Radzevich, S.P. Monograph - 2001

где RT.д(и) – радиус направляющей окружности тора Tд(и) ;

T.д(и) – первый угловой параметр поверхности Tд(и) заменяющего тора (см. рис. 9.10).

Введем в рассмотрение другую систему координат X0Y0 Z0 , имеющую общее начало и общую ось аппликат с исходной системой координат XT.д(и)YT.д(и) ZT.д(и) и развернутую относительно нее вокруг оси

Умножая (51) слева на оператор Rs (0 Tд(и) ) , получим уравнение, определяющее в системе координат XT.д(и)YT.д(и) ZT.д(и) положение текщей точки M на образующей окружности радиуса rT.д(и) в текущем положении этой окружности при ее вращении вокруг оси аппликат ZT.д(и) . Это приводит к матричному уравнению поверхности Tд(и) заменяющего тора:

по координатам которых производится аппроксимация, следует брать ближе к границам элементарной ячейки

– в противном случае решение будет принципиально более точным, но менее устойчивым к всегда имеющих место погрешностям вычислений. С этих позиций можно определить оптимальную дистанцию между точкой К и периферийными точками (в пределах одной элементарной ячейки, на ее границах или далее) в зависи-

мости от параметров поверхностей Д(И) , их относительной локальной ориентации и точности вычислений. Локально поверхности Д(И) можно также аппроксимировать соприкасающимися параболоидами (пара-

болоидами кривизны):

Zд(и) 1 [Lд(и) xд2(и) Mд(и) xд(и) yд(и) Nд(и) yд2(и) ] .

2

В локальной системе координат, оси которой ориентированы вдоль главных направлений на Д(И) , это уравнение упрощается и преобразуется к виду:

Такого типа локальная аппроксимация применима только к дифференциальной окрестности текущей точки на поверхности Д(И) , за пределами которой погрешности аппроксимации могут резко увеличиться. В

то же время локальная аппроксимация заменяющими торами Tд(и) относится не только к дифференциальной

окрестности точки на поверхности Д(И) , но справедлива и за ее пределами – в пределах всей элементарной ячейки на Д . Таким образом параболоид кривизны отражает только дифференциальные свойства поверхности Д(И) , а заменяющий тор Tд(и) – ее локальные (а не только дифференциальные) свойства, что предпочти-

тельнее. Это следствие более высокой степени уравнения поверхности заменяющего тора Tд(и) (4-я степень)

по сравнению с уравнением поверхности параболоида кривизны (2-я степень).

Заменив локально поверхности Д и И торами Tд и Tи , записываем последние в их собственных системах координат. Далее при решении задачи локального формообразования вместо уравнений собственно поверхностей Д и И можно использовать уравнения торов Tд(и) , если они проще уравнений поверхностей

Д(И) .

Исходя из уравнений поверхностей торов Tд и Tи , касающихся одна другой в некоторой точке К , нахо-

дим основные элементы процесса локального формообразования поверхности детали, в том числе необходимые параметры элементарной ячейки на Д . Последнее используется при выборе следующей точки Кi 1 на

Д , которая рассматривается как новая точка касания поверхностей Д и И (точнее, поверхностей торов Tд и Tи ) и т.д. Для этого в некоторой исходной точке Кi расчитываются критические значения подач SВ и SП соответственно вдоль и поперек строки формообразования. Затем в наивыгоднейшем направлении движения формообразования от точки Кi на расстоянии дуги длиной SВ откладывается очередная точка Кi 1 . Расстояние между исходной Кi и последующей Кi 1 точками касания (т.е. между точками Кi и Кi 1 , Кi 1 и Кi 2 , … , и т.д.) не должно превышать критического значения подачи SВ . В случае наличия ограничений на

заменяющего тора Tд(и) . В результате решения этой задачи находятся координаты центра тора (три координаты XC , YC , ZC ), два угла наклона его оси ( T.д(и) и T.д(и) ), радиусы Rд(и) направляющей и rд(и) образующей окружностей. Желательно также установить оптимальное количество задающих тор Tд(и) элементов – точек или др.

параметры кинематики формообразования необходимо, чтобы направление движения инструмента от точки Кi к точке Кi 1 возможно меньше отклонялось от S В в каждой точке касания поверхностей Д(И) .

