Radzevich, S.P. Monograph - 2001

ния (112)] отлична от структуры уравнения (79). Следствием этого является то, что индикатриса конформности Indconf* Д / И может быть использована для решения задач анализа, но не синтеза наивыгоднейшего

формообразования поверхностей деталей, что сужает возможности характеристической кривой (103). Частично устранить этот недостаток можно, если вместо главных радиусов кривизны R1.д и и R2.д и

поверхности Д И использовать собственно их кривизны k1.д и и k2.д и и таким путем перейти к нелиней-

ной структуре уравнения индикатрисы конформности. Тогда аналогично (97) индикатриса конформности определяется так:

k* kдkи .

conf kд kи

Эта формула представима в развернутом виде:

плоскими центральносимметричными кривыми, в частных случаях (при совпадении одна с другой главных секущих плоскостей C1.д , C2.д и C1.и , C2.и соответственно – т.е., когда угол относительной локальной

ориентации кратен ) обладающими дополнительно и зеркальной симметрией. Очевидно также, что

2

характеристические кривые (98), (104) и (113) инвариантны относительно вида параметризации поверхности Д И , а их форма и параметры не зависят от величины углов между параметрическими Uд и и

Vд и линиями на поверхностях Д и И .

4.10. Виды касания поверхностей деталей и инструментов

Для решения задачи синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхности детали необходимо систематизировать виды касания поверхностей деталей и инструментов и разработать классификацию всех их возможных видов, обеспечив при этом выполнение требований, предъявляемых к научным классификациям (Б.И.Костецкий, 1984).

Постулируем положение:

Постулат 4.1. Если поверхность Д детали и исходная инструментальная поверхность И касаются одна другой, то существует не менее одной их общей точки – точки касания этих поверхностей.

невозможно в принципе. При взаимном пересечении поверхности Д и И имеют бесчисленное множество

общих точек, что однако не противоречит постулату 4.1.

Поверхности Д и И могут касаться одна другой в точке (в нескольких точках, количество которых

конечно), вдоль характеристики E (вдоль нескольких характеристик, количество которых также конечно) или в пределах некоторого участка поверхности – других видов касания поверхностей Д и И не существует. Это

следствие того, что окружающее нас пространство трехмерно, а находящиеся в нем поверхности являются двухмерными геометрическими образами, погруженными в трехмерное пространство.

В первом приближении можно выделить три различных вида касания поверхностей деталей и инструментов, а именно: точечное, линейное и поверхностное.

Особенности собственно точечного, линейного и поверхностного касания поверхностей деталей и инструментов очевидны. Эти виды касания не требуют определений – они тривиальны.

Важно обратить внимание на следующее.

1. Касание поверхностей Д и И , оставаясь точечным, может:

1.1. Ни в одном из плоских нормальных сечений, проходящих через точку K , не иметь равных по величине и противоположных по знаку нормальных радиусов кривизны Rд и Rи – Rд Rи . Соотношение

кручений поверхностей Д и И в этом случае значения не имеет. Такой вид касания поверхностей Д и И назовем собственно точечным.

Собственно точечное касание характерно для всех случаев касания выпуклых участков поверхностей Д и И . Оно может иметь место также в случаях касания выпуклых их локальных участков с вогнутыми или с

точечного касания поверхностей Д и И является локально-линейным видом их касания.

Определение 4.4.2 Локально-линейное касание поверхностей Д и И – это вид точечного касания, при котором в одном (и только в одном) проходящем через точку K плоском нормальном сечении поверхности Д

1Это название принадлежит Булигану. Раньше часто говорили и теперь говорят “геодезическое кручение”. Однако эта величина не является геодезическим элементом. Название объясняется тем, что кручение геодезической кривой, касательной в некоторой точке к линии на поверхности, совпадает с ее относительным кручением (Фавар Ж., 1960).

