Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Технология машиностроения

Файл:

Radzevich, S.P. Monograph - 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

24.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

280 5. Профилирование фасонных режущих инструментов

Для нахождения шести неизвестных гауссовых коэффициентов Eи , Fи , Gи , Lи , Mи , Nи первых двух основных квадратичных форм Φ1.и и Φ2.и поверхности И инструмента имеется пять уравнений (10)-(12).

Недостающее шестое уравнение, дополняющее систему уравнений (10)-(12) до определенной, может быть получено из анализа процесса формообразования.

Например, для ленточного шлифования сложной поверхности детали рабочая поверхность И прижимного кулака должна допускать разворачиваемость на плоскость. Исходя из того, что изометричные

поверхности (поверхности, разворачивающиеся одна на другую) имеют одинаковую метрику Φ1.и Φ1.д , а

ограничений на соотношение вторых основных			квадратичных форм Φ2.и и Φ2.д нет, это требование
позволяет записать недостающее шестое уравнение в виде:
(5.16)	L N	и	M 2 0 .
	и		и

Следует отметить, что если некоторую поверхность, например, плоскую абразивную ленту, изгибать без растяжений и разрывов, то уравнение изгибаемой поверхности при этом изменится, но ее метрика останется

прежней – первая основная квадратичная форма Φ1.и при изгибаниях поверхности И не изменяется.

Другим примером служит случай, когда требуется обеспечить разворачиваемость поверхности И профилируемого инструмента на обрабатываемую поверхность Д детали, но поверхности Д и И при этом

не допускают разворачиваемость на плоскость. Это условие Φ1.и Φ1.д в развернутой форме записывается

так: Lи Nи Mи2 LдNд Mд2 .

Поверхность И путем изгибания может быть наложена на имеющую такую же первую основную квадратичную форму поверхность Д детали. Вопрос о наложении одной поверхности на другую подробно

рассмотрен в работе (Forsyth, A.R., 1912).

Дополнительное шестое уравнение может быть составлено, если потребовать, например, чтобы поверхность И инструмента допускала движение “самой по себе” или чтобы имела место определенная функциональная (линейная или нелинейная) зависимость между интенсивностями изменения нормальных кривизн поверхностей Д и И и др.

Коэффициенты Eи , Fи , Gи и Lи , Mи , Nи первых двух основных квадратичных форм Φ1.и и Φ2.и ,

найденные исходя из уравнений -отображения поверхности Д , однозначно определяют искомую исходную

инструментальную поверхность И фасонного инструмента с точностью до ее расположения в пространстве, например, в системе координат станка с ЧПУ. Это следует из теоремы Бонне, являющейся основной в теории поверхностей.

	Теорема 5.1. Если		заданы дважды	непрерывно	дифференцируемые	функции	Eи Eи Uи, Vи ;
Fи	Fи Uи, Vи ; Gи	Gи Uи, Vи и один раз непрерывно дифференцируемые функции					Lи Lи Uи , Vи ,
Mи Mи Uи, Vи ,		Nи	Nи Uи, Vи , для	которых	выполняются условия	интегрируемости Гаусса-
(Петерсена)1-Майнарди-Кодацци и, кроме того, для любых действительных чисел							и таких, что
2	2 0 , справедливо неравенство Eи 2 2Fи Gи 2 0 , то существует описываемая трижды

непрерывно дифференцируемым уравнением rи rи U и , Vи поверхность И , коэффициенты первой Φ1.и и второй Φ2.и основных квадратичных форм которой совпадают с заданными функциями – поверхность И в этом случае определена однозначно с точностью до положения и ориентации в пространстве.

Восстановление поверхности И инструмента по значениям шести коэффициентов Eи , Fи , Gи первой Φ1.и и Lи , Mи , Nи второй Φ2.и ее основных квадратичных форм производится путем решения системы двух деривационных дифференциальных уравнений, записанных в тензорной форме (Jeffreys, H., 1961):

1См. сноску на с. 60.

