Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Технология машиностроения

Файл:

Radzevich, S.P. Monograph - 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

24.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

200	4. Геометрия касания поверхнсти детали и исходной инструментальной поверхности

4.2. Относительная локальная ориентация детали и инструмента

Для решения задачи синтеза наивыгоднейшего формообразованя поверхности детали необходима количественная мера, позволяющая дать ответ на вопрос как ориентирован инструмент относительно детали. В общем случае относительная ориентация детали и инструмента в точке K определяется величиной угла относительной локальной ориентации поверхностей Д и И – локальной потому, что эта мера относится

только к дифференциальной окрестности точки K . Введем

Определение 4.1. Угол относительной локальной ориентации поверхностей Д и И – это угол, который составляют первые T1.д и T1.и , (или, что то же самое, вторые T2.д и T2.и ) главные направления на поверхности Д детали и исходной инструментальной поверхности И в точке K их касания.

Угол измеряется в общей для поверхностей Д и И касательной плоскости.

Решая задачу нахождения угла , предполагаем, что поверхности Д и И заданы аналитически в общей системе декартовых координат, например, в системе координат XдYдZд , связанной с деталью, а

уравнения этих поверхностей представлены в параметрической (1.1) или в векторной (1.2) форме.

Если поверхности Д и И касаются одна другой в точке, то координаты точки K , в которой собственно и требуется определить величину угла , одновременно удовлетворяют уравнениям поверхности Д детали

и исходной инструментальной поверхности И . Совместное решение этих уравнений однозначно определит координаты, как правило, единственной точки К.

Если поверхности Д и И касаются одна другой вдоль отрезка линии, то совместное решение

уравнений этих поверхностей определит координаты всех точек линии касания – характеристики E (также, как правило, единственной). В этом случае угол можно рассчитать в любой точке характеристики E .

Следовательно, для случая линейного касания поверхностей Д и И задача определения величины угла

дополняется необходимостью конкретизации (выбора или установления по определенным правилам) точки K на характеристике E , в которой требуется расчитать величину угла . Таким образом при линейном

касании текущее значение угла определяет относительную локальную ориентацию поверхностей Д и И

в текущей точке K характеристики E .

Если поверхности Д и И касаются одна другой в пределах некоторого участка поверхности, задача определения величины угла вырождается в тривиальную и не представляет интерес: угол в этом случае

тождественно равен нулю 0 в каждой точке общего для поверхностей Д и И отсека или не определен. Определение величины угла представляет интерес только в случаях, когда поверхности Д и И

касаются одна другой либо в точке, либо вдоль характеристики E .

Вединственной или в выбранной на характеристике E точке K (рис. 4.5) проведем общую касательную плоскость и контактную нормаль.

Всистеме координат XдYдZд положение касательной плоскости и нормали к поверхности Д

однозначно определяется через направления касательных

r д

rд

к координатным U

и V линиям.

Uд

Vд

Поскольку поверхности Д И отнесены к криволинейным координатам,

векторы касательных

r д

rд

Uд

Vд

можно записать в форме

(4.13)

x K

rд

X Uд, Vд

Y Uд, Vд

Z Uд, Vд

;

(4.14)

y K

rд

X Uд, Vд

Y Uд, Vд

Z Uд, Vд

4.2. Относительая локальная ориентация детали и инструмента

201

			n д	С1.д С1.и
С2.д		С2.и
				t1.д
Д			К	t1.и
Д			К
				t 2.д
	К			t 2.и
Zд	К
Zд	rд	И
				n и

Yд

Xд

Рис. 4.5. К определению величины угла относи-

тельной локальной ориентации детали и инструмента.