Булиган, Жорж Луи (Bouligand , Geprges Louios) (13.10.1889 – 1961), французский математик, член Парижской АН. Родился в Лоренье. Окончил Высшую нормальную школу в Париже (1909). Работал на факультете наук в Пуатье (1921) и в Париже (с 1932 – профессор, с 1938 – почетный профессор). Основные исследования посвящены теории гармонических функций, функциональным уравнениям, уравнениям с частными производными, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии.

2Определение 4.3. основано на положении, согласно которому две величины, а именно нормальная кривизна kn и относительное

кручение r будут одни и те же для двух касающихся кривых, лежащих на поверхности: в этом состоят два результата, из которых один принадлежит Менье, а другой – Оссиану Бонне (Фавар Ж., 1960).

иИ имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку кривизны, а также одинаковые по величине

исовпадающие по направлению относительные кручения.

При локально-линейном касании поверхностей Д и И соотношение

выполняется при единственном значении параметра .

Локально-линейное касание тождественно линейному касанию поверхностей Д и И на уровне вторых

производных.

1.3. В двух разных проходящих через точку K плоских нормальных сечениях (без доказательства укажем, что, следовательно, и во всех остальных) иметь равные по величине и противоположные по знаку

радиусы кривизны Rд и Rи – Rд Rи . Если при этом поверхности Д и И имеют в точке K одинаковые по величине и совпадающие по направлению относительные кручения g.д g.и , такой вид точечного касания является локально-поверхностным (первого рода) видом касания поверхностей Д и И .

Определение 4.5. Локально-поверхностное (первого рода) касание поверхностей Д и И – это вид точечного касания, при котором во всех проходящих через точку K плоских нормальных сечениях поверхности Д и И имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку кривизны.

При локально-поверхностном (первого рода) виде касания в дифференциальной окрестности точки K поверхности Д и И являются взаимно локально-конгруэнтными. Аналитически это выражается тождеством:

При линейном касании поверхностей Д и И в плоском нормальном сечении, совпадающем со спрямляющей плоскостью к характеристике E и проходящем через некоторую точку K на ней, нормальный радиус кривизны Rд поверхности Д детали и нормальный радиус кривизны Rи поверхности И инструмен-

та всегда одинаковы по величине и противоположны по знаку Rд Rи . Это на единицу уменьшает количество возможных видов линейного касания поверхностей Д и И (по сравнению с точечным их

касанием). Поэтому, 2. Касание поверхностей Д и И , оставаясь линейным, может:

2.1. В одном (и только в одном) плоском нормальном сечении, проходящем через точку K на характеристике E и совпадающем со спрямляющей плоскостью к ней, иметь равные по величине и

противоположные по знаку радиусы кривизны Rд и Rи – Rд Rи . При этом поверхности Д и И в точке

K обязательно имеют одинаковые по величине и совпадающие по направлению относительные крученияg.д g.и . Такой вид линейного касания является собственно линейным видом касания поверхностей Д и

регулярны, а скорость поворота касательной плоскости есть функция длины s кривой l . Относительное кручение определяется точкой на кривой l и направлением на поверхности Д И . Оно равно кручению идущей в этом направлении геодезической кривой:

l – обычное кручение кривой l ;

– угол между соприкасающейся плоскостью кривой l и касательной плоскостью к поверхности Д И ;

– угол между кривой l и первым главным направлением T1.д и на поверхности Д И .

2.2.В двух разных, не обязательно главных, плоских нормальных сечениях (без доказательства укажем, что, следовательно, и во всех остальных), проходящих через точку K , иметь равные по величине и

противоположные по знаку нормальные радиусы кривизны Rд и Rи – Rд Rи . Такой вид линейного касания назовем локально-поверхностным (второго рода) видом касания поверхностей Д и И .

Определение 4.6. Локально-поверхностное (второго рода) касание поверхностей Д и И – это вид линейного касания, при котором во всех проходящих через точку K нормальных сечениях поврехности Д и И имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку кривизны.

