислите основные требования к ним.

4. Что называется умозаключением?

5. Какое умозаключение называется дедуктивным?

6. Записать правила:

а) заключения; б) отрицания; в) силлогизма.

7. Изобразить с помощью кругов Эйлера правила: а) заключения; б) отрицания.

Упражнения

211. Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «четырехугольник», и выясните, являются ли прямоугольниками фигуры, изображенные на рисунке 12. Ответ обоснуйте.

212. Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «параллелограмм», и выясните, являются ли прямоугольниками фигуры, изображенные на рисунке 13. Ответ обоснуйте.

213. Дайте определение квадрата, указав в качестве родового понятия понятие «прямоугольник», и выясните, какие из фигур, изображенных на рисунке 14, являются квадратами, а какие – нет. Ответ обоснуйте.

214. Дайте определение параллелограмма и выясните, какие из фигур, изображенных на рисунке 15, являются параллелограммами, а какие – нет. Ответ обоснуйте.

F₂

Рис. 12

F₂

Рис. 13

F₃

F₁

F₂

Рис. 14

F₂

F₃

F₁

Рис.15

215. Известно, что равносторонним является треугольник, у которого все стороны равны. Используя данное определение, выясните правильны ли следующие обоснования:

а) АВС – равносторонний, так как АВ = ВС.

б) ВЕР не является равносторонним, так как ВЕ  ЕР.

216. Дайте определение трапеции и на его основе выясните, правильны ли следующие обоснования:

а) Четырехугольник АВСД – трапеция, так как ВС || АД и АВ СД.

б) Четырехугольник ЕFКL не является трапецией, так FК ЕL. Ответ обоснуйте.

217. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника, указав в качестве видового отличия следующие свойства: «Хотя бы две стороны треугольника равны», и выясните, правильны ли следующие обоснования:

а) треугольник АВС не является равнобедренным, так как АВ  ВС.

б) треугольник DEF является равнобедренным, так как ЕF = FD. Ответ обоснуйте.

В задачах 159-161 выясните, правильно ли определены понятия, в случае же отрицательного ответа внесите соответствующие изменения в определение.

218. а) квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны;

б) именем прилагательным называется часть речи, обозначающая признак предмета и отвечающая на вопрос «какой»?

219. а) ромбом называется четырехугольник, у которого все стороны равны;

б) прямоугольником называется ромб с прямым углом.

220.а) биссектриса угла – это луч, делящий угол пополам;

б) равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны.

221. Дайте определение равнобочной трапеции, используя в качестве родового понятия: а) многоугольник; б) четырехугольник; в) трапецию.

222. В каждом из нижеприведенных умозаключений выделите посылки и заключение: а) Все студенты нашей группы ходили на экскурсию. Волкова учится в нашей группе. Значит, она ходила на экскурсию.

б) Все хвойные – вечнозеленые. Ель – хвойное дерево. Значит ель – вечнозеленая.

в) Каждый студент нашего факультета бывает в подшефном детском доме. Маша ни разу не была в этом детском доме. Следовательно, Маша не учится на нашем факультете.

г) Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3. Число 27 делится на 9, следовательно, число 27 делится на 3.

д) Всякое натуральное число – целое. Число 4, 5 не является целым, следовательно, оно не является натуральным.

223. Запишите логическую форму умозаключений, приведенных в № 221, и укажите те из них, которые построены по правилу:

а) отрицания; б) заключения; в) силлогизма.

224. Является ли данное рассуждение дедуктивным:

а) Если студент получил зачет по математике, он будет допущен к экзамену. Ребров не допущен к экзамену, следовательно, он не сдал зачет.

б) Все туристы оптимисты, Егор не турист, следовательно он не оптимист.

Запишите это умозаключение на теоретико-множественном языке.

225. Является ли данное рассуждение правильным: все числа, делящиеся на 9, делятся на 3. Число 105 не делится на 9. Значит, число 105 не делится на 3.

226. Все ромбы являются параллелограммами, четырехугольник а не ромб. Следовательно не является параллелограммом.

227. Все туристы – оптимисты. Сергей не оптимист, следовательно он не турист.

По теме данной главы студент должен уметь:

• формулировать определения высказывания и предиката;

• определять истинностные значения высказываний и находить множества истинности предикатов;

• строить отрицание высказываний с кванторами;

• выделять отношения рода и вида между понятиями, изучаемыми в начальной школе ;

• раскрыть смысл понятия «отношение следования между предложениями» и приводить примеры таких отношений;

• приводить примеры задач из учебников математики начальной школы, формирующие у учащихся представления об объеме и содержании понятий;

• строить правильные умозаключения;