Уравнения (13) и (14) позволяют записать уравнение плоскости, касательной к поверхностям Д

и И в их неособой точке K :

д r

K ;

;

0 ;

Uд

Vд

			K	rд

r	д	r
r		r
			д	Uд
					K
					K

или в такой форме

X	д	x(K)	Xд
X		x(K)	Uд

				K
				K
Y y( K)			Yд
Y y( K)
д			Uд
				K
				K
Z	д	z(K)	Zд
Z		z(K)	Uд

				K
				K

rд

		0
		0
Vд
	K
	K

Xд
Xд
Vд	K
Vд	K
Yд		0 . (4.15)
Vд	K	0 . (4.15)


Zд
Vд	K
Vд	K

Все производные по параметрам Uд и Vд рассчитываются в точке K . Уравнение касательной плоскости также представимо в виде

a X

x(K) b Y y(K) c Z

z(K)

0 ,

где коэффициенты a , b , c равны

Yд

Zд

Xд

Yд

Uд

;

Uд

;

Uд

(4.16)

Vд

Контактная нормаль

N K

точке

касания поверхностей

проходит

через точку K

перпендикулярно общей касательной плоскости, т.е. перпендикулярно плоскости, содержащей векторы

r д

Uд

rд

. Уравнение

контактной

нормали

записывается так

rд

r д

и может

быть

Vд

Uд

Vд

представлено в форме

rд r дK

t n дK ,

где

t –

постоянная величина;

n дK

–

орт контактной нормали,

равный:

a i д b jд

c k д

a 2 b2

202	4. Геометрия касания поверхнсти детали и исходной инструментальной поверхности

	C2.u	C2.д		rд
		y	д	rд
			д	V
	дru			д
yu	дru
yu	дV	u
	u	u
	u
				д	ru
				xu	ru
					Uu
		T2.д				rд
		T2.д		x	д	rд
	T2.u	2		u	д	Uд
				д	C1.u
					C1.u
	2

			K		T1.u T1.д			C1.д
			Рис. 4.6. Относительная локальная ориентация поверхности Д
			детали и ИИП И .
	В общей касательной плоскости через точку				K попарно проходит по два направления
rи	,	rи	, касательные к координатным U	д	, V и U	и	,	V линиям. Углы	K
	,		, касательные к координатным U		, V и U		,	V линиям. Углы	K
Uи		Vи			д			и	д
Uи		Vи

координатными линиями рассчитываются по формулам:


r д		,	rд	и

U	д		V
			д

и иK между

(4.17)

sin ω

EдGд Fд2

;

cos ω

Fд

sin ω

Eи

Gи Fи2

;

cos ω

Fи

EдGд

EиGи

Направления касательных

r д

rд

rи

приняты в качестве направлений осей двух

локальных косоугольных систем координат xд yд

xи yи , развернутых одна относительно другой (рис. 4.6)

на некоторый угол.

Углы

между осями

xд

и xи , а также

yд

yи

систем координат

xд yд и

xи yи

(см. рис. 4.6.)

рассчитываются по формулам

rд

rи

rд

rи

cos cos x , x

Uд

Uи

;

cos ε cos y , y

Vд

Vи

rд

rи

д и

rд

rи

Uи

Vи

Uд

Vд

В точке

K строим две пары взаимно ортогональных направлений

T1.д и

T2.д и , совпадающих со

следами пересечения касательной плоскости (15) главными секущими плоскостями

C1.д и

и C2.д и .

Необходимым и достаточным условием того, чтобы направление

Uд

было главным,

является равенство

Vд

нулю определителя (2)

4.2. Относительая локальная ориентация детали и инструмента

203

EдdUд FдdVд

FдdUд GдdVд

0 ,

(4.18)

LдdUд MдdVд

MдdUд NдdVд

раскрывая который, получим (4) или:

L E

0 .

(4.19)

д д

В системах

координат

xд yд

xи yи

главные

направления

определяются как корни

квадратного

уравнения (4) или (19).

Uд

При ортогональной

, V

параметризации поверхности

отношение

определяет величину

Vд

тангенса угла д

между направлением

T1.д

и Uд линией.

При изогональной

Uд, Vд параметризации

величина угла д

по известному соотношению

Uд

расчитываются по формуле

Vд

Uд

sin ξд

Vд

sin ωд .