При локально-поверхностном (второго рода) виде касания в дифференциальной окрестности точки K поверхности Д и И взаимно локально-конгруэнтны. Поэтому справедливо тождество:

При поверхностном касании во всех плоских нормальных сечениях, проходящих через находящуюся в

является собственно поверхностным видом касания поверхностей деталей и инструментов.

При собственно поверхностном касании поверхности Д и И взаимно конгруэнтны в пределах всего их общего участка, а тождество (117) выполняется при всех значениях аргумента .

При локально-экстремальных (локально-линейном и локально-поверхностном первого и второго родов) видах касания поверхностей Д и И имеются плоские нормальные сечения, в которых выполняется условие

Rд Rи . Выполнение этого условия предполагает, что порядок касания поверхностей в таких сечениях не

ниже второго – он может быть и выше. Более полная информация о геометрии касания может быть получена, если определен порядок касания поверхностей Д и И при локально-экстремальных видах их касания.

Исходим из того, что для каждой из касающихся поверхностей точка K является обыкновенной и поверхности Д и И имеют в ней касание достаточно высокого порядка. Соотношения

выражают геометрическое свойство, называемое касанием порядка не ниже n поверхностей Д и И в точке

K . Если при этом не существуют такие представления, при которых эти равенства имеют место также для i j n 1 , поверхности Д и И имеют в точке K касание порядка n . Определение точного порядка каса-

ния поверхностей Д и И производится по известным правилам3 (Фавар Ж., 1960).

В реальном процессе обработки всегда имеют место погрешности положения инструмента относительно детали. Поэтому вместо наивыгоднейшего локально-экстремального следует обеспечить иной вид касания поверхностей Д и И . Это достигается путем соответствующего изменения величин главных радиусов

кривизны R1.и , R2.и исходной инструментальной поверхности И применяемого инструмента. Если отклоне-

ния, вносимые в значения главных радиусов кривизны, небольшие, вместо локально-экстремальных видов касания будем иметь сходные с ними квазилинейный, квазиповерхностный (первого рода) или к квазиповерхностный (второго рода) виды касания поверхностей Д и И .

Величины преднамеренно вводимых “небольших” отклонений в значения нормальных радиусов кривизны определяются исходя из следующего. При максимальных (предельно допустимых) погрешностях относительного положения детали и инструмента степень конформности поверхности И инструмента к поверхности Д детали должна быть не более, чем при одном из видов их локально-экстремального касания.

Если фактические погрешности относительного положения детали и инструмента не превышают предельно допустимых, приходим к одному из видов квази-касания поверхностей Д и И .

Очевидно, что чем большие погрешности относительного положения поверхностей Д и И вносит в процессе обработки технологическая система, тем большие отклонения в значения нормальных радиусов кривизны R1.и , R2.и требуется ввести и наоборот. В идеальном случае, когда погрешности относительного

положения детали и инструмента отсутствуют, следует назначать такие параметры инструмента, при которых достигается один из локально-экстремальных видов касания поверхностей Д и И (в первую очередь –

локально-поверхностное (второго рода) их касание) и тем самым достигается минимальное значение радиуса rconfmin 0 индикатрисы конформности Indconf Д / И . В реальном процессе обработки, когда пренебрегать погрешностями относительного положения детали и инструмента недопустимо, вид касания поверхностей Д и И , обеспечивающий rconfmin 0 , неприемлем – вследствие погрешностей относительного положения и

движения инструмента это неизбежно приведет к внедрению инструмента в тело детали. Поэтому в первую очередь следует обеспечивать квазиповерхностное (второго рода) касание поверхностей Д и И , при котором

гарантированно исключена их интерференция, а минимальный радиус rconf индикатрисы конформности

Indconf Д / И близок к нулю, но rconfmin 0 .

Квази-касание поверхностей Д и И имеет место только при учете погрешностей относительного положения детали и инструмента.

