4

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях стержня­ изгибающих моментов. Изгибающий момент — внутренний силовой фактор (внутреннее усилие), а именно момент относительно оси, расположенной в плоскости поперечного сечения и проходящей через его центр тяжести; т.е. он действует в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению стержня.

Прямой изгиб имеет место в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении балки действует в плоскости, проходя­ щей через одну из главных центральных осей инерции этого се­ чения.

Косой изгиб имеет место в случае, когда плоскость действия из­ гибающего­ момента в данном поперечном сечении балки не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении стержня действует только изгибающий момент, то, соответственно, имеет место чистый прямой изгиб или чистый косой изгиб. Если же в поперечном сечении действует также и перерезывающая (поперечная) сила, то имеет место поперечный­ прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого изгиба и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным­ изгибом.

Напомним, что поперечная сила является одной из составляющих главного вектора внутренних сил; она представляет собой равнодействующую внутренних касательных сил, возникающих в по­перечном сечении.

4.1.ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ДЛЯ БАЛОК И ПЛОСКИХ РАМ

Прямой брус, работающий на изгиб, называют балкой. Рамой называют систему, состоящую из прямолинейных брусьев,

продольные оси которых расположены под углом друг к другу и соединены между собой. В плоской раме оси всех стержней и нагрузки лежат в одной плоскости.

B поперечных сечениях балок возникают поперечные силы и изгибающие моменты.

57

4.1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок

Построение эпюр. Начало исследования изгиба, как и других видов деформации, состоит в построении эпюр внутренних силовых факторов, т.е. эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Поперечная сила численно равна сумме проекций на ось Оу всех внешних сил, действующих на отсеченную часть рамы (балки).

Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внеш­ них сил, действующих на отсеченную часть рамы (балки) относите­ льно оси Ох.

Конечно, во всех случаях в число внешних сил входят и опорные реакции. Условимся о правилах знаков для внутренних силовых фак­ торов. Продольную силу, соответствующую растяжению, будем считать положительной.

Для балок будем считать, что внешняя сила, стремящаяся повер­ нуть оставленную часть балки (рамы) по ходу часовой стрелки, вызывает положительную поперечную силу.

Эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. При этом изгибающий момент в балках считается положительным, если сжаты верхние волокна, т.е. элемент изгибается выпуклостью вниз.

На рис. 4.1 приведено правило знаков для системы координат, применяемой далее в примерах.

Рассмотрим характерные примеры для стержней, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости (параллельной плоскости чертежа).

Аналитический вид функций Q и M может быть различным в раз­ ных частях балки. Часть балки, в пределах которой аналитиче­ский вид функций остается неизменным,­ называется силовым участком. Границами силовых участков являются точки приложения сосре­ доточенных нагрузок, начало и конец участка с распределенной нагрузкой.

Следует твердо запомнить правила построения эпюр поперечных­ сил и изгибающих моментов, вытекающие как непосредственно­ из

Q Q

QQ

MM

M M

Рис. 4.1. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов

58

метода сечений, так и из дифференциальных зависимостей между q,

Q и М

1.Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

2.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент — по закону квадратной параболы. При этом парабола всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

3.В сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает экстремального значения (максимального или минимального).

4.В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, перпендикулярная к оси элемента, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М — излом (смежные участки эпюры не имеют плавного сопряжения).

5.В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается.

6.В концевом сечении балки поперечная сила и изгибающий момент равны соответственно приложенным в этом сечении внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной) и моменту сосредоточенной пары (активной или реактивной).

7.В сечении, где начинается или заканчивается распределенная нагрузка­ (при условии, что в этом сечении не приложена сосредоточенная­ сила), эпюра изгибающих моментов не имеет излома, наблюдается плавное сопряжение.

Пример 4.1. На рис. 4.2, а показана балка, защемленная одним концом. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Указать положение опасного сечения. Нагрузка указана на рисунке.

