Radzevich, S.P. Monograph - 2001

участки Иi и Иi 1 исходной инструментальной

поверхности взаимно не пересекаются, когда на границе AB участков Дi и Дi 1 характеристики E i и E i 1 не

Рассмотрим некоторые из дополнительных методов анализа локальной интерференции поверхностей деталей и инструментов, разработанные для решения задач синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхностей деталей.

7.2.1. -отображение локальных участков поверхности детали и исходной инструментальной по-

верхности. Обеспечение возможности выполнения третьего условия формообразования требует углубленного понимания особенностей локальной топологии касающихся одна другой в процессе обработки поверхности детали и исходной инструментальной поверхности. Для анализа локальной интерференции (интерференции

ветствующие им главные кривизны1 k1.д и R1.д1 и и k2.д и R2.1д и (см. гл. 1).

Точкам плоскости координат k1.д и k2.д и (рис. 7.13) можно поставить в соответствие точки поверхности Д И с соответствующими значениями главных кривизн k1.д и и k2.д и , Таки путем поверхность Д И отображается на плоскость координат k1.д и k2.д и – полученное отображение является ее K -отображением.

Рассмотрим какое положение в плоскости координат k1.д и k2.д и занимают различные (см. выше,

раздел 1.3, табл. 1.1) локальные участки поверхностей деталей и инструментов.

K -отображения гладких регулярных локальных участков всех типов поверхностей Д И (см. рис. 7.13) представляют собой точки, по-разному расположенные в разрешенной области плоскости координат k1.д и k2.д и – на граничной прямой k1.д и k2.д и и ниже нее.

Началу системы координат (см. рис. 7.13) соответствует локальный участок уплощения поверхности Д И . Для локального участка такого типа тождественно выполняется условие kд и 0 , а его средняя и пол-

Разрешенная область разделена на три сектора 1 , 2 и 3 .

В секторе 1 находятся K -отображения локальных участков поверхностей Д И с положительными

ческих локальных участков.

На граничной прямой k1.д и k2.д и расположены K -отображения омбилических локальных участков

Рис. 7.13. К-отображение локальных участков поверхностей деталей и инструментов.

вогнутых локальных участков с отрицательной средней ( ~ ) и также нулевой полной ( ~ ) кри

Mд(и) 0 Gд(и) 0 -

визной.

Подобно тому, как наряду с эллиптическими локальными участками поверхности Д И рассматрива-

ются их частные случаи – омбилические локальные участки, так и наряду с гиперболическими локальными участками рассматриваются частные их случаи: минимальные локальные участки, для которых средняя крив-

локальных участков такого типа расположены на прямой k2.д и k1.д и . Выше этой прямой в пределах сек-

ваться как дополнительная граничащая прямая, разделяющая сектор 2 на две части.

Выходящими из K -отображений стрелками показаны (см. рис. 7.13) направления, при перемещении вдоль которых тип гладкого регулярного локального участка поверхности, которому принадлежит соответствующее K -отображение, не изменяется.

386 7. Условия формообразования поверхностей деталей

Если построить K -отображения локальных участков поверхности Д детали и взятые с противополож-

ными знаками главных кривизн (по отношению к своим исходным) K -отображения локальных участков поверхности И инструмента, то по относительному расположению К-отображений можно судить о возможности правильного формообразования заданного локального участка поверхности детали заданным локальным участком исходной инструментальной поверхности, т.е. возможно ли выполнение третьего условия формообразования для заданной пары локальных участков поверхностей Д и И .

7.2.2. Применение коноидов Плюккера. Для анализа локальной интерференции детали и инструмента могут быть использованы коноиды Плюккера1 (Plucker J., 1865) поверхностей Д и И . Коноид Плюккера –

это характеристическая поверхность, которая представляет собой геометрическое место векторов нормальной

зования для заданной пары локальных участков поверхностей детали и инструмента.

Применение К -отображения локальных участков поверхности Д детали и поверхности И инструмен-

та и их коноидов Плюккера удобно для иллюстрации возможности выполнения или нарушения третьего условия формообразования для отдельно взятых локальных участков поверхности детали.

7.3.Глобальный анализ третьего условия формообразования поверхностей деталей

Для анализа глобальной интерференции деталей и инструментов разработано несколько дополнительных методов. Эти методы учитывают локальные свойства поверхностей в дифференциальной окрестности точки их касания, однако позволяют судить о наличии или отсутствии интерференции глобально – для всего формообразуемого отсека поверхности детали.

