9

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ И БАЛКИ

Расчет на изгиб балок и рам с минимальным числом связей, обеспечивающих неподвижность прикрепления (в случае плоской системы — три связи), основан на определении всех реакций в связях из уравнений равновесия. Если же балка или рама имеют связи сверх необходимых, то уравнений статики уже недостаточно для однознач­ ного определения реакций связей, но одновременно появляется воз­ можность составить дополнительные уравнения исходя из рассмо­ трения деформации системы. Система в этом случае называется статически неопределимой. Одним из методов раскрытия статиче­ ской неопределимости системы является метод сил.

9.1.СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ СИСТЕМЫ

Число «лишних» связей, наложенных на систему сверх необхо­ димых для неизменяемого прикрепления, называют степенью стати­ ческой неопределимости системы. Напомним, что шарнирно-подвиж­ ная опора эквивалентна одному стержню (связи), шарнирно-непод­ вижная — двум (рис. 9.1, б, г), а заделка — трем связям (рис. 9.1, а, в).

а— консольная балка; б — шарнирно-опертая балка;

в— рама, защемленная одним концом; г — рама шарнирно-опертая

166

Лишними могут служить дополнительные опоры как в балках (рис. 9.2, а, б, е), так и в рамах (рис. 9.2, в, г, д, е, ж). Реакции этих опор являются как бы лишними внешними силами, поэтому отме­ чают, что система статически неопределима внешним образом.

е

д

Рис. 9.2. Системы статически неопределимые внешним образом:

а, б, — балки; в, г, д — рамы, имеющие одну лишнюю связь; е — балка, имеющая три лишние связи; ж, з — рамы, имеющие три лишних связи

167

Лишними могут быть и внутренние связи системы — связи, пре­ пятствующие взаимным линейным и угловым перемещениям какихлибо сечений стержня. Отмечают, что система статически неопреде­ лима внутренним образом. Так, например, опорные реакции рамы (рис. 9.3, а) при любой нагрузке могут быть определены из уравнений равновесия, но внутренние силовые факторы N, Q и M (рис. 9.3, в) с помощью метода сечений определить нельзя.

Необходимо контур разомкнуть (рис. 9.3, б). Следовательно, всякий плоский жесткий замкнутый контур трижды статически неопределим.

Степень статической неопределимости С равна разности между числом неизвестных усилий в системе S и числом независимых урав­ нений статики n

A A1

в

Рис. 9.3. Система, статически неопределимая внутренним образом:

а— рама с замкнутым контуром; б — контур разомкнут;

в— внутренние силовые факторы, возникающие в стержнях контура

168

Так степень статической неопределимости, изображенной на рис. 9.2, з, равна

С = S – n = 6 – 3 = 3,

здесь S = 6, так как заделка дает три реакции, шарнирно-неподвиж­ ная опора — две, шарнирно-подвижная — одну, итого шесть; n = 3, т.к. для плоской системы число независимых уравнений равновесия всегда равно трем.

9.2.ВЫБОР ОСНОВНОЙ И ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМ МЕТОДА СИЛ

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что задан­ ная статически неопределимая система освобождается от дополни­ тельных связей, как внешних, так и внутренних, а их действие заме­ няется силами и моментами. Величина последних подбирается так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Существуют и другие методы, на­ пример, в строительной механике — метод деформаций.

Итак, раскрытие статической неопределимости начинается с от­ брасывания лишних связей. Система, освобожденная от дополни­ тельных связей, становится статически определимой. Ее называют

основной системой.

Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Но нужно помнить, что не всякая система с отброшенными связями может быть принята в качестве основной. Она должна быть обязательно кинематически неизменяемой.

Например, для рамы, изображенной на рис. 9.4,а, можно предло­ жить четыре основных системы (рис. 9.4, б, в, г, д). Система (рис. 9.4, е) выбрана в качестве основной неверно, т. к. в заданной системе шар­ нирно-подвижная опора в правом верхнем углу рамы отсутствует, а система (рис. 9.4, ж) является кинематически изменяемой (позво­ ляет движение по вертикали) и не может быть предложена в качестве основной. Заданная рама (рис. 9.4, а) является два раза статически неопределимой, поэтому отбрасываем две лишних связи.

После того как дополнительные связи отброшены и система прев­ ращена в статически определимую систему, необходимо ввести вме­ сто связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запре­ щены линейные перемещения, вводятся неизвестные силы. Там, где

169

M

q

б

F

а

ж

Рис. 9.4. Статически неопределимая рама:

а — заданная система; б, в, г, д — системы, выбранные в качестве основных; е, ж — неверно выбранные основные системы

170

запрещены угловые смещения, вводятся неизвестные моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi, где i — номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Для внутрен­ них связей силы Xi являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям си­ стемы. Основную систему, к которой приложены неизвестные сило­ вые факторы Xi и заданные внешние силы, называют эквивалентной системой. Как основных, так и эквивалентных систем для заданной системы можно подобрать несколько.

Например, для рассмотренной рамы эквивалентные системы изоб­ ражены на рис. 9.5, а, б, в.

M M

q

Fв

Рис. 9.5. Эквивалентные системы:

а— эквивалентная система, опирающаяся на основную (рис. 9.4, г);

б— эквивалентная система, опирающаяся на основную (рис. 9.4, в);

в— неверная эквивалентная система, опирающаяся на неверно выбранную

основную (рис. 9.4, е)

171