5.1. Обобщенный метод образования исходных инструментальных поверхностей

281

b n

;

(5.17)

g kjr

где

rи

; r

2rи

; n

n и

;

; g

– метрический, а g ij

– контрва-

U i

U i V j

U i

риантный тензор исходной инструментальной поверхности И .

Записанная

тензорной

форме

система

деривационных

дифференциальных уравнений (17) в

развернутом виде представима в виде системы пяти дифференциальных уравнений, записанных в векторной форме:

rи

Eи

Fи

rи

Fи

Eи

rи

L n ;

2 и U

и U

2 и V

и U

2 и V

и U

и и

rи

Eи

Gи

rи

Gи

Eи

rи

M n ;

U V

и U

и V

и и

N n ;

и V

2 и U

2 и V

и V

2 и U

и и

n и

FиMи GиLи

rи

FиLи

EиMи

rи

;

(5.18)

n и

Fи Nи GиMи

rи

FиMи Eи Nи

rи

Векторы

имеют по три координаты:

, Y , Z

X , n

Y , n

. Поэтому

система пяти уравнений (18), записанных в векторной форме, может быть представлена в виде системы пятнадцати дифференциальных уравнений, записанных в параметрической форме.

Решением системы дифференциальных уравнений в тензорной форме (17) либо эквивалентной ей системы уравнений в векторной (18) или параметрической форме является уравнение искомой исходной инструментальной поверхности И профилируемого фасонного инструмента.

Чтобы найти постоянные интегрирования, на поверхности И фиксируется положение некоторой точки, в которой инструмент нужным образом располагается и ориентируется относительно детали. Этим определяются значения всех констант интегрирования, которые, в свою очередь, определяют положение и ориентацию инструмента относительно детали.

Задача профилирования режущего инструмента в соответствие с обобщенным методом образования исходных инструментальных поверхностей решается в последовательности (рис. 5.4).

Пример 5.1. Рассмотрим порядок восстановления исходной инструментальной поверхности И фасонного инструмента по коэффициентам ее первых двух основных квадратичных форм, найденных как -отображение поверхности Д . Решение этой задачи сводится к тому, чтобы показать, что система уравнений Гаусса-Вейнгартена (14)

2rи

1 rи

2 rи

2rи

rи

2 rи

2rи

rи

2 rи

L n

;

U 2

11 Uи

11 Vи

Uи Vи

Uи

12 Vи

Uи

22 Vи

(5.19)

n и

G L

rи

F L E

rи

;

F 2

n и

F N

rи

и U

и и

282	5. Профилирование фасонных режущих инструментов

Входные данные: информация о геометрии обрабатываемой поверхности Д детали

В общем случае:

~	~	~	~
Mи Mи Mи			, Gи ;
~	~	~ ~
Gи Gи		Gи, Gи .


В частно случае:
В частно случае:
	~	~
	Mи	Mи;
	~	~
	Gи	Gи.

Ограничени 1:

условие совместимости

Гаусса (theorema egregium)

Ограничение 2:

два уравнения совместимости Майнарди-Кодацци

Особенности процесса обработки

Рис. 5.4. Последовательность решения задачи профилирования инструмента в соответствие с обоб-

щенным методом образования

исходных инструментальных

поверхностей.

Представление геометрической информации о геометрии поверхности Д детали в натуральной форме:

через коэффициенты Eд , Fд , Gд , первой Φ1.д и Lд , Mд , Nд второй Φ2.д ее основных квадратичных форм

Уравнения -отображения поверхности Д детали на

поверхность И инструмента

Система шести уравнений для нахождения шести неизвестных коэффициентов Eи , Fи , Gи , первой Φ1.и и

Lи , Mи , Nи второй Φ2.и основных квадратичных форм поверхности И инструмента

Восстановление поверхности И инструмента по коэффициентам Eи , Fи , Gи , первой Φ1.и и Lи , Mи , Nи второй Φ2.и ее основных квадратичных форм

Выходные данные: Уравнение исходной инструментальной поверхности И И Д с

наивыгоднейшими параметрами формы

Проектирование режущего инструмента:

1.определение геометрических параметров режущих

кромок;

2.определение формы и параметров передней и задней

поверхностей;

3.конструирование средств дробления и отвода

стружки;

4.конструирование средств подвода и отвода

смазочно-охлаждающих средств;

5.конструирование крепежной части и др.

