8

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ КРУЧЕНИИ

При кручении, так же как и при растяжении и сжатии, встре­ чаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвест­ ных превышает число уравнений равновесия. Порядок решения та­ ких задач тот же самый, что и при решении статически неопредели­ мых задач при растяжении и сжатии. Покажем это на примерах.

Пример 8.1. Вал переменного сечения (рис. 8.1, а), заделанный с двух сторон, скручивается парой сил с моментом М = 10 кНм. Подобрать­ из условий прочности на кручение диаметры ступеней

вала d1 и d2, если d2 = 2 d1; а = 0,4 м; в = 0,6 м, [τ] = 20 МПа. По­ строить эпюру углов закручивания (материал вала сталь 45, для ко­

торой модуль сдвига G = 8∙104 МПа).

Р е ш е н и е. 1. С т а т и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и. В за­ делке возникают реактивные моменты МВ и МА (рис. 8.1, б), которые направлены против момента М. Уравнение равновесия имеет вид

Итак, имеем одно уравнение равновесия и две неизвестные реак­ ции. Следовательно, система один раз статически неопределима.

2. Г е о м е т р и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и (условие сов­ местности деформаций). Условие совместности перемещений со­ стоит в том, что полный угол закручивания вала равен нулю. Это следует из того, что оба конца вала заделаны. Таким образом, имеем

3. Ф и з и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и. Выразим в уравнении углы ϕAC и ϕCB через соответствующие крутящие моменты на каждом из участков нагружения по закону Гука

где Jp1 и Jp2 — полярные моменты инерции поперечных сечений вала на каж­ дом из участков нагружения: J p1 = 0,1d24 = 0,1 (2d1 )4 = 1,6d14; J p2 = 0,1d24.

156

M

d1

0,00226 Рис. 8.1. Ступенчатый вал:

а— заданная схема вала; б — расчетная схема;

в— эпюра крутящих моментов; г — эпюра углов закручивания

4.С и н т е з. Подставляя выражения (8.3) и (8.4) в (8.2) и выпол­ няя преобразования, получаем

или

–0,375MB – 4MB + 4M = 0.

157

Тогда

5. Строим эпюру крутящих моментов

T1 = –MB = –9,143 кНм;

T2 = –MB + M = –9,143 + 10 = 0,857 кНм.

Эпюра крутящих моментов показана на рис. 8.1, б.

6. Определяем напряжения на каждой ступени вала и выявляем максимальные по модулю

где Wp1 и Wp2 — полярные моменты сопротивления:

Wp1 = 0,2d23 = 0,2 (2d1 )3 = 1,6d13, Wp2 = 0,1d13.

Сравнивая τ1 и τ2, видим, что

τmax = τ1 = 5,71.

d13

7. Вычисляем, используя условие прочности при кручении, диа­ метры ступеней вала

τmax ≤ [τ];

таким образом,

d2 = 2d1 = 2 · 65,85 = 131,7 мм.

Принимаем d1 = 66 мм; d2 = 132 мм.

8. Строим эпюру углов закручивания, предварительно вычислив углы поворота сечений на каждом из участков нагружения

158

Эпюра углов закручивания представлена на рис. 8.1, в.

Пример 8.2. К стальному стержню (валу) круглого сечения (рис. 8.2, а) приложены три момента М1 = 1800 Нм; М2 = 1400 Нм; М3 = 2000 Нм.

Эпюра T, Нм

1693,33

1506,67

Эпюра ϕ, рад

0,046

0,042

0,040 Рис. 8.2. Кручение стального вала:

а— расчетная схема; б — эпюра крутящих моментов;

в— эпюра углов закручивания

159

Требуется:

—установить, при каком значении момента M0 угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;

—для найденного значения M0 построить эпюру крутящих моментов;

– при заданном значении [τ] = 60 МПа определить диаметр вала

из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

—построить эпюру углов закручивания;

—найти наибольший относительный угол закручивания. Р е ш е н и е

1. С т а т и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и. Согласно единствен­

ному уравнению равновесия

имеем два неизвестных (момент в заделке МК и М0) и одно уравне­ ние. Задача один раз статически неопределима.

2. Г е о м е т р и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и (условие сов­ местности деформаций). Согласно условию задачи угол поворота правого концевого сечения вала должен быть равен нулю, а слева заделка — угол поворота сечения в заделке тоже равен нулю. Таким образом, условие совместности перемещений должно отражать по­ ложение: «полный угол закручивания вала равен нулю», т.е.

3. Ф и з и ч е с к а я с т о р о н а з а д а ч и. Выразим углы закру­ чивания на каждом из участков нагружения согласно закону Гука, предварительно записав выражения крутящих моментов на каждом участке нагружения

T1 = M0;

T2 = M0 – M3;

T3 = M0 – M3 + M2;

T4 = M0 – M3 + M2 + M1.

Тогда

4. С и н т е з. Подставляя выражения Т1, Т2, Т3, Т4 в (8.7) и вы­ полняя преобразования, получаем

160

Подставляя численные значения известных моментов M1, M2, M3 в (8.8), находим величину неизвестного момента М0

Строим эпюру крутящих моментов

T1 = M0 = 493,33 Нм;

T2 = M0 – M3 = 493,33 – 2000 = –1506,67 Нм;

T3 = M0 – M3 + M2 = 493,33 – 2000 + 1400 = –106,67 Нм;

T4 = M0 – M3 + M2 + M1 =

= 493,33 – 2000 + 1400 + 1800 = 1693,33 Нм.

Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 8.2, б. Находим диаметр вала из условия прочности

τmax = Tmax ≤ [τ],

Wp

где Wp — полярный момент сопротивления, Wp = 0,2d3.

Откуда

Принимаем d = 55 мм.

Строим эпюру углов закручивания, предварительно определив углы закручивания на каждом из участков нагружения

где GJp — крутильная жесткость вала, GJp = 8∙104∙ 0,1∙554 = 7,32∙1010 Н·мм2.

161