(4.20)

cos ω 1

Угол sin ξд можно также расчитать другим путем. В соответсвие с цепным правилом запишем

r д

rд

dV .

По определению tan д

sin д

. Функции sin д

и cos д

можно расчитать по формулам:

cos д

rд

drд

rд

dr д

Uд

sin

cos д

rд

Uд

Отсюда следует, что:

				rд	dr
					dr
	sin	д	Uд		д
tan д	sin		Uд

	cos	д		rд	drд	r	д
	cos			rд		r
				Uд
						Uд
						Uд

Но в соответствие с (1.24) и (1.26)

r д

rд

Uд

Vд

r д

rд

dUд

dVд

204

4. Геометрия касания поверхнсти детали и исходной инструментальной поверхности

rд

r д

rд

r д

;

2 .

Uд

Vд

Uд

Vд

Отсюда получаем, что

dVд

EдGд Fд2

tan

dUд

Eд Fд

dVд

dUд

Из рис.4.6. следует, что и д и д и и д д и , откуда д и .

Зависимость

д и

дает

возможность

аналитически рассчитать

величину угла

относительной локальной ориентации детали и инструмента в текущей точке K их касания.

Найденное значение угла

используется при решении многих задач формообразования поверхностей

деталей, например, при составлении формул и операторов результирующего преобразования локальных систем координат.

Пример 4.1. Требуется определить величины углов между осями локальных систем координат. Для этого рассмотрим две

компланарные системы косоугольных координат с общим началом в точке K (рис. 4.7).

Оси системы координат xд yд расположены касательно к координатным Uд

и Vд

линиям на поверхности

Д . Направления

осей x

такой системы координат определяются направлениями векторов

rд

соответственно.

Uд

Vд

Оси

второй

системы координат

xи yи

расположены

касательно к координатным

координатным

Uи и

Vи линиям на

поверхности

И .

Направления осей

этой системы координат

определяется

направлениями

векторов

rи

Uи

Vи

соответственно.

Аналогично (20) имеем:

Vи

(4.21)

sin ξи

Uи

sin ωи .

cos ω 1

Uи

В общем случае поверхности Д

развернуты одна относительно другой на угол относительной локальной ориентации .

При заданном относительном положении поверхностей величина угла

в каждой точке их касания либо известна, либо может быть рассчитана

(см. выше).

Из изложенного и рис. 4.6. следует, что угол между осями

yд и

yи локальных подвижных систем координат xд yд и xи yи					равен:
(4.22)		и		д д и ,
а угол	между осями xд и xи :
(4.23)		и		д д и .
Формулы для расчета величин углов: д – (17), д					– (20), и	–
(17), и	– (21),	– (22) и		– (23), позволяют установить формулы
xд xд xи , yи ,		yд yд xи ,	yи	перехода от системы координат xи yи		к

			u		y	д	rд
					y		V
							V
							д
Q	rC	P
Q		S		C	д
				C					ru
D							x	u	ru
							x		Uu
			H						Uu
	B		H
	B							xд	rд
								xд	rд
K	T		A						Uд

Рис. 4.7. Локальные косоугольные системы координат

детали и инструмента.

4.2. Относительая локальная ориентация детали и инструмента

205

системе координат xд yд и формулы xи xи xд, yд ,

yи

yи xд, yд обратного перехода. Из рис. 4.7 следует, что:

sin ωи

sin θsin ωи

ωд θ

sin ωи

ωд θ

;

и sin ω

sin ω

sin

sin ω

sin θsin ω

sin ωд sin ωд

sin ωд

sin ωд θ

Аналогично получаем, что

sin ω

sin θsin

sin ω

x x

;

sin ωи sin ωд θ

sin ωи

sin ωд θ

sin θ

sin ωд

sin θsin ωи ωд θ

д sin ω

sin ω

Эти уравнения могут быть представлены в виде оператора прямого:

	sin ωи		sin θsin ωи ωд θ						sin ωи ωд θ
	sin ω	θ										0	0
	sin ω	θ		sin ω sin ω			θ				sin ω	0	0
	и				д	и		sin ωи			д
Rs и д				sin θ				sin ωи			sin θsin ωи ωд θ	0	0 .

