Указываем положение опасного сечения — такого, где момент М по модулю принимает наибольшее численное значение (рис. 4.5, г). Это сечение находится в конце участка I, где Мmax = 40 кНм.

4.2.НАПРЯЖЕНИЯ И РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

Во всех точках поперечного сечения бруса при поперечном изгибе возникают нормальные σ и касательные τ напряжения. При изгибе одни волокна бруса растягиваются, другие — сжимаются. Существует слой волокон, в котором деформация отсутствует (напряжения σ равны нулю). Его называют нейтральным. Пересечение этого слоя волокон с поперечным сечением определяет нейтральную линию (ось) сечения.

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле

где Mx(M) — изгибающий момент, возникающий в рассматриваемом сечении; Jx — момент инерции относительно нейтральной оси (при прямом изгибе нейтральная ось совпадает с той из главных центральных осей инерции, которая перпендикулярна к силовой линии); y — расстояние от нейтральной оси до точки, в которой вычисляется нормальное напряжение.

Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Для бруса постоянного сечения наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечном сечении, где изгибающий момент максимален, и определяются по формуле

ния сечения при изгибе или осевым моментом сопротивления. Осевой момент сопротивления является геометрической харак-

теристикой прочности прямого бруса, работающего на изгиб.

71

Моменты сопротивлений простейших сечений вычисляют по следующим формулам:

•• прямоугольник

где b — сторона сечения, параллельная нейтральной оси; h — высота сечения;

•• круг

Для балок, выполненных из прокатных профилей, значение Wx следует выбирать по сортаменту прокатных профилей (прил. 2, 3).

Касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяют по формуле

Q S

τ = y x , (4.6)

Jx by

где Qy(Q) — поперечная сила в рассматриваемом сечении; Sx — статический момент относительно нейтральной оси той части сечения, которая расположена по одну сторону прямой, проведенной через данную точку сечения (прямая проводится параллельно нейтральной оси); by — ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки; Jx — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси. Эти напряжения максимальны в средних слоях сечения, а в наружных равны нулю. Закон их распределения по сечению описывается параболой.

Согласно формуле (4.6) касательные напряжения для прямоугольного поперечного сечения равны

где Q — поперечная сила в опасном сечении балки; А — площадь этого поперечного сечения.

В случае круглого поперечного сечения

В подавляющем большинстве случаев касательные напряжения невелики, и их вычисление не представляет практического интереса. Расчет балок на прочность ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в опасном поперечном сечении. Для

72

балки из пластичного материала, имеющей постоянное сечение, опасным­ является то сечение, в котором изгибающий момент максимален. При сечениях, симметричных относительно нейтральной оси, формула для расчета на прочность имеет вид

Формула (4.9) позволяет выделить три типа задач при расчетах на изгиб:

проектный расчет (определяют Wx и размеры балки); проверочный расчет (определяют σmax и сравнивают с [σ]); расчет по допускаемым нагрузкам (находят [Mmax]).

Пример 4.5. Консольная балка (рис. 4.2, а) имеет круглое поперечное сечение диаметром d = 110 мм. Требуется оценить прочность балки, предварительно определив максимальные нормальные и касательные напряжения, построить их эпюры. Допускаемое напряжение [σ] = 60 МПа (балка стальная).

Р е ш е н и е. Согласно эпюре изгибающих моментов (рис. 4.2, ж)

Мmax = 60 кНм, а эпюра Q (рис. 4.2, е) Qmax = 20 кН. Нормальные напряжения равны

где Wx = 0,1 d3 = 0,1·1103·= 1,331·106 мм3.

Касательные напряжения (4.8)

где А = πd2 / 4 = 3,14 · 1102 / 4 = 9,50 · 103 мм2.

Строим эпюры σ и τ (рис. 4.6).

Нормальные напряжения σ меняются по линейному закону. Причем согласно эпюре М (рис. 4.2, в) верхние волокна балки растянуты, а нижние сжаты, что отражено на эпюре σ. Эпюра τ меняется по параболическому закону, и ее, как правило, всегда откладывают вправо от нулевой линии. Как и было указано выше, величина касательных напряжений во много раз меньше нормальных.