5.1. Обобщенный метод образования исходных инструментальных поверхностей

283

при выполнении условий:

1 ,

rи

0 ,

rи

0 ,

rи

E ,

rи

F ,

rи

G ,

Uи

Vи

Uи

Vи

(5.20)

2rи

L ,

2rи

U 2

определяет двенадцать скалярных функций от U

и V

, аналогичных заданным в векторной форме функциям r

, V

rи

, V ,

Uи

rи

, V и

, V

, с таким же количеством констант интегрирования, что и искомая

поверхность r

, V

. Решение этой

Vи

задачи для общего случая громоздко и требует навыков интегрирования смешанных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Сущность решения задачи восстановления исходной инструментальной поверхности И по значениям коэффициентов ее первых двух основных квадратичных форм рассмотрим на примере, когда обе квадратичные формы найдены и имеют вид:

cos2 U

;

cos2 U

dU 2 .

1.д

2.д

Из этого

следует, что

F 0,

cos 2 U

Поэтому символы Кристоффеля равны

111

222 121 112 0 ,

122

tanUи

221

sinUи cosUи . Прямой подстановкой можно убедиться, что они удовлетворяет условиям

совместимости Гаусса (11) и Майнарди-Кодацци (12).

Для рассматриваемого случая уравнения Гаусса-Вейнгартена (19) приводятся к виду:

2rи

;

(5.21)

Uи2

2rи

rи

tanU

;

(5.22)

Uи Vи

Vи

2rи

rи

sinU

cosU

cos

2 U

;

(5.23)

nи

rи

;

(5.24)

Uи

nи

rи

(5.25)

Необходимо решить эту систему уравнений относительно Xи , Yи ,

Zи .

Исключая nи из уравнений (21) и (24), получим

3rи

rи

или

a V

cosU

b V

sinU

c V .

(5.26)

Uи3

Uи

На основании (22) запишем

cosU

sin2 Uи secUи

или

0 .

V tanU

Поскольку векторы b и c постоянны, то rи a Vи cosUи b sinUи c .

Исходя из этого уравнения и уравнений (22), (23) и (25) получим:

3rи

cosU

2rи

sinU

cosU

nи

cos2 U

или

0, ;

a p cosV q sinV r

284

5. Профилирование фасонных режущих инструментов

где p , q , r

– постоянные векторы.

Согласно (23) rи 0 , поэтому решением системы уравнений (19) будет:

rи p cosVи cosUи q sinVи cosUи b sinUи c .

Определяем векторы p , q ,

b , c так, чтобы удовлетворялись условия (20). Поскольку

rи

p cosV sinU

q sinV sinU

b cosU

rи

p sinV cosU

q cosV cosU

Uи

Vи

находим, что для всех Uи

и Vи

rи

cos2 U

p p sin2 V cos2 U

2 p q sinV cosV cos2 U

q q cos2 V cos

2 U

Vи

или p p 1 ,

p q 0 ,

q q 1 .

Аналогично из

rи

0 получаем,

что q b p b 0 .

Uи

Vи

Из соотношения

rи

1 следует

b b 1

– это указывает на то, что векторы p ,

q , b

образуют ортонормированную тройку

Uи

векторов. Очевидно, что остальные условия (26) также выполняются.

Если векторы p , q , b обозначить через e1 , e2 , e3 , решение системы уравнений (21)-(25) может быть представлено в виде:

(5.27)	rи e1 cosVи cosUи e2 sinVи cosUи e3 sinUи c .
Уравнение (27) описывает сферу единичного радиуса.
Путем выбора коэффициентов	e1 , e2 , e3 сферу (27) можно	разместить в любой точке пространства и выбирать различные
ортогональные системы параллелей	и меридианов для Uи и	Vи координатных линий на ней. Поверхность И (27) просто
масштабируется1.