Р е ш е н и е. Анализ внутренних сил обычно начинают с определения полной системы внешних сил, т.е. кроме заданных определяют реакции опор. В данной задаче реакции опор можно не определять, приступая к решению задачи со свободного (незакрепленного) конца балки. Имеем четыре участка нагружения (АВ; ВС; СD, DE). На каж­ дом из участков в произвольном месте мысленно проводим сечение (рис. 4.2, б, в, г, д). Для того чтобы каждая из отсеченных частей находилась в равновесии, вводим поперечную силу Q и изгибающий

59

момент М (их индексы соответствуют номеру участка). Эти силовые факторы определяем согласно методу сечения из условий равновесия, указанных на рис. 4.2, б, в, г, д, частей балки. Учитывая правила знаков для Q и М, в результате имеем

Сечение I (участок АВ) 0 ≤ z1 ≤ 2 м

Q1 = –qz; при z1 = 0, Q1 = 0;

при z1 = 2 м, z1 = 2 м, Q1 = –q · 2 = – 10 · 2 = –20 кН; M1 = −qz1 z21 ; при z1 = 0, М1 = 0;

при z1 = 2 м, M1 = −q 2 22 = −10 2 22 = −20 кНм.

Сечение II (участок ВС) 0 ≤ z2 ≤ 1 м Q2 = –q · a = –10 · 2 = –20 кН;

60

а— схема нагружения; б — сечение I; в — сечение II ; г — сечение III;

д— сечение IV; е — эпюра поперечных сил Q; ж — эпюра изгибающих моментов М

61

при z4 = 0,

В соответствии с полученными результатами построим в выбранном масштабе эпюры поперечных сил (рис. 4.2, е) и изгибающих моментов (рис. 4.2, ж). На участке I эпюра Q изображается наклонной прямой, а эпюра М — параболой, выпуклостью навстречу направлению q. На других участках эпюры Q — прямые, параллельные оси балки, а эпюры М — прямые наклонные. В сечении, где приложена сила F, на эпюре Q скачок на величину силы в направлении ее действия при движении слева направо, а на эпюре М — излом. В сечении, где приложен момент М на эпюре М, скачок на величину М в направлении его действия при движении в том же направлении.

При постоянной жесткости балки опасное сечение будет в заделке (там изгибающий момент достигает максимума).

Пример 4.2. На рис. 4.3, а изображена двухопорная балка. Построить эпюры Q и М, указать положение опасного сечения. Нагрузка показана на рисунке.

Р е ш е н и е. 1. Для нахождения полной системы внешних сил определяем реакции опор. Опора А является шарнирно неподвижной. Ее реакцию R разложим на составляющие: вертикальную RA и горизонтальную (она равна нулю и на рис. 4.3 не показана, т.к. отсутствуют заданные горизонтальные силы). Опора В является шарнирно подвижной, на ней возникает только одна вертикальная составляющая RВ.

Так как направление этих реакций неизвестно, принимаем их направленными в положительном направлении оси y. Для определения реакций двухопорной балки используем уравнения равновесия

ΣM A = 0; RB (a + b) - F2(a + b + c) - M - q a a2 - F1 a = 0;

62

Опасное сечение

30

Рис. 4.3. Двухопорная балка:

а — схема нагружения; б — эпюра поперечных сил Q; в — эпюра изгибающих моментов М

63

Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций всех сил на вертикальную ось:

ΣFy = 0; RA - q a - F1 + RB - F2 = 0;

22 – 10 · 4 – 20 + 48 – 10 = 0.

2. Переходим к построению эпюр Q и М. Имеем три участка нагружения (АС; СВ и ВD). Для сокращения объема математических вычислений при использовании метода сечений рекомендуют оставлять ту часть балки, к которой приложено меньшее число нагрузок. Для участка АС удобнее рассматривать левую часть (рис. 4.3, а — участок z1), а для участков СВ и BD — правую часть (рис. 4.3, а — участки

z2 и z3).

Сечение I (участок АС) 0 ≤ z1 ≤ 4 м

Q1 = RA – qz1; при z1 = 0, Q1 = RA – q · 0 = 22 – 10 · 0 = 22 кН; при z1 = 4 м, Q1 = RA – q · 4 = 22 – 10 · 4 = –18 кН.

M1 = RA z1 - qz1 z21 ;

при z1 = 0, M1 = RA 0 - q 022 = 0;

при z1 = 4 м, M1 = RA 4 - q 422 = 22 4 - 10 422 = 8 кНм.

