4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком

Присоединим к множеству N еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается N₀ или Z₀. Таким образом, N₀= N {0}.

Относительно числа 0 условились, что оно меньше любого натурального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами:

(а  N) а + 0 = 0 + а = а; (а  N) а – 0 = а;

(а  N) а  0 = 0  а = 0; (а  N) 0 : а = 0;

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0; 0  0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.

Можно, используя отношение «непосредственно следовать за», понятий, введенных относительно множества N₀ и вышеприведенных равенств, сформулировать определения множества N₀, сложения и умножения на множестве N₀ (аналогично соответствующим опреде­лениям на множестве N).

Теорема 12.

Деление на нуль невозможно.

Доказательство.

Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а  0. Предположим, что частное таких чисел существует, т.е. ( с N_о)а = с  0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а  0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует, т.е. ( с N_о) такое, что выполняется равенство 0 = с  0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

______________________________________________________________________

Определение 10. Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0  r < b (q называют неполным частным, r – остатком).

___________________________________________________________________________________________________

Например: а) при делении 26 на 3 получим неполное частное 8 и остаток 2, 26 = 3 8 + 2; б) при делении 0 на 4, q = 0, r = 0, 0 = 4  0 + 0; в) при де­лении 1 на 5 получим неполное частное 0 и остаток 1, 1 = 5 0 +1.

Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 13. Для любого целого неотрицательного числа а и нату­рального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, причем 0  r < b. Эта пара чисел q и r- единственная для заданных а и b.

Задача 15.

Числа а и b при делении на 7 дают соответственно остатки 2 и 6. Какой остаток получится, если разделить на 7 произведение аb?

Решение.

Число а при делении на 7 дает в остатке 2 и поэтому имеет вид: а = 7q+ 2, q  N_о. Аналогично b = 7р + 6, р  N_о. Рассмотрим произведение этих чисел:

аb= (7q + 2)(7р + 6) = 49рq + 14р + 42q + 12 = 7  (7рq + 2р + 6q + 1) + 5= 7t+ 5.

t

Итак, ab = 7t + 5, t  N₀

Таким образом, установлено, что произведение чисел а и b при делении на 7 дает в остатке 5.

Контрольные вопросы

1. Объясните, почему не существует значение выражения 5:0?

2. Дайте понятие деления с остатком. Разделите с остатком: а) 33 на 8; б) 47 на 5; в) 11 на 17.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности пары чисел q и r при делении а на b.

4. Известно, что при делении т на п получили неполное частное q и остаток 15. Известно также, что одно из чисел т, п и q равно 12. Какое?

Упражнения

330. Разделите на 6 с остатком каждое из чисел от 6 до 19. На какие классы разбивается данное множество в зависимости от остатков, получаемых при делении на 6?

331. Найдите частное и остаток при делении а на b, результат запишите в виде: а = bq + r, если:

а) а = 59, b =13;

б) а = 225, b=15;

в) а = 780, b= 37.

332. При делении с остатком числа а на b получили частное q и остаток r. Найдите:

а) а, если b = 12, q = 4, r = 7;

б) b, если а = 118, q = 9, r = 1;

в) а, если b = 7, q = 15, r = 3;

г) b, если а = 237, q = 15, r = 12.

333. На множестве A = {х\х  N, 1  0  100} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 10». На какие классы разобьются числа множества А при помощи данного отношения? В каком классе окажутся 37; 94; 100?

334. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения:

а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;

б) «иметь один и тот же остаток при делении на 8».

Почему возможно такое разбиение?

Назовите по одному представителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).

335. Одно число на 68 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком в частном получится 6 и в остатке 8. Найдите эти числа.

336. При делении с остатком числа а на 4 в остатке получается r. Представьте число а в виде bq +r, если:

а) r =3; б) r = 2; в) r = 1; г) r = 0.

337. Какой вид имеет число а, если при делении на 6 оно дает в остатке: а) 2; б) 4; в) 0 ? Какие еще остатки могут получиться при делении числа а на 6?

338. Назовите 3 натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как называются эти числа и каков их общий вид?

339. При делении чисел а и b на 12 получается один и тот же остаток 9. Какой остаток получится при делении на 12 числа а) а + b; б) а – b; в) а b

340. Сформулируйте, используя отношение «непосредственно следовать за» и соответствующие аксиомы, определения:

а) множества целых неотрицательных чисел;

б) сложения на множестве N₀;

в) умножения на множестве N₀.

341. Рассматривая множество целых неотрицательных чисел, запишите свойства операций:

а) сложения;

б) умножения;

342. Докажите свойства операций, о которых говорится в № 345.

343. Докажите, что если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число а  b + 1 делится на 3. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

344. Число а при делении на 3 дает остаток 1. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а², а³?

345. Число а при делении на 3 дает остаток 2. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а², а³?