Определение 4.7. Квази-линейное касание поверхностей Д и И – это вид точечного касания, при котором в зависимости от величины погрешности положения инструмента относительно детали, касание изменяется от точечного до локально-линейного.

Определение 4.8. Квази-поверхностное (первого рода) касание поверхностей Д и И – это вид точечного касания, при котором в зависимости от величины погрешности положения инструмента относительно детали, касание изменяется от собственно точечного до локально-поверхностного (первого рода).

Определение 4.9. Квази-поверхностное (второго рода) касание поверхностей Д и И – это вид линейного касания, при котором в зависимости от величины погрешности положения инструмента относительно детали, касание изменяется от собственно линейного до локально-поверхностного (второго рода).

3Имеют место случаи, когда порядок касания поверхностей Д и И равен бесконечности и поверхности, тем не менее, не совпадают

1

одна с другой (это удобно проиллюстрировать на примере кривых y e x2 и y 0 , которые в начале координат имеют порядок касания, равный , но взаимно не конгруэнтны, что очевидно).

Различия между разными видами квази-касания поверхностей деталей и инструментов, а также между ними и соответствующими видами локально-экстремального касания поверхностей Д и И можно устано-

вить только при предельных значения допускаемых погрешностей относительного положения детали и инструмента. Если же отличные от нуля погрешности по величине меньше предельно допустимых, разные виды квази-касания поверхностей Д и И неотличимы один от другого и не отличимы от соответствующих

видов локально-экстремального их касания – за исключением изменения положения точки K : она смещается из теоретически точного в некоторое другое положение.

Существует только девять принципиально различных видов касания поверхностей деталей и инструментов: кроме точечного, линейного и поверхностного возможны также три вида локальноэкстремального их касания (локально-линейное и локально-поверхностное первого и второго родов), а также три вида квази-касания: квазилинейное и квазиповерхностное (первого и второго родов).

Если принять во внимание, что существует всего лишь по десять различных видов гладких регулярных локальных участков поверхностей Д и И (см. гл. 1, табл. 1.1), каждый из девяти видов касания

поверхностей деталей и инструментов может быть детализирован. Для этого составляется квадратная морфологическая матрица формата 10 10 100 , охватывающая все возможные комбинации касающихся

локальных участков поверхностей Д и И (одной осью такой морфологической матрицы являются 10 видов гладких регулярных локальных участков обрабатываемой поверхности Д детали, а другой – 10 подобных локальных участков формообразующей поверхности И инструмента). Морфологическая матрица содержит

100 10 10 55 не повторяющих одна другю комбинаций локальных участков поверхностей Д и И –

2

только эти 55 пар локальных участков поверхностей Д и И подлежат изучению и анализу. Дальнейшее усечение множества вариантов касания локальных участков поверхностей Д и И производится на основе

анализа соотношений алгебраических значений главных кривизн поверхностей в точке K с учетом (где это существенно) относительной локальной ориентации детали и инструмента. Установлено, что существует

-29 вариантов собственно точечного касания;

-23 варианта линейного касания;

-8 вариантов поверхностного касания;

-20 вариантов локально-линейного касания;

-7 вариантов локально-поверхностного (первого рода) касания;

-8 вариантов локально-поверхностного (второго рода) касания;

-20 вариантов квазилинейного касания;

-7 вариантов квазиповерхностного (первого рода) касания;

-8 вариантов квазиповерхностного (второго рода) касания

–всего 29+23+8+20+7+8+20+7+8+=130 вариантов касания гладких регулярных локальных участков

поверхностей деталей инструментов. Для некоторых вариантов нет ограничений на величину угла

Исходя из этого разработана обобщенная классификация видов касания поверхностей деталей и инструментов (рис. 4.23).