Поперечная сила Q меняется по линейному закону, пересекая нулевую линию. Эпюра М меняется по закону параболы. В сечении, где Q = 0, у параболы наблюдается экстремум. Находим значение экст­ ремального момента. Для этого выражение поперечной силы приравниваем нулю:

Q = RA – qz0 = 0,

где z0 — координата сечения, в котором изгибающий момент достигает экстремального значения; z0 = RA / q = 22 / 10 = 2,2 м.

Подставляя z0 в выражение для изгибающего момента, получаем

64

Строим эпюры М и Q на участке I (рис. 4.3, б, в). Сечение II (участок ВD) 0 ≤ z2 ≤ 1 м

Q2 = F2 = 10 кН;

M2 = –F2z2; при z2 = 0, M2 = –F2 · 0 = –10 · 0 = 0; при z2 = 1 м, M2 = –F2 · 1 = –10 · 1 = –10 кНм.

Эпюра Q изображается прямой, параллельной продольной оси балки, а эпюра М — наклонной прямой. Необходимо помнить, что участок II мы выбирали справа, следовательно, и эпюры надо строить справа.

Сечение III (участок CВ) 0 ≤ z3 ≤ 1 м

Q3 = F2 – RB = 10 – 48 = –38 кН; M3 = –F2(1 + z3) + RB · z3 – M;

при z3 = 0, M3 = –F2(1 + 0) + RB · 0 – M =

= –10 · 1 + 48 · 0 – 20 = –30 кНм;

при z3 = 1 м, M3 = –F2(1 + 1) + RB · 1 – M =

= –10 · 2 + 48 · 1 – 20 = 8 кНм.

Эпюра Q — параллельная прямая, эпюра М — наклонная прямая. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q скачки на величину этих сил, а в сечении, где приложен сосредоточенный момент М , на эпюре моментов скачок на величину М. Данные эпюры Q и М также начинаем строить справа.

Результирующие эпюры Q и М представлены на рис. 4.3, б, в. Там же показано опасное сечение, в котором изгибающий момент по модулю достигает максимальной величины.

4.1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для рам

Рама представляет собой брус, ось которого ломаная в плоскости линия. В поперечных сечениях рамы возникают три внутренних силовых фактора: продольная сила N , поперечная сила Q и изгибающий момент М.

При построении эпюр N, Q и М необходимо соблюдать ряд условностей:

—новым участком нагружения считать тот, ось которого изменила направление;

—независимо от направления оси участка нагружения вдоль его располагать ось Z;

—нижнее волокно участков рамы показывать пунктиром;

—сохранять ранее принятые правила знаков (гл. 2.1, 4.1) для N,

Q и М;

—ординаты эпюр откладывать перпендикулярно оси рамы, причем положительные значения с внешней стороны (верхнее волокно),

аотрицательные — с внутренней (нижнее волокно);

65

—все эпюры строить на отдельных контурах рамы;

—если рама имеет более одной опоры (заделки), то прежде чем приступить к построению эпюр, нужно методами статики найти опорные реакции;

—так как ось рамы представляет собой ломаную линию, то каждый прямолинейный участок ее можно рассматривать как балку.

Пример 4.3. Для заданной Т-образной рамы (рис. 4.4, а) построить эпюры внутренних силовых факторов.

Р е ш е н и е. Рама имеет четыре участка нагружения (три по числу стержней, ее составляющих, но вертикальный стержень разделен на два участка сосредоточенным моментом М). Для построения эпюр нет надобности в предварительном определении реакции заделки. Будем вести построение, начиная от свободного конца. Для определения знаков внутренних силовых факторов покажем условно нижнее волокно каждого участка нагружения пунктиром. Независимо от направления участка нагружения (по вертикали или по горизонтали) вдоль его всегда будем направлять ось Z.

1.Проведем сечение в произвольном месте на участке I (рис. 4.4, б)

ирассмотрим равновесие отсеченной части. Получаем

I участок 0 ≤ z1 ≤ 1 м

N1 = –F = –15 кН (эпюра N1 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

Q1 = 0 (поперечные силы на этом участке отсутствуют); М1 = 0 (нет сил, вызывающих изгиб).

