Radzevich, S.P. Monograph - 2001

370 7. Условия формообразования поверхностей деталей

Выполнение или нарушение третьего условия формообразования поверхностей деталей определяется соотношением величин и знаков радиусов кривизны линий пересечения поверхности Д детали и

поверхности И инструмента соответствующей нормальной плоскостью.

Правильное формообразование поверхности Д детали возможно только в случае, когда в каждой точке

К третье условие формообразования выполняется во всех плоских нормальных сечениях, т.е. во всех плоскостях, проходящих через контактную нормаль.

В текущей точке К через контактную нормаль может быть проведено бесчисленное множество нормальных секущих плоскостей, образующих пучок плоскостей. Определение значений нормальных радиусов кривизны поверхностей Д и И в каждом сечении пучка плоскостей трудоемко, поскольку требует

выполнения большого объема громоздких вычислений. Кроме того, не всегда в этом имеется потребность: проверку выполнения третьего условия формообразования достаточно произвести только в одном или в нескольких наиболее неблагоприятных (так называемых “опасных”) нормальных сечениях. Положение опасного сечения можно установить исходя из анализа параметров формы и относительного расположения поверхности Д детали и поверхности И инструмента в точке К .

В пределах дифференциальной окрестности точки К в любом из проходящих через нее плоских нормальных сечений линия пересечения поверхностей Д и И с точностью до членов второго порядка может

рассматриваться как выпуклая или вогнутая дуга кривой второго порядка. В частных случаях эта дуга вырождается в отрезок прямой линии. Других типов линий пересечения гладких регулярных локальных участков поверхностей Д и И нормальной секущей плоскостью нет и быть не может.

Несложный анализ показывает, что в пределах дифференциальной окрестности точки K возможно только тринадцать принципиально различных схем касания линий сечения поверхностей Д и И нормальной

плоскостью (табл. 7.1). Очевидно, что для случаев 1.1.0; 1.2.1; 1.2.2; 1.3.0; 2.1.1; 2.1.2; 3.1.0 и 3.3.0 третье условие формообразования выполняется, тогда как для случаев 1.2.3; 2.1.3; 2.2.0; 2.3.0 и 3.2.2 – не выполняется.

Соотношения величин и знаков нормальных радиусов кривизны Rд и Rи (см. табл. 7.1) по сути

являются аналитической формой записи третьего условия формообразования применительно к каждой частной схеме касания линий нормального сечения поверхностей Д и И . Совокупность частных

соотношений дает возможность составить одно обобщенное уравнение

(7.12) Rд Rи sgn Rд sgn Rи 0 ,

которое представляет собой обобщенную аналитическую форму записи третьего условия формообразования поверхностей деталей. Уравнение (12) справедливо для всех случаев касания линий нормального сечения поверхностей Д и И (см. табл. 7.1).

Для удобства вычислений зависимость (12) бывает целесообразным представить в таком виде:

В фиксированной точке K величины нормальных радиусов кривизны Rд поверхности Д детали и Rи

поверхности И инструмента переменны и зависят от направления, через которое проходит нормальная секущая плоскость. Следствием этого является то, что в аналитическом представлении третьего условия формообразования поверхностей деталей появляется избыточный параметр. Поэтому использовать аналитическое представление третьего условия формообразования в форме (13) (так же, как и в форме (12)) не всегда удобно. Количество переменных параметров в (13) удобнее уменьшить. Для этого переменные

величины Rд и Rи следует выразить через постоянные по величине соответствующие значения главных

радиусов кривизны. С этой целью воспользуемся формулой Эйлера.

Для поверхности Д детали, пересекаемой нормальной секущей плоскостью Сд , формулу Эйлера запишем так:

относительной локальной ориентации. Поэтому радиус кривизны сечения поверхности И инструмента той же нормальной плоскостью Сд можно определить из соотношения

которое содержит только один переменный параметр .

Если использовать формулы для расчета величин главных кривизн:

kд k1.д sin 2 k2.д cos2 ;

kи k1.и sin 2 k2.и cos2 ,

получим зависимость:

sgn k1.д sin 2 k2.д cos2 k1.и sin 2 k2.и cos2

sgn k1.д sin 2 k2.д cos 2 sgn k1.и sin 2 k2.и cos2 1.

которая также содержит единственный переменный параметр и эквивалентна (18).

Для некоторых технологических операций выполнение третьего условия формообразования поверхностей деталей является особенно важным, например, как это имеет место при затачивании по передним поверхностям зубьев протяжек, предназначенных для обработки отверстий.

7.1.3.1. Использование поверхности приведенной кривизны. В дифференциальной окрестности точки К для описания во втором приближении условий касания поверхности Д детали и поверхности И

инструмента может быть использовано уравнение поверхности приведенной кривизны (см. раздел 4.4.2). В локальном подвижном ортонормированном базисе уравнение этой поверхности приводимо к виду (4.38):

2z k1.прx2 k2.пр y2 ,

где k1.пр и k2.пр – главные кривизны поверхности приведенной кривизны (4.35).