								sin ωд θ			sin ωд sin ωд θ
				sin ωд
				sin ωд
			0							0		1	0
			0							0		0
			0							0		0	1

И обратного

	sin ωд
	sin ω	θ
	д

Rs д и

sin θsin ωи ωд θ			sin ωи ωд θ
							0	0
	sin ωи sin ωд θ				sin ωи		0	0
	sin ωи sin ωд θ				sin ωи	ωд θ
	sin θ	sin ωд			sin θsin ωи	ωд θ	0	0 .

		sin ωи θ			sin ωи sin ωи θ
	sin ωи
	sin ωи
0				0			1	0
0				0			0
0				0			0	1

преобразования координат:

В случае ортогональной параметризации поверхности Д приведенные выше формулы преобразуются к виду:

xд	xи cos θ yи sin θ;			xи	xд cos θ yд sin θ;
yд	xи sin θ yи cos θ;			yи	xд sin θ yд cos θ
и также могут быть представлены в виде оператора прямого:
		cosθ				sin θ	0	0
						cosθ	0
	Rs и д Rt , zи	sin θ				cosθ	0	0
	Rs и д Rt , zи			0		0	1	0
				0		0	0
				0		0	0	1

и обратного
			cosθ			sin θ	0	0
						cos θ	0
	Rs д и Rt , zд		sin θ			cos θ	0	0
	Rs д и Rt , zд			0		0	1	0
				0		0	0
				0		0	0	1

преобразования координат.

Очевидно, что приведенные результаты находятся в полном соответствии с подходом, рассмотренным выше (см. гл.3).

206 4. Геометрия касания поверхности детали и исходной инструментальной поверхности

4.3.Первое приближение: общая касательная плоскость

Касающиеся одна другой поверхность Д детали и исходная инструментальная поверхность И всегда

имеют общую касательную плоскость. Касательную плоскость можно рассматривать как первое приближение некоторого геометрического образа, позволящего составить представление о геометрии касания поверхностей

Д и И в дифференциальной окрестности точки	K .		Положение и ориентация касательной плоскости
определяются координатами точки K и направлением контактной нормали в ней.
Если поверхность Д И задана векторным уравнением (1),						уравнение общей касательной плоскости
записывается так (1.11):

K	rд			rд
rКП rд						,
	U			V	K
		д		д

где r КП – радиус-вектор текущей точки касательной плоскости в исходной системе координат XдYдZд ;

rдK – радиус-вектор точки K в той же системе координат. Контактная нормаль в точке K равна

		r	д		r	д
N	д						.

		U			V
				д		д	K

Если формообразование поверхности Д детали рассматривается в локальной подвижной системе координат x K y K z K , приведенные уравнения существенно упрощаются и приводятся к виду

-Z K 0 – для касательной плоскости;

-N д N д k K – для контактной нормали ( и n д k K – для орта контактной нормали).

Уравнение общей касательной плоскости малоинформативно и дает чрезмерно упрощенное представление о геометрии касания поверхностей Д и И , что закономерно, поскольку касательная плоскость описыва-

ется уравнением всего лишь первого порядка.

Использование общей касательной плоскости является необходимым, но не достаточным для решения задачи синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхности детали. Это вынуждает вводить в рассмотрение приближения второго и более высоких порядков.

4.4.Второе приближение: соприкасающиеся квадрики, поверхность приведенной кривизны

Касающиеся одна другой поверхности Д и И локально могут быть аппроксимированы поверхностями второго порядка – квадриками.

4.4.1. Соприкасающиеся квадрики. Для фиксированной точки на поверхности Д И всегда можно

выбрать такую декартову систему координат, начало которой совпадает с заданной точкой на поверхности, а направление одной из координатных осей совпадает с контактной нормалью. Такой системой координат

может служить, в частности, локальная система координат x K y K z K . В этой системе координат поверхность Д И в дифференциальной окрестности точки K можно представить уравнением (1.10) в явной форме:

(4.24)

Zд и Zд и Xд и ,Yд и .