2. Проведя мысленно сечение на участке II (рис. 4.4, в) и рассмат­

3. Мысленно проведя сечение и рассматривая равновесие отсеченной части на III участке нагружения (рис. 4.4, г), получаем

III участок 0 ≤ z3 ≤ 2 м

N3 = –q · 3 = –20 · 3 = –60 кН (эпюра N3 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

66

а— схема нагружения; б — сечение I; в — сечение II; г — сечение III;

д— сечение IV; е — эпюра продольных сил N; ж — эпюра поперечных сил Q;

з— эпюра изгибающих моментов М

67

Q3 = F = 15 кН (эпюра Q3 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

4. Аналогичные действия выполняем на участке IV. Согласно рис. 4.4, д имеем

IV участок 0 ≤ z4 ≤ 1 м

N4 = –q · 3 = –20 · 3 = –60 кН (эпюра N4 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

Q4 = F = 15 кН (эпюра Q4 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

M4 = −q 322 − F(2 + z4 ) + M (эпюра М4 — прямая наклонная); при z4 = 0

Рисуем три контура заданной рамы и вычерчиваем на них эпюры N, Q и M, откладывая положительные значения силовых факторов со стороны внешних волокон рамы, отрицательные — внутренних.

Эпюры N, Q и M показаны на рис. 4.4, е, ж, з.

Пример 4.5. Для П-образной рамы (рис. 4.5, а) построить эпюры внутренних силовых факторов, указать положение опасного сечения.

Р е ш е н и е. Рама имеет три участка нагружения (по числу стержней разного направления: два вертикальных и один горизонтальный). Вдоль оси любого из участков направляем ось Z. Нижнее волокно выбираем внутри контура рамы и обозначаем его пунктиром. Решение начинаем со свободного конца, чтобы не выполнять дополнительного математического действия по определению реакции опор в заделке. Аналогично решению предыдущей задачи (при-

68

Рис. 4.5. Построение эпюр П-образной рамы:

а— схема нагружения; б — эпюра продольных сил N;

в— эпюра поперечных сил Q; г — эпюра изгибающих моментов М

мер 4.3) на каждом из участков нагружения мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие отсеченной части.

I участок 0 ≤ z1 ≤ 2 м

N1 = 0 (силы, действующие вдоль этого участка, отсутствуют);

Эпюра Q1 изображается прямой, параллельной оси участка нагружения, а эпюра М1 — прямой наклонной.

69

II участок 0 ≤ z2 ≤ 2,5 м

N2 = –F = –20 кН (эпюра N2 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

Q2 = 0 (поперечные силы на этом участке отсутствуют);

М2 = –F · 2+М = –20 · 2 + 25 = –15кНм (эпюра М2 — прямая, параллельная оси участка нагружения);

III участок 0 ≤ z3 ≤ 3 м

N3 = 0 (нет сил, действующих вдоль этого участка); Q3 = −F + qz3 (эпюра Q3 — прямая наклонная);

при z3 = 0 Q3 = −F + q · 0 = −20 + 10 · 0 = −20 кН; при z3 = 3 м Q3 = −F + q · 3 = −20 + 10 · 3 = 10 кН;

M3 = −F(2 − z3 ) − q z22 + M (эпюра М3 — парабола выпуклостью

навстречу направлению распределенной нагрузки q); при z3 = 0

M3 = −F(2 − 0) − q 023 + M = −20 2 − 0 + 25 = −15 кНм;

при z3 = 3 м

M3 = −F(2 − 3) − q 323 + M = −20 (−1) − 10 322 + 25 = 0 кНм.

Так как эпюра Q3 при переходе через нуль меняет знак, то на эпюре моментов M3 у параболы наблюдается экстремум. Найдем значение экстремального момента. С этой целью приравняем выражение Q3 нулю и определим значение z3экс, при котором момент достигает экстремума

Q3 = –F + qz3экс = 0;

Строим эпюры N, Q и M на предварительно нарисованных контурах рамы, откладывая положительные значения со стороны внешнего волокна, отрицательные — внутреннего (рис. 4.5, б, в, г).

70