Поверхность И фасонного режущего инструмента, образованная в соответствие с разработанным обобщенным методом образования исходных инструментальных поверхностей, представляет собой отображение поверхности Д на поверхность И . Точки поверхности И , как правило, не взаимозаменяемы.

Каждой точке на поверхности Д соответствует одна точка на поверхности И – но не наоборот: одной и той

же точке на поверхности И инструмента может соответствовать несколько (в т.ч. бесчисленное множество) точек на поверхности Д детали. Положенный в основу этого метода вид отображения дополняет известные

виды отображений поверхностей: изометрическое, конформное и др.

Применение -отображения впервые дало возможность решать задачи профилирования фасонных режущих инструментов для обработки сложных поверхностей на многокоординатных станках с ЧПУ вместо обычно применяемого выбора инструмента из имеющейся его номенклатуры.

Для решения задачи профилирования фасонных режущих инструментов в соответствие с изложенным обобщенным методом образования исходных инструментальных поверхностей полезны результаты исследований по конструированию поверхностей с наперед заданной средней или полной кривизной

(Giutsi, E., 1978; Trudinger, N.S., and Urbas, J.I.E., 1983; Urbas, J.I.E., 1984; Trudinger, N.S., 1990; Flaquer, J., Garate, G., Pargada, M., 1992; Anderson, R.K.E., 1993; и др.).

Обобщенный метод позволяет образовать исходную инструментальную поверхность как отображение поверхности детали. Следовательно форма и параметры исходной инструментальной поверхности И

1Важно акцентировать внимание на том, что даже при выполнении условий совместимости Гаусса и Майнарди-Кодацци средняя Mи

и полная Gи кривизны не всегда определяют единственную поверхность И (Koenderink, J.J., 1990, с. 338). Примером служит катеноид,

поверхность которого допускает разворачиваемость на геликоид – поверхность, имеющую совершенно иной вид. Геликоид имеет такую же полную кривизну, что и катеноид и очевидно, что эти поверхности имеют одинаковую среднюю кривизну. Вместе с тем геликоид является разворачивающейся на плоскость поверхностью, а катеноид – нет. Следовательно даже средняя и гауссова кривизны вместе не всегда определяют поверхность полностью (Koenderink, J.J., 1990, с. 253).

5.1. Обобщенный метод образования исходных инструментальных поверхностей

285

являются функцией формы и параметров поверхности Д . Аналитически эта зависимость описывается функцией вида И И Д .

Кинематика многокоординатного формообразования устанавливается в функции параметров формы


поверхностей	Д и И . Но поверхность И является функцией формы и параметров поверхности Д ,т.е.
И И Д . Поэтому если кинематику формообразования обозначить через			Krm	1, в обобщенном виде она
может быть описана функцией вида Krm Krm Д, И Д Krm Д (или Krm			Krm Д, Пи Д , если рассма-
тривается формообразование поверхности детали производящей поверхностью Пи инструмента2,					отличаю-
щейся от его	исходной	инструментальной поверхности И ). В обоих	случаях аргументом		функций
Krm Krm Д,	И Д и в	Krm Krm Д, Пи Д служат параметры формы обрабатываемой поверхности Д

детали и только. При этом заданную чертежом детали ее поверхность Д следует рассматривать как номи-

нальную, идеально точную, даже если изначально ее форма и параметры определены с погрешностями, например, путем аппроксимации дискретно заданных элементов на ней (точек или линий).

После того, как определена исходная инструментальная поверхность И И Д , а затем кинематика формообразования Krm Krm Д, И Д Krm Д , решаются другие (обратные) задачи – установливаются

параметры фактически формообразованной поверхности Д(ф) детали:

–Д(ф) Д(ф) И, Krmф с учетом погрешностей кинематики формообразования, когда фактически воспроизводимая в процессе обработки кинематика Krm(ф) отличается от номинальной кинематики формо-

	образования rm , т.е. когда Krm(ф) K(ф) ;
–	Д(ф) Д(ф) Пи, Krm	с учетом погрешностей профилирования фасонного режущего инструмента,
	т.е. когда Пи И ;
–	Д(ф) Д(ф) Пи, Krm(ф)	с учетом погрешностей	кинематики формообразования и профилирования
	режущего инструмента, когда Krm(ф) K(ф) и Пи		И одновременно.