В начале координат справедливо соотношение

4.4. Второе приближение: соприкасающиеся квадрики, поверхность приведенной кривизны

207

Zд и

0 .

д и

0,0

д и

0,0

В дифференциальной окрестности точки

K разложение уравнения (24) в ряд Тейлора представимо в

форме:

д и

2 Zд и 0,0

X 2

2 Zд и

2 Zд и 0,0

(4.25)

д и

Xд и

д и

Yд и

Путем поворота локальной системы координат

x K y K z K

вокруг оси z K

разложение

(25)

приводится к виду

д и

(4.26)

1.д и

д и

2.д и д и

Здесь k1.д и и k2.д и – главные кривизны поверхности

Д И в точке K . Они соответсвенно равны:

д и

4H 2

T 2

k1,2.д и

д и д и

д и

д и д и

(4.27)

2Hд2 и

В этой формуле Hд2 и Eд и Gд и Fд2и (см. выше, с.42) и Tд2и Lд и Nд и Mд2 и (см. выше, с.50). В разложении (25) можно также учитывать члены третьего и более высокого порядка.

Например, для поверхности Д И локальная аппроксимация третьего порядка в трехграннике Дарбу представима в форме (Koenderink, J.J., 1990):

д и

X 2

1.д и

д и

2.д и

д и

(4.28)

2.д и

R X

1.д и

д и

д и д и

д и

д и д и

д и

где остаточный член R Xд и ,Yд и

содержит слагаемые 4-го и более высоких порядков.

Д И

Коэффициенты уравнения (28) наглядно интерпретируются геометрически. Если поверхность

представлена в трехграннике Дарбу, они являются компонентами градиентов ее главных кривизн.

Очевидно, что разложение (28) является более точным.

4.4.2. Поверхность приведенной кривизны. Под приведенной нормальной кривизной kпр понимается

разность алгебраических значений нормальных кривизн двух касающихся одна другой поверхностей, расчитанных в их общем нормальном сечении. Для поверхностей Д и И приведенная нормальная кривизна

kпр определяется так:

kпр kд	kи .	(4.29)
Текущее значение нормальной кривизны kд и	поверхности	Д И находится по расчитанным (27)

значениям ее главных кривизн. Для этого достаточно воспользоваться формулой Эйлера (1.97):

208	4. Геометрия касания поверхности детали и исходной инструментальной поверхности
(4.30)	kд и k1.д и cos2				θд и k2.д и sin 2 θд и .
С учетом (30) развернутая форма записи формулы (29)						может быть получена так.
Текущее значение нормальной кривизны kд				поверхности Д детали равно:
	k	д	k	cos2 θ k		2.д	sin 2	θ .
			1.д
Поверхность	И инструмента развернута				относительно			поверхности Д детали на угол

относительной локальной ориентации. В общем случае этот угол не равен нулю ( 0 ). Поэтому текущее значение нормальной кривизны kи поверхности И инструмента равно:

cos2

θ μ k

2.и

sin 2

θ μ .

1.и

В соответствие с (29) можно записать

(4.31)

пр

cos2

2.д

sin 2 k

cos2 k

2.и

sin 2 .

1.д

1.и

После несложных преобразований уравнение (31) приводится в виду:

пр

cos2 k

2.и

sin 2 cos2 k

2.д

sin 2

2.и

cos2

sin 2 k

2.и

sin 2

sin 2 .

1.д

1.и

(4.32)

Можно показать, что

сумма приведенных

кривизн

kпр в

любых

двух взаимно перпендикулярных

направлениях является величиной постоянной. Для этого достаточно в зависимость (31) подставить значенияд и , отличающиеся одно от другого на 90 . После преобразований для любой пары ортогональных

направлений получим: kпрΣ k1.д k2.д k1.и k2.и .

