6

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Одной из задач сопротивления материалов является оценка жесткости конструкции, т.е. степени искажения ее формы под действием нагрузки. В результате значительных деформаций меняются условия работы конструкции. Так, в металлорежущих станках снижаются качество поверхности и точность обработки, в приборах теряется точность измерения, в редукторах машин деформация валов ведет к преждевременному выходу из строя зубчатых передач и т.д.

Расчет на жесткость элемента конструкции заключается в определе­ нии наибольших угловых и линейных упругих перемещений его поперечных сечений при заданной нагрузке и сравнение их с допускаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуатации данного элемента.

δ ≤ [δ]; θ ≥ [θ],

где δ и θ — линейное и угловое перемещения рассматриваемого сечения под действием нагрузки; [δ] и [θ] — допускаемые значения перемещений, назначаемые конструктором.

Существует несколько способов определения перемещений. Все они основаны на энергетических принципах. К ним относят:

—определение перемещений на основе теоремы Кастилиано;

—вычисление перемещений по методу Мора;

—вычисление перемещений по правилу Верещагина.

Теорема Кастилиано полностью применима к задачам, в которых соотношение между силами и перемещениями является линейным. Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип начальных размеров и принцип независимости действия сил. Основным недостатком этого метода является то, что он позволяет определять перемещения точек приложения заданных нагрузок и в направлении этих нагрузок. На практике обычно требуется определение перемещений любых точек конструкции и в любом направлении. Этим требованиям отвечают метод Мора и способ Верещагина. Остановимся на них подробнее.

6.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ МОРА

Для случая сочетания изгиба с кручением и растяжением (сжатием) формула для определения перемещений, называемая интегралом Мора, имеет вид

101

Здесь δ — обобщенное перемещение, т.е. либо линейное, либо угловое; МxF, MyF, Tz, Nz, QxF, QyF — аналитические выражения внут­ ренних силовых факторов от заданной нагрузки; Мx1, My1, Tz1, Nz, Qx1, Qy1 — аналитические выражения внутренних силовых факторов от единичной силы.

Обычно ввиду малости двумя последними слагаемыми в формуле (6.1) пренебрегают.

Интегрирование выполняют в пределах каждого из участков нагружения длиной l.

В случае плоского поперечного изгиба формула (6.1) упрощается до выражения

Основным достоинством метода интегралов Мора в определении перемещений является возможность определения перемещения в любой точке конструкции, причем жесткость конструкции на различных участках нагружения может быть различной.

Интеграл Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирноили жестко соединенных прямых или кривых стержней.

При использовании интеграла Мора необходимо рассматривать две системы нагрузок, действующих на конструкцию.

Первая система включает все реальные нагрузки, вызывающие искомое перемещение. Состояние конструкции, вызванное действием заданной нагрузки, называется действительным (или грузовым) состоянием.

Вторая система включает только безразмерную единичную нагрузку, которая действует на конструкцию. Состояние конструкции, вызванное действием единичной нагрузки, называется единичным (или фиктивным) состоянием. Единичная нагрузка прикладывается именно к той точке (сечению) конструкции, перемещение которой определяется, и действует в направлении искомого перемещения. Термин «перемещение» используется здесь в обобщенном смысле, так, в качестве перемещения могут быть выбраны линейное или угловое перемещения.

102

Если искомое перемещение представляет собой линейное перемещение (например, прогиб), то соответствующей единичной нагрузкой является сосредоточенная сила. Если искомым перемещением является угловое перемещение, то единичной нагрузкой будет момент.

Положительное значение искомого перемещения получается в случае, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной нагрузки, отрицательное — если противоположно этой нагрузке.

Для вычисления перемещения при изгибе с помощью интеграла Мора нужно выполнить следующие операции:

—составить уравнение изгибающих моментов МF от заданной нагрузки;

—освободив систему (балку или раму) от заданной нагрузки, приложить к ней силу, равную единице в той точке, где необходимо определить перемещение, и задать направление этого перемещения;

—составить уравнение изгибающих моментов М1 от приложенного единичного силового фактора (силы или момента);

—вычислить сумму интегралов (6.2) от произведения обоих изгибающих моментов, деленного на жесткость сечения.

