Ix3 = 0,1d4 = 0,1 204 = 0,2 104 мм4; I y3 = Ix3 = 0,2 104 мм4.

Находим моменты инерции сложного поперечного сечения, используя формулы параллельного переноса:

Здесь а1 — расстояние, на которое надо перенести ось x1 до совмещения ее с осью xc;

а1 = y1 – yc = 30 – 22,84 = 7,16 мм.

Аналогично

а2 = y2 – yc = –6,67 – 22,84 = –29,51 мм; а3 = y3 – yc = 40 – 22,84 = 17,16 мм.

Момент инерции Ix3 и площадь A3 берем со знаком минус, т.к. круг вырезан (отсутствует) из сложного сечения.

I yA = I y1 + I y2 + I y3 =

= 32 104 + 2,67 104 + (−0,2 104 ) = 34,47 104 мм4.

В данном случае параллельный перенос осей отсутствует, т. к. все оси y1; y2; y3 и yс лежат на одной оси − оси симметрии (рис. 1.2).

Следует отметить, что оси xс и yс являются не только центральными, но и главными осями

Imax = Ixc = 110,57 104 мм4;

Imin = I yc = 34,47 104 мм4.

1.3.МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ПРОКАТНЫХ ПРОФИЛЕЙ

Для поперечных сечений, состоящих из прокатных профилей,

предлагается следующий порядок расчета.

Сначала вычерчивают поперечное сечение в произвольно выбранном масштабе. На рисунок наносят известные размеры сечения,

15

взятые в соответствии с данными задания из соответствующих таблиц сортамента прокатной стали (прил. 2 и 3 [1]). Каждому прокатному профилю присваивают порядковый номер. Проставляют центральные­ оси и центры тяжести для каждого из профилей. Вспомогательные оси x и y рекомендуют совмещать с одними из центральных осей любого из профилей, что уменьшает трудоемкость математических вычис­ лений.

Далее находят координаты центра тяжести составного сечения согласно формул (1.6), проводят центральные оси xс и yс всего сечения и вычисляют осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей, пользуясь формулами параллельного переноса (1.12). Расчет заканчивают определением положения главных цент­ ральных осей (1.13) и нахождением величин главных центральных моментов инерции (1.14).

Пример 1.4. Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции для составного сечения, изображенного на рис. 1.5.

Ре ш е н и е. Поперечное сечение состоит из швеллера № 14

идвутавра № 24а. Присвоим швеллеру порядковый номер 1, а двутавру — 2 и соответственно все их параметры будут иметь такой же индекс.

1. Выписываем из сортамента прокатных профилей данные для расчета (прил. 2 и 3)

Вычерчиваем составное поперечное сечение в произвольно выбранном масштабе, наносим на чертеж необходимые для дальнейших расчетов размеры, показываем центры тяжести каждого из профилей (т. С1 и т. С2), проводим через эти точки центральные оси x1 и y1, x2 и y2. Выбираем вспомогательную систему осей x и y, совмещая их

с осями x1 и y1.

Определяем координаты центра тяжести составного сечения (расчет удобно вести в сантиметрах):

где x1 = 0; x2 = z01 + h2 / 2 = 1,82 + 24 / 2 = 13,82 см.

16

y1 = 0; y2 = –h1 / 2 + b2 / 2 = –14 / 2 + 12,5 / 2 = –0,75 см.

Откладывая найденные значения xc и yc на осях x и y, находим положение центра тяжести составного сечения (т. С). Проводим через эту точку центральные оси xс и yс.

П р о в е р к а: Точка С должна находиться на линии, соединяющей точки С1 и С2.

Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции составного сечения относительно центральных осей xc и yc, пользуясь формулами параллельного переноса:

Ixc = Ix1 + a12 A1 + Ix2 + a22 A2 =

= 493 + 0,532 15,6 + 260 + (−0,22)2 37,5 = 759,2 см4,

где a1 — расстояние, на которое надо перенести ось x1 до совмещения с осью xc; a1 = y1 – yc = 0 – (–0,53) = 0,53 см.

Аналогично

a2 = y2 – yc = –0,75 – (–0,53) = –0,22 см.

Необходимо отметить, что двутавр в сечении (рис. 1.5) изображен повернутым на 90° по сравнению с изображением в прил. 3. Следовательно, оси x2 и y2 поменялись местами, а это привело к тому, что надо поменять и величины Ix2 и Iy2, т. е. Ix2 = 260 см4, Iy2 = 3800 см4.

= 51,5 + (−9,76)2 15,6 + 3 800 + 4,062 37,5 = 5955,65 см4,

где е1 — расстояние, на которое надо перенести ось y1 до смещения ее с осью yc; e1 = x1 – xc = 0 – 9,76 = – 9,76 см.

Аналогично

e2 = x2 – xc = 13,82 – (–9,76) = 4,06 см. Величины а1, а2, е1 и е2 показываем на чертеже (рис. 1.5).

= 0 + 0,53 (−9,76) 15,6 + 0 + (−0,22) 4,06 37,5 = −114,19 см4.

Здесь Ix1y1 = 0 и Ix2y2 = 0, т. к. и швеллер, и двутавр имеют оси

симметрии. Для таких фигур центробежный момент инерции всегда равен нулю.

18