1Плюккер, Юлиус (Plucker, Julius) (16.6.1802–22.5.1868) – немецкий математик и физик. Родился в Эльберфельде. До 1824 учился в университетах Бонна, Гейдельберга, Берлина, Парижа. Преподавал в Боннском (1828–1833), Берлинском (1833–1834) университетах, университете в Галле (1834–1836), с 1836 – профессор Боннского университета. Основные работы относятся к геометрии и физике. Развил современную аналитическую геометрию, создал новые методы проективной геометрии, разработал теорию обобщенных однородных координат (координаты Плюккера). Открыл аналитическое соответствие метрического принципа двойственности, распространил его на трехмерное пространство. Исследовал плоские кривые высших порядков. Указал (1830), что кривую можно рассматривать как совокупность точек или как совокупность касательных, поскольку касательные так же определяют форму кривой, как и точки. Предложил (1834– 1839) формулы, устанавливающие порядок и класс алгебраической кривой и ее особенности (формулы Плюккера). В 1864–1868 изучал геометрию в пространстве. Член Парижской АН (с 1867).

Вразрешенной области выделены три сектора 1 , 2 , 3 , которые являются разрешенными секторами

–К -отображение никакой поверхности Д(И) не выходит за их пределы. Для некоторых поверхностей

Д(И) их К -отображение может полностью или частично совпадать с границами разрешенных секторов.

-путем расчета величин главных кривизн поверхности Д(И) для массива дискретно заданных точек на ней или

-путем вывода уравнения контура -отображения и построения этой граничной кривой по ее уравнению.

5. В общем случае гладкая регулярная поверхность Д(И) сложной формы имеет выпуклые, вогнутые и

выпукловогнутые участки. Поэтому -отображение такой поверхности располагается в двух или в трех разрешенных сектора 1 , 2 , 3 одновременно. Движению по поверхности Д(И) от одной точки к другой соот-

ветствует перемещение из одной точки ее -отображения в другую. Переход из одного разрешенного сектора-отображения в другой возможен при пересечении одной из осей координат (точки которых соответствуют К-отображению параболических локальных участков поверхности Д(И) ) либо через начало системы коорди-

нат k1.д(и) k2.д(и) (совпадающая с ним точка соответствует -отображению точки уплощения, являющейся вы-

рожденной параболической точкой). Это хорошо согласуется с доказанным в дифференциальной геометрии поверхностей положением (Норден А.П., 1948; doCarmo M., 1976; Struik D.J., 1961): если некоторая поверхность содержит выпуклые и вогнутые участки, на ней всегда существуют параболические кривые.

6. -отображение может быть “многослойным”, что имеет место, когда на поверхности Д(И) имеется

два и более участка с одинаковыми значениями главных кривизн.

В качестве примера на рис. 7.15 показано -отображение отсека некоторой поверхности Д(И) , которое удовлетворяет перечисленным требованиям – оно:

-расположено в разрешенной области;

-не выходит за пределы разрешенного прямоугольника;

-находится в пределах разрешенных секторов 1 , 2 , 3 ;

-касается всех четырех сторон разрешенного прямоугольника в точках 1, 2, 3, 4, а также имеет общие с его сторонами участки 4-5, 5-6 и 1-7.

-отображение поверхности Д(И) , представляющее собой в общем случае закрытый или открытый участок плоскости координат k1.д(и) k2.д(и) , в частных случаях выпождается в линию или в точку. Так, напри-

мер, минимальная поверхность имеет переменную по величине положительную первую главную кривизну ( k1.д и Var 0 ) и переменную по величине отрицательную вторую главную кривизну (k2.д и Var 0 ). В

каждой точке минимальной поверхности выполняется соотношение: k1.д и k2.д и . Поэтому -отображе- ние минимальной поверхности Д(И) совпадает с линией k2.д и k1.д и , исключая точку, совпадающую с

началом координат (см. рис. 7.15). Началу координат соответствует -отображение минимальной поверхности, вырожденной в плоскость, когда все ее нормальные кривизны тождественно равны нулю (kд и 0 ).

Поверхность выпуклого конуса имеет переменную по величине положительную первую главную кривизну k1.д и Var 0 . Вторая главная кривизна постоянна и равна нулю (k2.д и 0 ). Поверхность вогнутого ко-

нуса имеет постоянную первую главную кривизну (k1.д и 0 ). Вторая главная кривизна переменна по величине и отрицательна (k2.д и Var 0 ). Поэтому -отображения конических поверхностей Д(И) представляют собой линию, в первом случае совпадающую с осью абсцисс k1.д и , а во втором – с осью ординат k2.д и системы координат k1.д(и) k2.д(и) (см. рис. 7.15).

Первая k1.д и и вторая k2.д и главные кривизны поверхности, величины которых у конуса отличны от

нуля, принимают нулевое значение только для точек поверхности “конуса”, бесконечно удаленных от его вершины, т.е. для тех участков конической поверхности, которые вырождаются в плоскость. На рис. 7.15 это показано стрелками.

Для плоскости выполняется соотношение kд и 0 . Поэтому -отображением всей плоскости будет точ-

ка, совпадающая с началом координат (см. рис. 7.15). Как и выше (см. раздел 7.2.1), такого типа отображение будет -отображением, но не отдельного локального участка плоскости, а плоскости Д(И) целиком.

-отображения конических поверхностей можно рассматривать как вырожденные случаи -отображе- ния минимальной поверхности, когда одна из главных кривизн постоянна по величине и равна нулю.