Чтобы исключить возможность локальной интерференции детали и инструмента, измеряемый параллельно контактной нормали зазор между поверхностями Д и И в дифференциальной окрестности

точки К обязательно должен быть неотрицательным. Для выполнения этого условия приведенная кривизна должна быть неотрицательной во всех проходящих через точку К направлениях. Из этого следует, что

инструмента (рис. 7.3.1), когда третье условие формообразования заведомо нарушается. Вследствие интерференции поверхностей Д и И в пределах сектора индикатриса конформности Indconf Д / И

пересекает сама себя (рис. 7.3.2.) – ветви этой кривой, для которых dconfmin 0 , показаны пунктиром. Самопересечение ветвей индикатрисы конформности Indconf Д / И свидетельствует о том, что в текущем

плоском нормальном сечении поверхностей Д и И , проходящем в пределах сектора с центральным углом, имеет место нарушение третьего условия формообразования поверхностей деталей (рис. 7.3.3), когда справедливо соотношение Rи Rд . В этом случае геометрически точно формообразовать поверхность

детали нельзя.

Индикатриса конформности (17) не только позволяет описать геометрию касания поверхности Д детали

и поверхности И инструмента во всех нормальных сечениях, проходящих через точку К , но дает однозначный ответ на вопрос об ориентации наиболее опасного нормального сечения, в котором следует производить проверку выполнения третьего условия формообразования поверхностей деталей в первую очередь (в том числе при очевидном его выполенении) – направление наиболее опасного плоского

нормального сечения совпадает с направлением измерения минимального диаметра dconfmin индикатрисы конформности Indconf Д / И .

Рис. 7.3. Пример нарушения третьего условия формообразования поверхностей деталей.

7.1.3.3. Особые случаи касания поверхностей деталей и инструментов. Особые случаи возникают,

нормальной секущей плоскостью с точностью до членов второго порядка малости может рассматриваться как отрезок прямой линии. Например (рис. 7.4.1), в точке К радиусы кривизны нормального сечения поверхности детали и исходной инструментальной поверхности равны один другому и равны бесконечности

( Rд Rи ), однако на участке KI профиля сечения детали наблюдается интерференция поверхностей Д

и И . Аналогичное явление может наблюдаться при определенном соотношении радиуса кривизны нормального сечения поверхности И инструмента и параметров кривизны поверхности Д детали

(рис. 7.4.2). Если плоское нормальное сечение поверхности детали представляет собой дугу кривой с монотонно изменяющейся кривизной (рис. 7.3), то в некоторой точке К радиусы кривизны нормальных

сечений поверхностей Д и И равны один другому по модулю и противоположны по знаку ( Rд Rи ). Очевидно, что в этом случае на участке KI профиля неизбежно имеет место интерференция поверхностей Д

и И . Последнее характерно для любых кривых профиля нормального сечения поверхностей Д и И ,

например, если они описываются разными кубическими параболами (рис. 7.4.4.), когда третье условие формообразования поверхностей нарушается только с одной стороны от точки К .

В дифференциальной окрестности точки перегиба кривизна нормального сечения поверхности Д И равна нулю. Такое плоское нормальное сечение поверхности Д И неотличимо от аналогичного сечения

другой поверхности, имеющей другие параметры формы.

В особых случаях для аналитического описания третьего условия формообразования поверхностей

Рис. 7.4. Особенности касания поверхностей Д и И в дифференциальной окрестности точки перегиба.

(рис. 7.5) учитывать только соотношения величин и знаков радиусов кривизны линий соответствующего нормального сечения поверхностей Д и И не достаточно – необходимо дополнительно принимать во

внимание соотношение интенсивностей их изменения в дифференциальной окрестности точки К .

Мерой интенсивности изменения величин нормальных радиусов кривизны поверхностей Д и И могут

служить производные Rд и Rи радиусов нормальной кривизны, взятые по длине дуги линий нормального

lд lи

сечения этих поверхностей. С учетом изложенного, для особых случаев аналитическое представление третьего условия формообразования поверхностей деталей записывается в форме:

Это соотношение может быть использовано в (18).

проходящих через точку К, плоских нормальных сечениях поверхностей Д и И .

Вслучае локально-экстремального касания справедливость соотношения rconf 0 является

необходимой, но не достаточной для того, чтобы третье условие формообразования поверхностей деталей выполнялось.

В приведенной выше интерпретации (18) третье условие формообразования в случаях локальноэкстремального касания поверхностей Д и И становится неопределенным. Поэтому наряду с

необходимостью его выполнения, необходимо дополнительно потребовать выполнения условия (19).

С целью упрощения последующих вычислений, аналитическое представление третьего условия формообразования поверхностей деталей в рассматриваемом случае целесообразно представить в более

где остаточный член рассчитывается по формуле:

Значения нормальных радиусов кривизны Rд(и) , рассчитанные по формуле (20), можно использовать в

(18)и (19) при проверке выполнения третьего условия формообразования поверхностей деталей.

7.1.4.Четвертое условие формообразования. Установленные соотношения между дифференциальными

характеристиками поверхностей Д и И не являются достаточным основанием для решения вопроса о

наличии или отсутствии интерференции детали и инструмента вне дифференциальной окрестности их общей точки К . При отсутствии локальной интерференции деталь и инструмент могут интерферировать одна в другую вне дифференциальной окрестности точки их касания – глобально (рис. 7.6.1). Чтобы исключить возможность такой интерференции, в рассмотрение вводится четвертое условие формообразования поверхностей деталей, которое требует отсутствия интерференции поверхности Д детали и поверхности И

инструмента вне дифференциальной окрестности точки их касания. Интерференция такого типа является

интерференцией третьего рода поверхностей Д и И .