Radzevich, S.P. Monograph - 2001

от другого. Так, при проектировании зуборезной гребенки находим, что ее исходная инструментальная поверхность, образованная в соответствие со способом (см. рис. 5.9), представляет собой поверхность прямобочной рейки И . Если же проектировать эвольвентную червячную фрезу, то точно такая же прямобочная рейка служит вспомогательной производящей поверхностью T при образовании исходной инструментальной поверхности в соответствие со способом (см. рис. 5.10). В рассматриваемом примере

поверхности И и T идентичны одна другой и рейка T может рассматриваться как поверхность И1 Т . Если ограничиться рассмотрением случая, когда поверхность Д детали задана уравнением в неявной

форме, ее текущее положение относительно неподвижной системы координат XYZ при движении со скоростью V1 (с параметром огибания 1 ) записывается так:

Д Xд, Yд, Zд, 1 0 .

Рассматривая это уравнение совместно с уравнением:

1 Д Xд, Yд, Zд, 1 0 ,

находим уравнение вспомогательной производящей поверхности T :

Исключив из этих уравнений параметр огибания 1 , после преобразований приходим к уравнению вспомогательной производящей поверхности T в виде:

T T XT , YT , ZT 0 .

Поступая аналогично, а именно, перемещая в пространстве вспомогательную производящую поверхность T со скоростью V2 (с параметром огибания 2 ) получим уравнение исходной инструментальной поверхно-

сти И :

которое после преобразований приводится к виду:

И И Xи, Yи, Zи 0 .

Tекущее положение поверхности Д инструмента, совершающего двухпараметрическое движение, можно задать уравнением:

Д Xд, Yд, Zд, 1, 2 0 .

Тогда исходная инструментальная поверхность И определится из системы уравнений:

которая также может быть преобразована к виду И И Xи, Yи, Zи 0 .

Результирующее относительное движение поверхностей Д и И не обязательно раскладывать на составляющие. Его можно рассматривать как сложное движение с результирующим параметром огибания . В этом случае поверхность И инструмента описывается системой уравнений

которая также приводится к виду И И Xи, Yи, Zи 0 .

Если поверхность Д задана уравнениями в векторной, параметрической или в иной форме, нахождение

исходной инструментальной поверхности производится аналогично (см. выше, раздел 5.2).

Образование исходной инструментальной поверхности непосредственно по результирующему относительному движению, осуществляемому со скоростью V , менее удобно, поскольку связано с необходимостью

выполнения громоздких преобразований – их удобнее выполнять поэтапно. Это очевидно из примера образования исходной инструментальной поверхности червячной фрезы – ее поверхность И можно образовать как по способу при однопараметрической, так и по способу при двухпараметрической кинематической схеме формообразования. В обоих случаях результат будет тот же, но второй способ в данном случае предпочтительнее.

При определении поверхности И инструмента как огибающей последовательных положений поверхности детали относительные движения, которые приводят поверхность Д детали или вспомогательную поверх-

ность T к движению “самой по себе”, во внимание не принимаются – огибающая как поверхности Д , так и поверхности T , совершающей такое движение, конгруэнтна самой поверхности Д и T соответственно (см.

раздел 2.4).

Способ образования исходной инструментальной поверхности при двухпараметрической кинематической схеме формообразования дает качественный, но не дает количественный ответ на вопрос об относительном положении детали и инструмента в процессе обработки. Открытым остается вопрос выбора параметров кинематической схемы формообразования. Точное аналитическое решение этой задачи (задачи определения наивыгоднейших параметров кинематической схемы профилирования и на этой основе расчета параметров геометрии поверхности И наивыгоднейшего фасонного режущего инструмента) может быть получено исходя из аналитического описания геометрии касания поверхностей Д и И и обеспечения в процессе обработки

требуемой степени конформности исходной инструментальной поверхности к поверхности детали (см. гл. 4). На примере кинематических схем формообразования (см. рис. 5.10) также можно исследовать влияние на точность и качество обработки изменения степени конформности поверхностей Д и И , как это сказывается

на чувствительности результирующей погрешности формообразования к величинам погрешностей наладок и др.

Способ образования исходных инструментальных поверхностей при двухпараметрической кинематической схеме формообразования (см. рис.5.10) можно рассматривать как пример применения к решению задач профилирования инструмента первого принципа Оливье (Olivier, T., 1842) образования взаимоогибаемых поверхностей.

