Radzevich, S.P. Monograph - 2001

Направление, в котором следует изменять параметры процесса формообразования, чтобы достичь наибольшей точности поверхности детали, определяется условиями (20). Следовательно, для наискорейшего увеличения точности формообразования параметры процесса следует изменять согласованно один с другим в соответствие с (32) и производить это изменение в направлении (20).

9.3.3. Рациональное согласование подач. Задача рационального согласования величин подач инструмента вдоль SВ (подача на зуб) и поперек SП строки формообразования может быть решена как частная за-

дача рассмотренной выше более общей, решаемой на основе использования градиентного подхода, задачи рационального согласования всех переменных параметров процесса формообразования поверхности детали. Вместе с тем в рассматриваемом случае возможны существенные упрощения, позволяющие получить интересующий результат более простыми путем.

Результирующая погрешность h формообразования поверхности детали определяется величинами двух элементарных составляющих hВ и hП (1). Логично предположить, что существует вариант согласования текущих значений подач SВ и SП , который при неизменной эффективности обработки приводит к образованию таких составляющих hВ и hП , при которых результирующая погрешность формообразования h мини-

мальна. Такой вариант согласования подач является наивыгднейшим1.

При фиксированной производительности формообразования незначительное увеличение подачи SВ до значения SВ и уменьшение подачи SП до значения SП может привести к существенному увеличению элементарной составляющей hВ – до значения hВ , при незначительном уменьшении составляющей hП (до значения hП ). Как следствие, существенно увеличивается результирующая погрешность формообразования h (см. выше, рис. 8.22 на с. 480). Справедливо и обратное: уменьшение подачи SВ до значения SВ и увеличение подачи SП до значения SП может привести к незначительному уменьшению составляющей hВ (до значения hВ ), но к заметному увеличению составляющей hП (до значения hП ). Как следствие, результирующая погрешность формообразования h может при этом увеличиться также существенно.

Рациональное согласование величин подач SВ и SП сводится к установлению таких их текущих значе-

ний, при которых эффективность формообразования неизменна, а результирующая погрешность формообразования h минимальна.

Максимальное значение составляющей hП равно некоторой части допуска [h] на результирующую погрешность h , т.е. hП c[h] . Здесь c – локальный параметр распределения допуска на точность формообразования, представляющий собой безразмерную величину, которая изменяется в пределах 0 c 1 . Для теку-

В соответствие с (2) максимальное значение составляющей hВ равно hВ (1 c)[h] . Подставив эти зна-

где A1 , A2 , …, A10 – инвариантные относительно “c ” параметры процесса формообразования.

1В некотором смысле формулируемая задача обратна рассмотренной выше задаче рационального распределения допуска на точность формообразования сложных поверхностей деталей (см. выше, пример 8.13, с. 479-482), рис. 8.22 из решения которой используем для иллюстрации решения рассматриваемой задачи.

2При необходимости значение параметра “ c ” может быть некоторым образом усреднено в пределах всего участка обрабатываемой поверхности детали или в пределах отдельных его частей.

В соответствие с изложенным выше h h (hВ; hП ) h (1 c)[h]; c[h] h (c) . Поэтому наивыгоднейшим будет такой вариант согласования подач SВ и SП , т.е. такое значение параметра “c ”, при котором выполняется условие

h (c)

0 . (9.35)

c

Всоответствие с правилом высших производных из всех полученных из уравнения (35) экстремальных значений параметра “c ” следует выбрать то его значение, которое удовлетворяет условию

2 h (c) 0 .

c2

Искомое значение параметра “c ” соответствует его значению, получаемому при решении рассмотренной выше (см. пример 8.13, с. 479-482) прямой задачи. Это позволяет использовать для его нахождения вместо уравнения h h (c) эквивалентное ему в данном случае уравнение

корень.

(38), имеет именно максимум, а не иной экстремум (рис. 9.6).

Наличие экстремума свидетельствует о том, что рассматриваемая функция не является монотонно убывающей. Из рис. 9.6 следует, что чем меньше допуск на точность обработки (т.е. чем более точные детали обрабатываются) тем параметр “c ” больше по величине. Такой характер рассматриваемой зависимости сохраняется до некоторого значения [h] , после чего величина параметра “c ” уменьшается.

Очевидно также, что параметр “c ” всегда неотрицателен.