Проверяем условие прочности (4.9):

σmax ≤ [σ] или 45 МПа ≤ 60 МПа. Условие прочности выполняется.

73

2,8

x

Рис. 4.6. Эпюры напряжений для балки круглого поперечного сечения:

а— сечение; б — эпюра нормальных напряжений;

в— эпюра касательных напряжений

Пример 4.6. Для балки (рис. 4.3, а) подобрать из условий прочности квадратное поперечное сечение с размером стороны а, если допускаемое напряжение σ = 20 МПа (балка из чугуна).

Р е ш е н и е.

На рис. 4.3, в приведена эпюра изгибающих моментов. Наибольший момент в опасном сечении равен Мmax = 30 кНм.

Согласно условию прочности

σmax = M max ≤ [σ] .

Wx

Решая это неравенство относительно Wx , имеем

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен Wx = bh2 / 6. При равенстве сторон прямоугольника (b = h = а) получаем

Wx = a3 / 6.

Выражая а и подставляя значение Wx, находим, что сторона квадратного сечения должна составлять

a ≥ 3 6Wx = 3 6 1,5 106 = 208 мм.

Округляем ее по нормальному ряду размеров (прил. 4) а = 210 мм.

74

Пример 4.7. Для балки, изображенной на рис. 4.7, а, подобрать из условий прочности ([σ] = 160 МПа) двутавровое поперечное сечение. Вычислить фактические напряжения в опасном сечении балки, построить их эпюры.

Р е ш е н и е. Условие прочности при изгибе имеет вид (4.9)

σmax = Mmax ≤ [σ].

Wx

1. Согласно этому условию определяем момент сопротивления поперечного сечения балки

Здесь Mmax — изгибающий момент в опасном сечении (рис. 4.7, в). По сортаменту прокатных профилей (прил. 2) выбираем двутавр

№ 30, для которого Wxгост = 472 см3 (можно выбрать и двутавр № 30а Wxгост = 518 см3, но в этом случае будет большая недогрузка).

2. Вычисляем величину фактического нормального напряжения, возникающего в опасном сечении балки,

что в пределах разрешенной нормы (допускается недогрузка до 20%, перегрузка до 5%).

3. Выписываем размеры и геометрические характеристики выб­ ранного двутавра из сортамента прокатных профилей (прил. 2):

4.Вычерчиваем в выбранном масштабе двутавр (рис. 4.8, а).

5.Рядом с изображенным двутавром выполняем эпюру фактических нормальных напряжений σфакт (рис. 4.8, б). Она показывает, что

вопасном сечении балка изгибается таким образом, что сжаты верхние волокна и растянуты нижние.

75

30

76,3

72

а— схема нагружения; б — эпюра поперечных сил Q;

в— эпюра изгибающих моментов М

6.Используя формулу (4.6), вычисляем фактические касательные напряжения. С этой целью находим величины напряжений τ в «характерных» точках двутавра (т. 1, 2, 3, 4).

Точка 1

т. 1, площадь двутавра отсутствует, следовательно, статический момент ее равен нулю).

76

Точка 2

где Q — величина поперечной силы в опасном сечении. В данном примере в опасном сечении Q = 0. Вычислим напряжение для Qmax = 74 кН (рис. 4.7, б); Sx2 — статический момент площади сечения двутавра, расположенной выше линии, проведенной через т. 2;

by2 — ширина двутавра на уровне линии, проведенной через т. 2; by2 = t = 135 мм.

Точка 3. В этой точке в отличие от точки 2 меняется лишь ширина отсеченной части by3 = d = 6,5 мм, тогда

Точка 4. Для этой точки статический момент площади отсеченной

Строим эпюру касательных напряжений (рис. 4.8, в).

Рис. 4.8. Эпюры напряжений для двутавра:

а— двутавр; б — эпюра нормальных напряжений;

в— эпюра касательных напряжений

77