6. Математические понятия

В математике, как и других науках, мы имеем дело с понятиями. Условимся обозначать их через а, b, с,... и т.д.

Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Условимся объем понятия а обозначать через А, объем понятия b через В.

Отношения между понятиями

Если объемы понятий а и b не пересекаются, т.е. если А B = , то понятия а и b несовместимы.

Если объемы понятий а и b находятся в отношении пересечения, т. е. А B  , то понятия а и b совместимы.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, т.е. А  В и А  В, то говорят, что:

1) понятие а является видовым по отношению к понятию b; понятие b – родовым по отношению к понятию а;

2) понятие а уже понятия b, а понятие b шире понятия а;

3) понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b есть обоб­щение понятия а.

Если объем понятия а равен объему понятия b, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Большую роль в математике играют определения понятий. Во всяком понятии выделяют определяемое и определяющее понятия. Например, в предложении «Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом» определяемое понятие – «прямоугольник» (т.е. что определяется), а определяющее понятие – «параллелограмм с прямым углом» (т.е. то, через что определяется данное понятие).

Между определяемым и определяющим понятиями ставится знак , который читается «равносильно по определению». Данное нами определение можно записать так: «прямоугольникпараллелограмм с прямым углом».

Одним из видов определений является определение через род и видовое отличие. Структура таких определений такова: в определяющем понятии указывается: 1) родовое по отношению к определяемому понятие и 2) то свойство, которое выделяет нужный нам вид из других видов данного нам рода (так называемое видовое отличие). Так, в рассмотренном выше примере родовым понятием является понятие «параллелограмм», а видовым отличием – свойство «иметь прямой угол».

Определение понятия через род и видовое отличие можно изобразить схематически.

определяемое понятие

родовое понятие

видовое отличие



Задача 10.

Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «параллелограмм». Используя данное определение выясните правильность следующих обоснований:

а) Четырехугольник АВСД – прямоугольник, т.к. в нем есть прямой угол.

б) Четырехугольник ЕFKL – не прямоугольник, т.к. он не является параллелограммом.

Решение.

Множество прямоугольников можно выделить из множества параллелограммов с помощью свойства «иметь прямой угол». Таким образом, получаем определение: «Прямоугольником называется па­раллелограмм, имеющий прямой угол».

Для оценки правильности обоснований выделим логическую структуру данного определения. С этой целью обозначим через А утверждение «четырехугольник-прямоугольник», через В – «четырехугольник – параллелограмм», а через Р – «четырехугольник имеет прямой угол». Тогда определение примет вид: А В Р.

Так как свойства В и Р связаны конъюнкцией, то вывод о том, что четырехугольник-прямоугольник, возможен лишь в том случае, ког­да оба утверждения истинны, т.е. на основании того, что четырех­угольник параллелограмм и что в нем есть прямой угол. В данном обосновании есть указание на то, что в четырехугольнике АВСД имеется прямой угол, но не сказано, что АВСД – параллелог­рамм, этого не достаточно, чтобы утверждать, что АВСД – прямоу­гольник. Следовательно, данное обоснование неправильно.

Для того чтобы можно было сделать вывод о том, что четырех­угольник не является прямоугольником, достаточно убедиться в том, чт о хотя бы одно из утверждений В или Р ложно, т.е. в том, что четы­рехугольник не является параллелограммом или что в нем нет прямо­го угла. Так как в данном обосновании есть указание на то, что четырехугольник ЕFKL не является параллелограммом, то этого достаточ­но, чтобы утверждать, что ЕFKL – не прямоугольник. Следовательно, обоснование б) правильно.