Radzevich, S.P. Monograph - 2001

и k1.д и 0 , k2.д и Const 0 соответственно. -отображениями выпуклых и вогнутых цилиндров разного

радиуса представляют собой точки, расположенные на оси абсцисс и на оси ординат (см. рис. 7.15). При перемещении точки вдоль оси абсцисс она всегда соответствует -отображению выпуклого, а при перемещении вдоль оси ординат – -отображению вогнутого цилиндра некоторого радиуса.

-отображения цилиндрических поверхностей можно рассматривать как вырожденные случаи -отобра- жения конической поверхности, когда обе главные кривизны постоянны по величине и одна из них равна нулю.

Соотношение k1.д и k2.д и выполняется для сферы, причем для выпуклой сферы k1.д и k2.д и 0 , а для вогнутой – k1.д и k2.д и 0 . Поэтому -отображения выпуклых и вогнутых сфер разного радиуса (или их участков) являются точками, расположенными на линии k2.д и k1.д и (см. рис. 7.15). При перемещении точки в любом направлении вдоль прямой k2.д и k1.д и , она всегда соответствует -отображению сферы

Д(И) некоторого радиуса.

Вотличие от -отображений гладких регулярных локальных участков поверхностей Д(И) , представляющих собой только различным образом расположенные в плоскости координат k1.д(и) k2.д(и) точки (см.

рис. 7.13), -отображение поверхности Д(И) вцелом (см. рис. 7.15) представляет собой закрытый или открытый участок плоскости координат k1.д(и) k2.д(и) , только в частных случаях вырождающийся в линии или в

точки. Этим -отображение поверхности Д(И) принципиально отличается от -отображения ее локальных

участков.

Точки контура -отображения отсека поверхности Д(И) в общем случае не соответствуют точкам гра-

ницы самого отсека. Это следствие того, что экстремальные значения главных кривизн отсека поверхности Д(И) могут иметь место в точках, не совпадающих с его границами. Следовательно, между точками контура

-отображения и между точками границы самого отсека поверхности Д(И) взаимно однозначного соответ-

ствия в общем случае нет.

В некоторых случаях -отображение всей поверхности и -отображение некоторого ее отсека совпадают один с другим, как это имеет место, например:

-для поверхности сферы целиком и для произвольного ее отсека;

-для круглого цилиндра целиком и для произвольного “обруча” на нем;

-для эллипсоида общего вида целиком и для 1/8 части его поверхности (отсеченной по “экваториальным” плоскостями) и др.

-отображение поверхности Д(И) можно использовать для анализа выполнения третьего условия фор-

мообразования, в первую очередь при обработке сложных поверхностей деталей на многокоординатных станках с ЧПУ. Для этого строится -отображение обрабатываемого участка поверхности Д детали. Размеры и положение разрешенного прямоугольника указывают на предельные величины главных кривизн поверхности

Д .

Чтобы определить области, в которых расположение -отображения поверхности И инструмента допускается третьим условием формообразования поверхностей деталей, воспользуемся тем, что нормальное се-

чение локального участка поверхности Д(И) может быть выпуклым, вогнутым или прямолинейным (см.

выше, табл. 7.1). При касании двух выпуклых или выпуклого и прямолинейгого локальных участков поверхностей Д и И третье условие формообразования выполняется всегда. При касании двух вогнутых или вог-

нутого и прямолинейного локальных участков это условие не может быть выполнено никогда. В рассматриваемом в данном разделе аспекте интерес представляют только случаи касания выпуклого локального участка поверхности с вогнутым, один из которых принадлежит детали, а другой – инструменту.

Предельным случаем, когда третье условие формообразования выполняется, является случай, когда степень конформности поверхности И инструмента к поверхности Д детали максимальна, т.е. когда радиусы

кривизны этих поверхностей в текущем плоском нормальном сечении одинаковы по величине и противоположны по знаку. Поэтому для построения области, в которой допустимо расположение -отображения ис-

На поверхности Д(И) рассмотрим некоторую линию S (рис. 7.18). Направления нормалей к поверхности вдоль линии S образуют семейство прямых с одним параметром, определяющим положение точки на этой линии. В общем случае семейство нормалей к Д(И) вдоль S огибающей не имеет (Смирнов В.И., 1958)

c 0 , а уравнение (27) может быть переписано в виде:

dr adn д и 0 .