Для решения уравнения (37) численными методами разработан (Радзевич С.П., Олейник Л.А., Радченко С.В., 1989) алгоритм, основанный на комбинации метода половинного деления и метода Ньютона. Сходи-

9.4. Точность формообразования при локально-экстремальных видах касания

При локально-экстремальных видах касания поверхностей Д и И через точку К проходит не менее одного направления, в котором минимальный диаметр dconf(min) индикатрисы конформности Indconf ( Д / И) ра-

вен нулю либо эта характеристическая кривая целиком вырождается в точку.

Во всех случаях локально-эстремального касания на поверхности детали неизбежно образуется остаточный детермированный регулярный микрорельеф, который уместнее назвать субмикрорельефом. Результирую-

щую высоту субмикрорельефа удобно разделить на две составляющие. Образование составляющей hВ(s) вызвано дискретностью воспроизведения реальным инструментом его исходной инструментальной поверхности, а составляющей hП(s) – точечным характером касания поверхности детали и исходной инструментальной по-

верхности в процессе обработки.

Равенство модулей радиусов кривизны плоских нормальных сечений поверхностей Д и И в точке К исключает возможность использования зависимостей (10), (11), (13) и (18) для определения элементарных составляющих hВ и hП результирующей погрешности h формообразования и расчета по зависимостям

(8.23)-(8.26) и (8.30)-(8.33) критических значений подач SВ и SП инструмента.

Достаточную для применения в инженерной практике точность могут дать аналитические зависимости, представляющие собой конечный отрезок степенного ряда Тейлора, в который раскладываются составляющие

hВ(s) и hП(s) результирующей погрешности формообразования.

По крайней мере в одном из проходящих через точку K плоских нормальных сечений поверхностей Д и И , касание которых локально-экстремальное, выполняется условие Rи Rд (рис. 9.7). При задании в локальной системе координат x y профиля нормального сечения поверхности Д детали уравнением вида

С учетом (39) при выбранном расположении локальной системы координат выполняется условие:

Использованные в этой формуле значения производных вычислены в точке A(xA; yA) .

Решая уравнение (40) совместно с уравнением И(x, y) 0 , определим положение соответствующей точки B(xB; yB ) на профиле сечения поверхности И инструмента. Если точка A отстоит от точки K на расстояние, равное половине подачи на зуб, то расстояние между точками A(xA; yA) и B(xB; yB ) равно высоте

составляющей hВ(s) остаточного субмикрорельефа, которая не должна превышать допуск [hВ ] на точность формообразования. Поэтому

Если a) в текущей точке К , b) на некотором фрагменте траектории формообразования или c) в пределах некоторого участка поверхности Д расчеты величин погрешностей формообразования (и критических значе-

ний подач SВ и SП ), выполненные по формулам (10), (11), (13) и (18), приводят к значениям, равным соответственно 0 и , то такую точку, фрагмент траектории формообразования или участок поверхности Д необходимо исследовать на наличие в ней локально-экстремального вида касания поверхностей Д и И . Если выполняются соответствующие условия, то зная величину подачи SВ , по уравнению (42) определяем абсциссу xA точки A(xA; yA) , подставив значение которой в уравнение Д(x, y) 0 , найдем ординату yA этой же точки A(xA; yA) . Подставив далее найденные координат xA и yA в уравнение (40) и решив его совместно с уравнением И(x, y) 0 , определим координаты xB и yB точки B(xB; yB ) . Координаты точек A(xA; yA) и B(xB; yB ) позволяют по формуле (41) вычислить значение hВ(s) погрешности формообразования.

Высота другой составляющей hП(s) остаточного детерминированного регулярного субмикрорельефа на-

ходится аналогичным путем.

В случае, если задан допуск hВ на точность формообразования и требуется решить обратную задачу, критическая величина подачи SВ находится так.

Решая систему уравнений

Как при определении погрешности формообразования hВ , так и при расчете величины критической подачи SВ , обычно приходится оперировать с неявно заданными аналитическими функциями вида Д(x, y) 0 и И(x, y) 0 . Это усложняет вычисление величин hВ и SВ . Для упрощения вычислений непрерывные функ-

заданы в неявной форме. Дифференцирование этих двух уравнений по x на основании формулы (Корн, Г.,

Корн, Т., 1974)