Классификация (см. рис. 4.23) обладает потенциальной полнотой: ее можно развить и углубить. Она может быть использована для качественной оценки степени эффективности процессов формообразования поверхностей деталей. Переход от собственно точечного вида касания поверхностей Д и И к локально-

линейному и далее к линейному, локально-поверхностному первого рода, локально-поверхностному второго рода и к собственно поверхностному изменяет характер формообразования поверхности Д детали во времени

(здесь и далее речь идет о локально-экстремальных видах касания поверхностей Д и И если

рассматривается идеальный процесс формообразования поверхности Д ; если рассматривается

формообразование с учетом погрешностей относительного положения и движения инструмента относительно детали, то вид локально-экстремального касания следует заменить на соответствующий ему вид квази-касания поверхностей Д и И ).

Производительность формообразования является не единственным критерием эффективности процесса обработки деталей. Другим ее важным показателем является универсальность способа обработки, степень которой определяется номенклатурой сложных поверхностей Д , которые можно обработать в соответствие с

заданным способом данным инструментом. С этой точки зрения наиболее эффективными, при прочих одинаковых условиях, являются способы обработки, обеспечивающие собственно точечное касание поверхностей Д и И , а наименее эффективными – способы, обеспечивающие собственно поверхностное их

касание. Способы обработки, обеспечивающие другие виды касания, с точки зрения увеличения степени универсальности обработки, ранжируются в порядке, обратном приведенному выше.

Собственно точечное касание поверхностей Д и И не только обеспечивает наибольшую степень

гибкости кинематики формообразования и универсальность способов обработки, но и одновременно является наиболее общим – при таком виде касания деталь и инструмент в процессе обработки при минимальных ограничениях могут совершать в общем случае пятипараметрическое движение одна относительно другой, оставаясь при этом в постоянном касании между собой.

При собственно поверхностном касании относительное движение детали и инструмента в процессе формообразования в общем случае невозможно. Исключение составляют лишь способы обработки, при которых поверхности Д и И допускают движение “самих по себе”, т.е. когда поверхности Д и И и

огибающие их последовательных положений в процессе обработки взаимно конгруэнтны. В таких частных случаях эти поверхности могут совершать в общем случае однопараметрическое, но не более, чем трехпараметрическое относительное движение (см. гл. 2, раздел 2.4).

Г л а в а 5. Профилирование фасонных режущих инструментов

Формообразующая обработка поверхностей деталей производится инструментом – лезвийным, абразивным, инструментом для поверхностного пластического деформирования, комбинированным и пр.

Обычно расходы на инструмент составляют около 2% суммарных затрат на производство любого вида продукции. Несмотря на это выбор инструмента и назначение режимов обработки в значительной степени влияют на производственные затраты и только себестоимость обработки за счет этого может быть снижена на 10% и более.

Чтобы режущие кромки инструмента формировали номинальную поверхность Д , заданную чертежом детали, они должны располагаться на исходной инструментальной поверхности И .

Определение 5.1. Исходная инструментальная поверхность – это сопряженная с обрабатываемой поверхностью детали поверхность И , которая воспроизводится движущимися профилирующими режущими кромками инструмента (или их профилирующими участками) и в процессе обработки непрерывно или периодически касается номинальной поверхности Д .

Приведенному определению понятия “исходная инструментальная поверхность” удовлетворяет бесчисленное множество различных поверхностей. Это предопределяет многовариантность решения задачи определения поверхности И инструмента, предназначенного для обработки заданной поверхности детали, и делает актуальной проблему синтеза наивыгоднейшей поверхности И , а именно: однозначного установления формы и параметров исходной инструментальной поверхности И в функции формы и параметров поверхности Д с целью последующего проектирования на ее основе наивыгоднейшего инструмента для

обработки заданной поверхности детали1.

Впроцессе формообразования поверхности Д и И являются взаимоогибаемыми. Здесь и далее под

взаимоогибанием понимается возможность обеспечения касания в каждой точке каждой из двух поверхностей (или их участков) при использовании имеющейся свободы относительного движения, без нарушения условий касания и без искажения поверхностей, т.е. без взаимной интерференции в пределах их рабочих участков.