Другую группу задач составляют задачи нахождения производящей поверхности Пи инструмента в случаях, когда:

– вместо номинальной поверхности Д детали известны параметры фактической ее поверхности Д(ф) ,

т.е. когда Пи Пи Д(ф) , Krm ;

– реально воспроизводимая кинематика отличается от номинальной кинематики формообразования, т.е. когда Пи Пи Д, Krm(ф) ;

– одновременно вместо номинальной поверхности Д детали известны параметры ее поверхности Д(ф) и реально воспроизводимая кинематика отличается от номинальной кинематики формообразования,

т.е. когда Пи Пи Д(ф) , Krm(ф) ,

Перечисленные задачи ассоциируются с известной обратной задачей теории формообразования поверхностей деталей, решаемой при “жесткой” кинематике формообразования, однако это задачи принципиально разного типа.

1 Krm – от relative motion (англ.) – относительное движение.

2Производящая поверхность Пи аппроксимирует поверхность И инструмента с приемлемой для заданного случая обработки

точностью. Одна из причин необходимости введения в рассмотрение понятия “производящая поверхность инструмента” является невозможность профилирования и изготовления геометрически точных инструментов. Вследствие неустранимых, так называемых

органических, погрешностей инструмента исходная инструментальная поверхность И заменяется производящей поверхностью Пи . Это не единственная причина необходимости введения в рассмотрения понятия “производящая поверхность инструмента”.

286		5. Профилирование фасонных режущих инструментов
	5.2. Элементы теории огибающих в профилировании
	фасонных режущих инструментов
	По обобщенному методу (см. выше, раздел 5.1) исходная инструментальная поверхность может быть
образована для любого способа формообразующей обработки поверхностей деталей. В промышленности
широко используются инструменты, исходные инструментальные поверхности которых допускают движение
“самих по себе” (см. выше, гл. 2, раздел 2.4). Чтобы образовать поверхности И такого класса, систему урав-
нений (17) или (18) следует дополнить условиями, которые относят искомую поверхность И				к классу
поверхностей, допускающих движение “самих по себе” (Радзевич С.П., 1988; Радзевич С.П., Петренко Т.Ю.,
1999).
	Вместе с тем для инструментов, исходная инструментальная поверхность которых обладает указанным
свойством, задача образования поверхности И может быть решена проще – исходя из того, что в процессе
обработки поверхности		Д и И являются взаимоогибаемыми. Методы образования исходных инструмен-
тальных поверхностей для таких случаев обработки основаны на результатах, полученных в теории
огибающих: в теории огибающих кривых и огибающих поверхностей.
	Ниже приведены некоторые из полученных в теории огибающих результатов, которые используются для
образования исходных инструментальных поверхностей. Полные сведения по этому вопросу изложены в
монографии (Залгаллер В.А., 1975) и др.
	5.2.1. Огибающая последовательных положений плоской кривой. Некоторая плоская кривая l может
совершать движение в плоскости, в которой она расположена, и образовать при этом семейство плоских
кривых. При выполнении определенных условий это семейство имеет огибающую. Например, для семейства
окружностей радиуса r		с центрами на прямой l (в рассматриваемом примере прямая l совмещена с осью
			абсцисс X системы координат XY ) огибаю-
l	Y	l1	щей являются две параллельные прямые l1		и
			l2 (рис. 5.5), отстоящие одна от другой на 2r .