Это формула Родрига1.

Кривая S1 может рассматриваться как пространственная эволюта2 кривой S . Таким образом, фокальные поверхности можно представить в виде двух семейств эволют линий кривизны поверхности Д(И) .

1Родриг (Родригес) Бенджамен Олинде (Rodrigues , Benjamin Olinde) (16.10.1794-26.12.1851) – французский математик и экономист, последователь социалиста-утописта А.К.Сен-Симона. Родился в Бордо. Окончил Высшую нормальную школу в Париже. Работал в Политехнической школе репетитором, затем – директор ссудного банка. Основные работы относятся к механике, геометрии и теории чисел. В теории поверхностей дал (1815) новое выражение для полиномов Лежандра (формула Родригеса) и ввел сферическое представление. Предложил (1814) параметры, названные его именем. В механике изучал принцип наименьшего действия, сочетал этот принцип с законом живых сил и методом неопределенных множителей Лагранжа для получения уравнений движения. Решил (1840) фундаментальную задачу сложения двух вращений с растяжением.

2Эволюта – это геометрическое место центров кривизны плоской кривой, являющейся эвольвентой по отношению к эволюте. В рассматриваемом случае это свойство эвольвенты и эволюты распространяется на пространственные кривые и на поверхности, т.е. можно

Каждая нормаль к поверхности Д(И) касательна к двум ребрам регрессии. Точки касания расположены на расстоянии R1.д и и R2.д и от текущей точки M – они являются фокальными точками поверхности Д(И) .

Два семейства линий кривизны на поверхности образуют ортогональную сеть и поэтому определяют две разворачивающиеся поверхности касательных, которые пересекают одна другую под прямым углом вдоль нор-

мали к поверхности Д(И) (Struik D.J., 1961).

М Д(И)

O2.д(и)

Фокальные поверхности представляют собой геометрическое место центров главных кривизн гладкой регулярной поверхности Д(И) . Простым примером могут служить меридианы и параллели поверхности вра-

щения, которые являются линиями ее кривизны: вдоль меридианов нормали к поверхности вращения образуют плоскости, а вдоль параллелей – круглые конусы. Для поверхности вращения указанные плоскости и круглые конусы взаимно перпендикулярны.

Одна из фокальных поверхностей поверхности вращения вырождается в прямую линию, совпадающую с осью поверхности вращения. Сфера является единственной поверхностью, обе фокальные поверхности которой вырождаются в точку, совпадающу с центром сферы. Фокальную поверхность плоскости можно представить как параллельную ей плоскость, удаленную в бесконечность. Циклиды Дюпена являются единственным видом поверхностей, обе фокальные поверхности которых вырождаются в кривые линии.

Примеры фокальных поверхностей для выпуклого и выпукловогнутого участков гладких поверхностей Д(И) показаны на рис. 7.20, где C1.д и и C2.д и есть проходящие через точку М линии кривизны, О1.д и и

О2.д и – точки соответствующих фокальных поверхностей. Ребра возврата разворачивающейся поверхности

нормали к поверхности в ее точке M , а R1.д и и R2.д и – соответствующие главные радиусы кривизны по-

верхности Д(И) в точке M , радиус-вектор f1,2.д(и) текущей точки первой и второй фокальных поверхностей для детали и для инструмента будет равен:

Для вогнутого участка поверхности детали точка фокальной поверхности инструмента, соответствующая точке поверхности И , которой она касается поверхности Д детали, должна находиться в пределах отрезка

проходящей через контактную нормаль прямой, заключенного между поверхностью детали и ее фокальной поверхностью, включая соотвествующую точку поверхности детали и точку ее фокальной поверхности. Аналогично определяется допустимое положение соответствующей точки фокальной поверхности инструмента в других случаях. Совокупность таким образом определенных точек образует две производные фокальные поверхности инструмента, радиус-вектор текущей точки которых равен:

fˆ1.и rд R1.и n д ;