Пример 6.1. Для балки (рис. 6.1, а), защемленной одним концом

инагруженной силой F = 8 кН и моментом М = 15 кНм, определить прогиб свободного конца (т. А) и угол поворота поперечного сечения

в т. В по методу интегралов Мора. Жесткость балки EIx =2·104 кНм2. Р е ш е н и е. 1. Составляем аналитические выражения изгибающих моментов на каждом из участков нагружения от заданной на-

грузки (рис. 6.1, а)

I участок 0 ≤ z ≤ 1 м

MF = Fz;

II участок 0 ≤ z ≤ 3 м

MF = F(1 + z) + M.

2.Освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем к ней силу, равную единице (рис. 6.1, в) в точке А, где необходимо согласно условию задачи определить прогиб. Направление силы (перемещения) выбираем произвольно.

3.Составляем уравнения изгибающих моментов М1 от этой единичной силы

I участок 0 ≤ z ≤ 1 м

M1 = –1z;

II участок 0 ≤ z ≤ 3 м

M1 = –(1 + z).

103

вA

Рис. 6.1. Эпюры изгибающих моментов для консольной балки:

а— схема нагружения; б — грузовая эпюра; в — нагружение балки единичной силой; г — эпюра от воздействия единичной силы;

д— нагружение балки единичным моментом; е — эпюра от воздействия

единичного момента

104

4. Вычисляем сумму интегралов от произведения выражений изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы и делим ее на жесткость балки, тем самым находим прогиб балки в т. А.

Подставляя значения EIx, F и М, получаем

Знак «минус» указывает, что на самом деле прогиб балки произойдет вверх, а не вниз.

5. Составляем уравнения изгибающих моментов M2 от единичного момента, предварительно разгрузив балку и приложив к ней в т. В единичный момент (рис. 6.1, д). Направление момента выбираем произвольно.

I участок 0 ≤ z ≤ 1 м

M2 = 1;

II участок 0 ≤ z ≤ 3 м

M2 = 1.

6. Определяем угол поворота сечения в т. В, вычисляя сумму интегралов от произведения выражений изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичного момента, и делим ее на жесткость балки

105

Знак «плюс» означает, что поворот сечения происходит в предполагаемом направлении.

Пример 6.2. Для консольной балки, изображенной на рис. 6.2, а и нагруженной распределенной нагрузкой q = 10 кН/м и моментом М = 50 кНм, требуется определить прогиб в т. В и угол поворота в т. А, используя интегралы Мора. Жесткость балки EIx= 0,5·104 кНм2.

Рис. 6.2. Эпюры изгибающих моментов для консольной балки:

а— схема нагружения; б — грузовая эпюра; в — нагружение балки единичной силой; г — эпюра от воздействия единичной силы;

д— нагружение балки единичным моментом; е — эпюра от воздействия

единичного момента

106

Р е ш е н и е. 1. Составляем уравнения изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 6.2, а):

I участок 0 ≤ z ≤ 2 м

II участок 0 ≤ z ≤ 1 м

MF = –q · 2(1 + z);

III участок 0 ≤ z ≤ 2 м

MF = –q · 2(2 + z) + M.

2.Освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем к ней силу, равную единице (рис. 6.2, в) в т. В, где необходимо найти прогиб. Направление силы выбираем, предполагая, что балка прогнется вверх.

3.Составляем уравнения изгибающих моментов М1 от действия этой единичной силы:

I участок 0 ≤ z ≤ 2 м

M1 = 0;

II участок 0 ≤ z ≤ 1 м

M1 = 1z;

III участок 0 ≤ z ≤ 2 м

M1 = 1(1 + z).

4. Вычисляем прогиб в т. В с использованием интегралов Мора:

107

Подставляя значения EIx, q и М, получаем

5.Освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в т. А (рис. 6.2, д) единичный момент. Направление момента выбираем произвольно.

6.Составляем уравнения изгибающих моментов М2 от единичного момента

I участок 0 ≤ z ≤ 2 м

M2 = –1;

II участок 0 ≤ z ≤ 1 м

M2 = –1;

III участок 0 ≤ z ≤ 2 м

M2 = –1.

7. Определяем угол поворота сечения в т. А, используя интегралы Мора:

Знаки «плюс» при δB и θA указывают, что направления прогиба и угла поворота выбраны верно, именно в этом направлении происходит деформация балки.

108