			Огибающая семейства плоских кривых в
			каждой своей точке касается одной из кривых
		X	семейства: каждая окружность семейства (см.
	r		рис. 5.5) касается каждой из огибающих l		и
				1
			l2 в единственной точке.
		l2	Если параметр семейства плоских кри-
			вых обозначить через , параметр огибаю-
Рис. 5.5. Огибающая семейства окружностей радиуса r с			щей – через u , а значение для одной из
	центрами на прямой l .		кривых семейства, касающейся огибающей в
			точке с параметром u – через u , то пред-
полагается существование функции u , которая не постоянна ни на каком участке изменения u .
	5.2.1.1. Огибающая последовательных положений кривой, заданной уравнением в векторной форме. Для
семейства плоских кривых, заданных гладкой функцией вида

r u, r X u, , Y u, ,

где u – параметр огибающей;

– параметр семейства кривых на плоскости,
необходимым условием существования огибающей является параллельность одного другому векторов	r и
	u

r или, что то же самое:

(5.28)	ψ	D X, Y		0 .
		D u,

5.2. Элементы теории огибающих в профилировании фасонных режущих инструментов

287

Достаточным является выполнение условий (30), r 2

ψ 0 .

(5.29)

5.2.1.2. Огибающая последовательных положений кривой, заданной уравнением в неявной форме. Для

семейства кривых, заданного уравнением вида

f X,Y, ,

(здесь

f 1 ;

1 семейство

кривых,

дифференцируемых

не

менее

одного

раза;

f 0 ),

необходимым

условием

существования

огибающей является совместимость функций:

f X, Y, 0 ,

X, Y, 0 .

(5.30)

Система уравнений (30) определяет координаты точек огибающей.

Уравнениям (30) могут удовлетворять другие, так называемые, особые точки семейства.

Достаточным условием существования огибающей является справедливость равенства

f 2

( 2 –

семейство кривых, дифференцируемых не менее двух раз) и выполнение условий

f ,

2 f

0 ,

D X, Y 0 .

(5.31)

Нарушение условий (29) и (31) чаще всего связано с образованием на огибающей точек возврата.

5.2.2. Огибающая последовательных положений однопараметрического семейства поверхностей.

Для зависящего от одного параметра семейства поверхностей огибающей является поверхность, которая в

каждой своей точке

внутренними параметрами U , V касается поверхности

семейства

с параметром

U , V , причем функция U , V ни

в какой области изменения параме-

тров U , V не постоянна. Например,

для сфер

радиуса r

центрами на

прямой l

(в рассматриваемом приме-

ре прямая

совмещена с осью абс-

цисс X системы координат XYZ )

огибающей

является

поверхность

круглого

цилиндра

радиуса

(рис. 5.6).

5.2.2.1. Огибающая

последова-

Рис. 5.6. Огибающая последовательных положений сферы радиуса

тельных

положений,

поверхности,

r с центрами на прямой l .

заданной

уравнением

векторной

форме. Для семейства поверхностей

r U , V, , (где r

0 ), необходимые условия существования огибающей имеют вид:

r r

r r U , V, ;

0 ,

(5.32)

U V

288	5. Профилирование фасонных режущих инструментов

Уравнения (32) определяют характеристику E – линию касания огибающей с одной из поверхностей семейства. Совокупность характеристик E образует огибающую1.

В случаях, когда огибающая поверхность относится к классу поверхностей, допускающих движение “самих по себе”, уравнение (32) определяет профиль огибающей. Достаточным условием этого является

выполнение условий r 2 , соотношений (32) и условий

		ψ
		U
	r		2
(5.33)
(5.33)
	U
	r		r
	U		V

0 .

0 ,

V U

Нарушение первого из условий (33) обычно связано с образованием на огибающей ребра возврата. Ребро возврата на огибающей в свою очередь является огибающей характеристик E . Его уравнение

находится путем решения системы уравнений:

r r X, Y, Z, ;

0 .

(5.34)

;

Исключая из уравнений (34) параметр , получим две поверхности, линия пересечения которых и есть ребро возврата огибающей.

Ребро возврата касается каждой характеристики в ее характеристической точке второго порядка, а сечение огибающей семейства поверхностей плоскостью, проходящей через касательную к ребру возврата, имеет в точке пересечения с ним особую точку – в общем случае точку возврата первого рода (Люкшин В.С.,

1968).

Поверхность, касающаяся каждой поверхности семейства вдоль линии, является огибающей; линия, касающаяся всех характеристик, является ребром возврата огибающей (Люкшин В.С., 1968).

