Площадь треугольника:

A1 = 12 40 20 = 400 мм2.

Площадь круга (она отрицательная, т.к. представляет собой отверстие, вырезанное в сложном поперечном сечении):

А3 = –πR2 = –3,14 · 102 = –314 мм2. Координаты центров тяжести этих фигур (рис 1.4):

5. Определяем координаты центра тяжести сложного поперечного сечения:

xc = 0 (центр тяжести лежит на оси симметрии).

Показываем на чертеже центр тяжести сложного сечения (т. С).

1.2.ОСЕВЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называют взятую по всей его площади А сумму произведений элементарных­ площадок dA на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

где x — расстояние от элементарной площадки dA до оси у; у — расстояние от элементарной площадки dA до оси х (рис. 1.1).

Полярным моментом инерции плоского сечения относительно некоторой­ точки (полюса) О называют взятую по всей его площади А сумму произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

11

Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей

Центробежным моментом инерции плоского сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей х и у называют взятую по всей его площади А сумму произведений элементарных площадок dA на их расстояния от этих осей, т.е.

Центробежный момент инерции плоского поперечного сечения относительно­ осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевые и центробежные моменты инерции плоского сечения относительно­ произвольных осей x1 и у1, параллельных центральным осям х и у, определяют по формулам:

где а и b — расстояния между осями х и x1, у и y1 (см. рис. 1.2). Принимается, что х, у — центральные оси, т. е. оси, проходящие через центр тяжести О плоского сечения.

Максимальные и минимальные значения осевых моментов инерции поперечного сечения называют главными моментами инерции. Оси, от­носительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные зна­чения, называют главными осями инерции, их принято обозначать U и V.

Величину главных моментов инерции определяют по формуле

Главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси х, у на угол α

При положительном значении угла αповорот необходимо выполнить против часовой стрелки, при отрицательном значении угла α — по часовой.

12

Анализ вышеизложенного позволяет сделать следующие выводы:

—ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или х), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение;

—относительно главных осей инерции центробежный момент инерции­ равен нулю;

—взаимно перпендикулярные центральные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, всегда являются главными осями инерции;­

—для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т. д.

В табл. 1.1 приведены отдельные геометрические фигуры и моменты инерции относительно их центральных осей.

13

Окончание табл. 1.1

Пример 1.3. Определить осевые моменты инерции сложного сечения, представленного на рис. 1.3. Недостающие данные взять из примера 1.2.

Р е ш е н и е. 1. Через центр тяжести сложного сечения (т. С) проводим центральные оси xc и yc.

2. Определяем моменты инерции для простых геометрических фигур, составляющих сложное сечение, относительно собственных центральных осей:

14