Впроцессе обработки деталь и инструмент можно рассматривать как своеобразный механизм2,

состоящий из двух касающихся один другого звеньев Д и И . Существенное отличие заключается в том, что

в механизме определены рабочие поверхности обеих элементов кинематической пары и задан закон движения ведущего звена – выходным параметром является закон движения ведомого звена. В процессе формообразующей обработки определены законы движения как заготовки, так и инструмента, известна также форма исходной инструментальной поверхности И – выходным параметром является форма обработанной

1Решение задачи проектирования фасонного режущего инструмента, как правило, начинается с образования его исходной инструментальной поверхности. Вместе с тем встречаются случаи, когда разрабатывается технологический процесс изготовления детали

при отсутствии исчерпывающе полной информации о форме и параметрах ее поверхности Д . Это относится, в частности, к операциям

затылования червячных фрез различного назначения, нарезания конических колес с круговыми зубьями, изготовлении колес цилиндроконических передач и других колес передач неэвольвентного зацепления (первого и второго рода) и пр. В этих и т.п. случаях видом и параметрами исходной инструментальной поверхности задаются, после чего может быть найдена фактическая поверхность детали.

Обрабатываемая поверхность детали первична – именно исходя из ее формы и параметров геометрии можно разработать наивыгоднейший технологический процесс изготовления детали, которая наилучшим образом соответствует своему функциональному назначению. В противном случае решение задачи формообразования поверхности детали всегда будет приближенным – в большей или в меньшей мере близким к наивыгоднейшему ее решению.

2Если проводить аналогию между сопряжением поверхностей в процессе формообразования и зацеплением поверхностей, например, в зубчатых передачах, то важно обратить внимание на то, что при формообразовании поверхность зацепления всегда конгруэнтна

поверхности Д детали.

поверхности Д детали (это обратная задача теории формообразования поверхностей деталей; при решении прямой задачи искомой является исходная инструментальная поверхность проектируемого инструмента).

5.1.Обобщенный метод образования исходных инструментальных поверхностей

Объектом формообразования являются поверхности, ограничивающие деталь. Разрабатывая обобщенный метод образования исходных инструментальных поверхностей, исходим из того, что доступна вся необходимая геометрическая информация о поверхности Д. При этом не следует опасаться трудностей, вызванных необходимостью выполнения в большом объеме вычислений и нельзя отказываться от применения того или иного инструмента только потому, что его трудно рассчитать (Шишков В.А., 1951, с. 82).

Чтобы найти исходную инструментальную поверхность И и решить задачу профилирования, а затем – задачу проектирования режущего инструмента, в первую очередь необходимо иметь исчерпывающе полную, точную и однозначную геометрическую информацию о форме и параметрах обрабатываемой поверхности Д

детали. Необходимая геометрическая информация должна допускать представление поверхности Д в

натуральной форме (см. гл. 1).

В процессе формообразующей обработки инструмент совершает относительно детали одно-, двухили многопараметрическое движение. В общем случае относительное движение инструмента сводится не более, чем к пятипараметрическому (см. гл. 2). Чем более сложное относительное движение совершает инструмент, тем большими потенциальными возможностями обладает способ обработки детали и тем более общий требуется соответствующий ему способ образования исходной инструментальной поверхности. С этой точки зрения способ образования поверхностей И фасонных режущих инструментов, предназначенных для обработки сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ, является наиболее общим (обобщенным).

Рис. 5.1. Разная степень конформности режущей кромки токарного резца к образующей круглого валика.

При многокоординатной обработке сложных поверхностей деталей воспроизводится обладающая большими потенциальными возможностями гибкая кинематика формообразования. Полное использование потенциальных возможностей гибкой кинематики формообразования может быть достигнуто только в случае применения соответствующим образом спрофилированных режущих инструментов. Для этого исходная