Экстремальные (наибольшее k1.пр и наименьшее k2.пр ) значения приведенной кривизны измеряются в двух ортогональных одно другому нормальных сечения поверхности приведенной кривизны. В этом можно

убедиться исходя из условия		kпр	д(и)		0 . Продифференцировав (31) по д и и приравняв производную
			д(и)

нулю, после преобразований получим:
		k1.д k1.и sin 2 д и k2.д k2.и sin 2 д и 0.
Но					k1.д k1.и
	cot 2 cot 2					или	tan 2	2a12
(4.33)									.
				k2.д k2.и sin 2				a11 a22

Легко убедиться в том, что уравнение (33) выполняется при двух значениях угла , отличающихся одно

от другого на 90 . Поэтому экстремальным значениям приведенной кривизны всегда соответствуют два взаимно перпендикулярных направления.

Без доказательства укажем, что если обозначить

cos

2 k

2.и

sin

2 k

k1.и k2.и

cos 2 ;

1.д

1.и

1.д

4.4. Второе приближение: соприкасающиеся квадрики, поверхность приведенной кривизны

209

a12

a21

k1.и k2.и

sin 2 ;

2.д

sin 2 k

2.и

cos2

2.д

k1.и

k2.и

k1.и

k2.и

cos 2 ,

1.и

то в соответствие в (32) получим

k1,2.пр 0,5 a11 a22

a11 a22 cos 2 a12 sin 2 .

(4.34)

Приведенные зависимости позволяют в таком виде записать выражение для расчета величин главных кривизн поверхности приведенной кривизны


k			a		a		a		2	4a	2		(4.35)
k	0,5 a		a		a		a			4a		.	(4.35)
1,2.пр		11		22		11		22			12

Уравнения (33)-(35) справедливы как в случае точечного, так и линейного касания поверхностей Д и И . Но при линейном их касании коэффициенты a11 , a12 , a22 дополнительно связаны между собой

a 2

соотношением a22 12 . Поэтому главные кривизны поверхности приведенной кривизны могут быть

a11

рассчитаны по более простым формулам:

k1.пр 0 ;

k2.пр a11 a22

k1.д k2.д k1.и k2.и .

(4.36)

Первое главное направление на поверхности приведенной кривизны совпадает с направлением касательной к линии касания поверхностей Д и И , а второе – перпендикулярно первому.

Здесь следует обратить внимание на то, что обратное утверждение неверно: если справедливы соотношения (36), это не значит, что поверхности Д и И касаются одна другой вдоль линии. Иными

словами выполнение условий (36) необходимо, но не достаточно для обеспечения линейного касания поверхностей Д и И .

При точечном касании поверхностей Д и И также имеется два ортогональных направления, соответствующие экстремальным значениям k1.пр и k2.пр нормальной кривизны. В одном из этих

направлений нормальная кривизна kпр достигает максимального, а в другом – минимального значения. Однако при точечном касании поверхностей Д и И , в отличие от линейного их касания, k1.пр 0 .

Определение главных кривизн и главных направлений поверхности приведенной кривизны может быть интерпретировано как задача диагонализации симметричной матрицы

a	11	a	12		(4.37)
П				.
a12		a22

Известно (см. гл. 3), что эта операция описывается уравнением вида

P11		0	T	a11		a12		C ,
	0	P	C	a	12	a	22	C ,
		22			12		22
где
			cos	sin
		C		cos		.
			sin	cos

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 6021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения

#
23.02.202324.47 Mб36Radzevich, S.P. Monograph - 2001.pdf
#
23.02.20237.23 Mб10Горбацевич - Курсовое проектирование по ТМ.doc
#
23.02.2023949.47 Кб10Мешкова - Организация Технологии Отрасли.pdf
#
23.02.20234.4 Mб7Оптимизация Технологических Систем (укр).pdf
#
23.02.2023882.47 Кб12Основные Положения Теории Базирования (Лекции).pdf
#
23.02.20231.01 Mб16Основы Проектирования ТП.pdf