5.3.3. Образование исходной инструментальной поверхности при многопараметрической кинемати-

ческой схеме формообразования. Скорость V результирующего относительное движение поверхностей Д

302 5. Профилирование фасонных режущих инструментов

и И можно представить как сумму скоростей Vi конечного (в общем случае больше двух) числа элементар-

n

ных движений: V Vi – принципиальных ограничений на количество элементарных движений нет1.

i 1

Если движение со скоростью V раскладывается на n составляющих, можно образовать n 1 вспомогательных производящих поверхностей T1 , T2 , …, Tn 1 . Последняя вспомогательная производящая поверхность Tn конгруэнтна исходной инструментальной поверхности И т.е. Tn И . Развитие принципов

Оливье в этом направлении подтверждется возможностью образования сопряженных поверхностей при помощи двух вспомогательных производящих поверхностей (Левитский Н.И., 1990), что следует рассматривать как третий принцип образования сопряженных поверхностей (Николаев А.Ф., 1953). Однако увеличение количества элементарных движений приводит к образованию сложных кинематических схем формообразования. В технологии формообразующей обработки поверхностей деталей исходная инструментальная поверхность образуется, как правило, при помощи не более, чем двух вспомогательных производящих поверхностей

(Кирсанов Г.Н., 1977, 1978).

Если исходить из того, что поверхность Д детали задана в параметрической форме уравнениями вида

E1 характеристика поверхности Д детали и первой вспомогательной производящей поверхности T1 ; Ei характеристика Ti 1 и Ti вспомогательных производящих поверхностей и En характеристика последней вспомогательной производящей поверхности Tn 1 и исходной инструментальной поверхности И ).

Уравнения (39) дают возможность решить прямую задачу теории формообразования поверхностей деталей, т.е позволяют найти поверхность И инструмента при любом количестве элементарных движений в принципиальной кинематической схеме формообразования. Их следует рассматривать как необходимые условия существования исходной инструментальной поверхности.

Аналогичное имеет место при решении обратной задачи теории формообразования поверхностей деталей, когда после выполнения необходимых преобразований уравнения поверхности И инструмента приводятся к параметрическому виду:

1Известны, например, способы затылования цилиндрических и конических червячных фрез, кинематическая схема формообразования которых состоит из четырех, пяти и даже шести элементарных движений.

В этом случае формообразованная поверхность детали находится путем решения системы уравнений:

системы координат детали, а каждое последующее уравнения – характеристику Ei .

В уравнениях (39) и (40) через i обозначен i -й параметр огибания. Он отличается от соответствующего ему i -го параметра огибания направлением движения, т.е. знаком.

Уравнения (2.29) и (2.30) дают возможность решить обратную задачу теории формообразования поверхностей деталей – позволяют найти фактически формообразованную поверхность Д детали спрофилирован-

ным инструментом при известной многопараметрической кинематической схеме формообразования.

Каждая дополнительная степень свободы в принципиальной кинематической схеме формообразования приводит к появлению в системах уравнений (39) и (40) дополнительного определителя с частными производными. Следствием этого являются громоздкие преобразования при решении как прямой, так и обратной задач. Исключение из кинематической схемы формообразования элементарных движений приводит к исключению соответствующего количества определителей в системах уравнений (39) и (40), что упрощает решение задачи. Принципиально относительно простая задача нахождения огибающей при решении прямой и обратной задач теории формообразования поверхностей деталей часто сопряжена с трудностями технического характера.

5.3.4. Определение характеристики поверхности детали и исходной инструментальной поверхно-

сти. Пусть в системе координат XдYдZд уравнение поверхности детали задано уравнением в неявной форме Д Xд,Yд, Zд 0 . Требуется найти уравнение сопряженной с ней исходной инструментальной поверхности.

Особенностью рассматриваемого подхода является возможность нахождения параметров характеристики E в системе координат, где это выполняется наиболее просто. Например, для определения характеристики в

системе координат XдYдZд не возникает необходимость предварительного перехода к системе координат XиYиZи инструмента, решения в этой системе координат системы уравнений вида

(42), описывающие семейство поверхностей И с параметрами 1 , 2 , …, i , …, n . Очевидно, что для на-

этих выражениях перейти от переменных Xи , Yи , Zи к переменным Xд , Yд , Zд , запишем