2

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Наиболее простой случай нагружения бруса (стержня) — это случай осевого (центрального) растяжения или сжатия, когда внешние силы действуют по оси стержня (рис. 2.1, а).

2.1.ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

При работе бруса на растяжение (сжатие) в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N, представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, т.е.

Для расчета на прочность и для определения перемещения поперечных сечений бруса надо знать закон изменения продольных сил по его длине. Этот закон целесообразно представлять в виде графика — эпюры продольных сил. При построении этого графика аргументом является координата поперечного сечения, а функцией — продольная сила.

Построение эпюры осуществляют, используя метод сечений: «тело мысленно рассекают на две части, одну из которых (безразлично левую или правую) отбрасывают. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяют внутренними силами, величину и направление которых находят из условий равновесия».

Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е.

i=1

При растяжении продольную силу принято считать положительной, при сжатии — отрицательной.

Предварительно стержень разбивают на участки нагружения. Участок нагружения — это часть стержня между двумя соседними точками приложения сосредоточенных нагрузок либо между началом

30

и концом распределенной нагрузки одного знака и одного закона распределения.

Построение эпюр продольных сил рекомендуют выполнять в следующей последовательности:

—стержень разбивают на участки нагружения;

—на каждом участке мысленно проводят сечение;

—записывают выражение сил N в этом сечении;

—в произвольном масштабе согласно выражению N строят эпюру.

Пример 2.1. Построить эпюру продольных сил N для стержня, изображенного на рис. 2.1, а, нагруженного силами 5F и 8F.

Р е ш е н и е. Стержень имеет два участка нагружения (между точками приложения сил 5F и 8F и точкой приложения силы 8F и заделкой). Для построения эпюры продольных сил применим метод сечений. Задачу можно решать, двигаясь и проводя сечения либо от заделки (но при этом необходимо определить реакции опор заделки), либо со свободного конца, избегая лишних вычислений. Решаем задачу, двигаясь со свободного (незакрепленного) конца стержня.

а— схема нагружения стержня; б — сечение на I участке нагружения;

в— сечение на II участке нагружения; г — эпюра продольных сил

31

Проводим сечение на участке I (рис. 2.1, б), его координата z1. Согласно границам этого участка z1 может принимать значения 0 ≤z1 ≤a. Рассмотрим равновесие нижней отсеченной части (рис. 2.1, б). Воздействие верхней отброшенной части на нижнюю заменим продольной силой N1 и предварительно направим ее от сечения, т.е. предположим, что сила является растягивающей. Составим уравнение равновесия

N1 – 5F = 0, тогда N1 = 5F.

Продольная сила по всей длине участка нагружения величина постоянная; изображена на эпюре прямой линией, параллельной оси стержня.

Аналогичные действия выполним для сечения на участке II, где 0 ≤ z1 ≤ b (рис. 2.1, в).

N2 – 5F + 8F = 0, тогда N2 = –3F.

Знак минус показывает, что продольная сила будет в данном случае не растягивающей, как мы предположили, а сжимающей.

Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине стержня дает график (эпюра продольных сил), ось абсцисс которого проводится параллельно оси стержня, а ось ординат ей перпенди­ кулярна. По оси ординат в выбранном масштабе откладывают значения продольных сил (с учетом знаков) в поперечных сечениях стержня. Для рассмотренного случая эпюра N представлена на рис. 2.1, г.

2.2.НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Впоперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле

где А — площадь поперечного сечения. Эти напряжения по сечению распределены равномерно.

Удлинение или укорочение (изменение длины) бруса длиной l, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что про­ дольная сила во всех сечениях одинакова по величине, определяется по формуле

где Е — модуль упругости 1-го рода — физическая константа, характеризующая же­ сткость материала при линейной деформации. Для стали Е = (2,0…2,15)·105 МПа.

32

Произведение ЕА обычно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии), а жесткостью бруса (участка бруса) назы-

вают отношение c = EAl , численно равное силе, вызывающей­ удли-

нение (укорочение), равное единице длины, например, 1 мм.

В случае если брус имеет ступенчато-переменное сечение, то для определения изменения его длины формулу (2.4) следует применить отдельно к каждому из участков, в пределах которого A = const и N = const, и результаты просуммировать (см. задачу 2.2).

Если сечение бруса и продольная сила или одна из этих величин меняются непрерывно (например, брус в виде усеченного конуса или брус, растягиваемый действием собственной силы тяжести), то изменение длины бруса следует определять по формуле

В частном случае бруса постоянного сечения, находящегося под действием только собственной силы тяжести, изменение его длины определяется по формуле

где G — сила тяжести (вес) бруса.

В наиболее общем случае, когда законы изменения поперечного сечения и продольной силы различны для отдельных участков бруса, изменение его длины определяется по формуле

Так же, как и при других видах деформации, расчеты на проч­ ность при растяжении (сжатии) в зависимости от постановки задачи (цель расчета) могут быть разделены на три категории:

—проверка прочности (проверочный расчет);

—определение допускаемой нагрузки (разновидность проверочного расчета);

—определение требуемых размеров поперечного сечения бруса (проектный расчет).