Справедливо более сильное утверждение: если существует огибающая E* некоторого однопараметрического семейства кривых в пространстве, то это семейство кривых образовано

характеристиками

E однопараметрического семейства поверхностей r r

и огибающая E* является

ребром возврата огибающей семейства поверхностей r r (Люкшин В.С., 1968).

Характеристики

огибаемой

огибающей

поверхностей

на поверхностях

Д и И описываются

уравнениями

r1 r1 U1, V1, ,

f U1 ,V1 , 0 ,

Const ;

r2 r 2 U 2 ,

V2 , ,

f U 2 ,V2 , 0 ,

Const .

Касательные к кординатным линиям в системах координат X1Y1Z1

и X2Y2 Z2 задаются уравнениями:

r 2

1В системе координат инструмента геометрическое место характеристик

E определяет исходную инструментальную поверхность

И – для этого второе уравнение в (32)следует рассматривать совместно с опрераторами преобразования координат, описывающими движение характеристики E в системе координат инструмента. Если решается обратная задача, то геометрическое место характеристик E в системе координат детали определит фактически формообразованную поверхность Д детали.

5.2. Элементы теории огибающих в профилировании фасонных режущих инструментов

289

Поверхность, образованная совокупностью последовательных положений характеристик в неподвижной

системе координат, например, в системе

координат,

связанной со станком,

описывается уравнениями

r 2

,V , ,

f U

,V , 0 , где

r 2

, Res 1 2 r

,V , а оператор

Res 1 2

результирующего преобразования координат является функцией параметра огибания . В задачах формообразования поверхностей деталей эта поверхность конгруэнтна поверхности детали.

5.2.2.2. Условия существования огибающей семейства поверхностей, представленных уравнением в

неявной форме. Для семейства поверхностей, заданного уравнением вида f X , Y , Z , 0 , где

f 1 и

0 , необходимым условием существования огибающей является совместимость системы

уравнений

f 0 и

f 0, а достаточным – f 2 и выполнение условий

			f		f ,	f
2 f		D f ,		D	f ,
2 f	0 ;
2	0 ;	D X, Y		D Y, Z
		D X, Y		D Y, Z

	f
D f ,
		0 .	(5.35)
D Z, X		0 .	(5.35)
D Z, X

Как и в рассмотренном выше случае (см. (33)), нарушение первого из условий (35) обычно связано с образованием на огибающей ребра возврата.

5.2.3. Огибающая последовательных положений характеристик на поверхности. Характеристики на

огибающей поверхности также могут иметь огибающую. Огибающая E* характеристик делит описываемую общим уравнением огибающую поверхность f на две части (рис. 5.7): на доступную для касания с огибаемой

поверхностью часть A и часть B , недоступную для касания с огибаемой поверхностью.

Семейство характеристик

E на поверхности

f в системе координат X1Y1Z1

может быть представлено

зависимостями:

,V C 2 ,

0 ,

f U

,V , 0 ,

,V f

min max .

Для существования огибающей E* необходимо выполнение условия

0 .

Если

огибаемая

поверхность представлена в

векторной

форме

,V C 2 ,

0 ,

min

max

,V Д ,

в точке

M U (M ) ,V(M ) , (M )

выполняются условия:

f U1,V1, 0 ,

U1,V1, 0 ,

2 f

,V , 0 ,

0 ,

Рис. 5.7. Образование огибающей характеристик на

2 f

поверхности.

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения

#
23.02.202324.47 Mб12Radzevich, S.P. Monograph - 2001.pdf
#
23.02.20237.23 Mб4Горбацевич - Курсовое проектирование по ТМ.doc
#
23.02.2023949.47 Кб3Мешкова - Организация Технологии Отрасли.pdf
#
23.02.20234.4 Mб1Оптимизация Технологических Систем (укр).pdf
#
23.02.2023882.47 Кб3Основные Положения Теории Базирования (Лекции).pdf
#
23.02.20231.01 Mб7Основы Проектирования ТП.pdf