В рельном процессе обработки поверхность заменяющего тора Tи всегда больше или меньше смещена относительно поверхности заменяющего тора Tд . Результирующее смещение тора Tи относительно тора Tд может быть разложено на шесть элементарных составляющих – три относительных смещения x , y , z вдоль осей системы координат заменяющего тора Tи и три угловых погрешности x , y , z – повороты

вокруг осей этой системы координат. Рациональным выбором используемых систем координат количество этих составляющих может быть уменьшено. Погрешность формообразования отсчитывается вдоль нормали к

Tд – она равна расстоянию между ближайшими точками пересечения нормали n T.д к поверхности Tд торами Tд и Tи . Используя такой подход, можно расчитать величину результирующей погрешности формообразования, рассматривая при этом поверхности Д и И локально – в пределах одной формообразованной ячейки на Д (как торы Tд и Tи ) и на этом основании оценить насколько допустимо применение принципа суперпозиции элементарных составляющих hВ и hП для расчета результирующей погрешности формообразования h .

9.6. Связь между системами координат заменяющих торов

Решение задачи локального формообразования поверхностей деталей связано с многократными переходами от системы координат детали XдYдZд и от системы координат инструмента XиYиZи (далее – от систем

координат Xд(и)Yд(и) Zд(и) ) к системам координат XT.д(и)YT.д(и) ZT.д(и) поверхностей заменяющих торов Tд(и) и к подвижным локальным системам координат xд(K(и)) yд(K(и)) zд(K(и)) с началом в точке К касания поверхно-

стей Д и И . Такие и другие переходы требуется осуществлять как в прямом, так и в обратном направлении. Если дополнительно описать аналитически прямое и обратное преобразование систем координат с общим началом в точке К , но связанных с поверхностями заменяющих поверхность Д(И) торов Tд(и) (т.е. от ло-

кальной подвижной системы координат xд(K) yд(K) zд(K) к подобной ей системе координат xи(K) yи(K) zи(K) и об-

ратно), таким путем завершается образование замкнутого цикла последовательных прямых и обратных преобразований координат. Использование замкнутого цикла последовательных прямых и обратных преобразований координат существенно упрощает решение задач формообразования поверхностей деталей на металлорежущих станках.

тельно простое уравнение заменяющего тора, а не зачастую громоздкое уравнение собственно поверхности Д(И) . Если уравнение поверхности Д(И) проще, чем уравнение поверхности заменяющего тора Tд(и) , и

имеет при этом менее громоздкие первые и вторые производные по каждому из независимых параметров Uд(и) и Vд(и) , то переход от системы координат детали к системе координат поверхности заменяющего тора

можно исключить и осуществлять непосредственный переход к локальной системе координат с началом в точке К .

Как и выше, для аналитического описания многократных переходов от одной системы координат к другой системе используем операторы преобразования координат. В рассматриваемом случае эти операторы составляются так.

Оператор Res ( Д(И) Tд(и) ) перехода от системы координат Xд(и)Yд(и) Zд(и) к системе координат XT.д(и)YT.д(и) ZT.д(и) поверхности заменяющего тора Tд(и) удобно составить при помощи оператора перехода от системы координат Xд(и)Yд(и) Zд(и) к системе координат xд(K(и)) yд(K(и)) zд(K(и)) , а также оператора перехода от ло-

могут быть использованы для исследования формы элементарной формообразованной ячейки на поверхности Д детали (нормальных и др. кривизн поверхности регулярного микрорельефа в текущей точке его поверхно-

сти; текущего значения угла излома регулярного микрорельефа и др.), поскольку поверхность заменяющего тора Tи локально аппроксимирует исходную инструментальную поверхность И в точке К с точностью, не

ниже, чем до членов второго порядка.

Считаем, что поверхность Д(И) параметризована ортогонально, причем так, что направления коорди-

натных линий совпадают с главными направлениями поверхности. При такой параметризации поверхностей Д(И) преобразования координат существенно упрощаются.

Чтобы составить оператор результирующего преобразования координат, следует определить косинусы углов между осями системы координат детали и осями локальной системы координат. В качестве осей локальной системы координат могут быть использованы касательные к координатным линиям на поверхности