При проверочном расчете нагрузки, размеры и материал (допускаемое и предельное напряжения) известны. В результате расчета определяют наибольшее расчетное напряжение и сравнивают с допускаемым. Расчетная зависимость (условие прочности) в этом случае имеет вид

33

где σ и N — соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении, т.е. сечении, в котором возникают наибольшие напряжения; А — площадь сечения; [σ] — допускаемое напряжение.

Зависимости для двух остальных случаев расчета получаются путем преобразования формулы (2.8).

Так, имеем:

•• при определении допускаемой нагрузки

••при проектном расчете требуемая площадь опасного сечения определяется по формуле

Во всех случаях в расчетные формулы входит внутренний силовой фактор — продольная сила, которая должна быть выражена с помощью метода сечений через внешние силы.

Пример 2.2. Для стержня (рис. 2.2, а) подобрать из условия прочности прямоугольное поперечное сечение стержня с отношением сторон В / Н = 0,25. Округлить полученные в результате расчета размеры В и Н по нормальному ряду размеров (прил. 4). Подсчитать фактические напряжения в опасном сечении, построить их эпюру. Вычислить перемещение концевого сечения стержня. Построить эпюру перемещений. При вычислениях принять F1 = 5 кН; F2 = 45 кН; F3 = 10 кН; q = 30 кН/м; а = 0,8 м; b = 1 м; с = 0,6 м; [σ] = 200 МПа; Е = 2·105 МПа.

Р е ш е н и е. 1. Строим эпюру продольных сил N, используя метод сечений. Имеем три участка нагружения. Задачу решаем со свободного незакрепленного конца стержня, чтобы не определять реакции заделки. На каждом из участков нагружения в произвольном месте мысленно проводим сечения (рис. 2.2, а координаты z1, z2 и z3). Выражения продольной силы для каждого из участков будут иметь вид

I участок, 0 ≤ z1 ≤ 0,8 м

N1 = F1 + qz1; при z1 = 0; N1 = F1 + q · 0 = 5 + 30 · 0 = 5 кН;

при z1 = 0,8 м; N1 = F1 + q · 0,8 = 5 + 30 · 0,8 = 29 кН.

Продольная сила по длине этого участка меняется по линейному закону и представлена на эпюре прямой наклонной линией.

34

5

б 0 0 Эп. N, 6 кН

0,71

1,09 Рис. 2.2. Эпюры продольных сил и перемещений:

а— схема нагружения стержня; б — эпюра продольных сил;

в— эпюра перемещений

IIучасток, 0 ≤ z2 ≤ 1 м

N2 = F1 + q · a – F2 = 5 + 30 · 0,8 – 45 = –16 кН.

Продольная сила на участке II величина постоянная, изображена на эпюре прямой линией, параллельной оси стержня.

III участок, 0 ≤ z3 ≤ 0,6 м

N3 = F1 + q · a – F2 + F3 = 5 + 30 · 0,8 – 45 + 10 = –6 кН.

На этом участке нагружения продольная сила также не меняется по величине.

Эпюра продольных сил показана на рис 2.2, б.

35

2. Находим положение опасного сечения. С этой целью вычисляем максимальные по абсолютной величине напряжения на каж­ дом из участков нагружения:

Сравнение напряжений по величине на каждом из участков нагружения показывает, что максимальное напряжение действует на участке II.

3. Используя условие прочности при растяжении (сжатии), находим размеры поперечного сечения В и Н стержня

Площадь прямоугольного поперечного сечения равна А = В · Н. При соотношении В / Н = 0,25; А = 0,25Н2. Тогда

В = 0,25 · Н = 0,25 · Н = 0,25 · 17,89 = 4,47 мм.

Принимаем по нормальному ряду размеров (прил. 4, ряд Ra 40) H = 18 мм; В = 5 мм.

4. Определяем фактические напряжения в опасном сечении и строим их эпюру

36

Недогрузка составляет

Допускается недогрузка до 20%, перегрузка до 5%. Эпюра фактических напряжений представлена на рис. 2.3.

Эп. sфакт

0

18

Рис. 2.3. Эпюра фактических напряжений σфакт в опасном сечении стержня

5. Определяем перемещение концевого сечения стержня. Оно равно алгебраической сумме удлинений каждого из участков нагружения. Обозначим границы участков нагружения буквами О; В; С; D (рис. 2.2, а).

Удлинение участка I (DlCD)

Удлинение участка I можно также определять по аналогии с удлинением от собственного веса стержня

где N1ср = N1′ + N1′′; N′ — значение продольной силы в начале участка нагру- 2

жения; N1′′ — значение продольной силы в конце участка нагружения.

37