Radzevich, S.P. Monograph - 2001

-концевая фреза со сферической головкой (рис. 7.30.4) – всю нижнюю часть полусферы единичного радиуса и примыкающую к ней часть верхней полусферы;

-фреза обобщенной ( APT) конструкции (рис. 7.25.5) – пояс на нижней части полусферы единичного ра-

диуса; - грибковая фреза с торообразной производящей поверхностью И (рис. 7.30.6) – всю сферу единичного

радиуса.

Как правило, технологические возможности инструмента тем шире, чем большую площадь охватывает сферические отображения его исходной инструментальной поверхности И .

Очевидно, что отображение Гаусса и сферическая индикатриса могут быть построены для исходной инструментальной поверхности И инструмента любой конструкции. Для этого достаточно использовать рассмотренный выше подход к построению отображения Гаусса и сферических индикатрис для поверхностей

Ддеталей1.

7.4.7.Расширенные сферические отображения и расширенные индикатрисы поверхности детали и исходной инструментальной поверхности. В процессе многокоординатной обработки сложной поверхности

1В дополнение к сферическим отображениям поверхности детали и инструмента можно построить центральные проекции их сферических отображений на плоскость и вместо собственно сферических отбражений и сферических индикатрис поверхностей Д и И ис-

пользовать их центральные проекции. Несложно вывести уравнения центральных проекций сферического отбражения и сферической индикатрисы поверхности Д(И) .

детали заготовка и инструмент всегда перемещаются один относительно другого. Придерживаясь принципа суперпозиции, рассмотрим что происходит со сферическим отображением поверхности И при движении инструмента относительно детали. Считаем при этом, что все условия формообразования поверхностей деталей выполняются.

В каждой точке касания поверхностей Д и И нормали к этим поверхностям направлены взаимно про-

тивоположно. Поэтому чтобы на одной сфере единичного радиуса построить удобные для последующего анализа сферические индикатрисы поверхности детали и исходной инструментальной поверхности, воспользуемся понятием антипоидальных точек (Kells, L.M., et al, 1951). Антипоидальные точки1 на сфере единичного радиуса представляют собой пары диаметрально противоположно расположенных точек. Если гауссово ото-

бражение GMap И исходной инструментальной поверхности И отобразить центрально-симметрично, по-

лучим его антипоидальное сферическое отображением GMapA И .

Анализ относительного расположения гауссового отображения GMap Д обрабатываемой поверхности Д детали и антипоидального сферического отображения GMapA И исходной инструментальной поверхности И позволяет сформулировать:

Теорема 7.1. Обработка детали возможна в случае, если сферическое отображение GMap Д ее поверхности Д целиком располагается внутри антипоидального сферического отображения GMapA И исходной инструментальной поверхности И применяемого инструмента.

Это необходимое, но не достаточное условие возможности обработки в полном соответствие с требованиями чертежа заданной детали заданным инструментом на заданном станке.

Теорема 7.2. Если какая-либо часть сферического отображения GMap Д поверхности Д находится вне пределов антипоидального сферического отображения GMapA И исходной инструментальной поверхности, то осуществить обработку детали в полном соответствие с требованиями чертежа невозможно.

большее количество степеней свободы, которые позволяют антипоидальному сферическому отображению GMapA И его исходной инструментальной поверхности перемещаться по сфере единичного радиуса, обра-

зуя при этом расширенное антипоидальное сферическое отображение GMapAE И поверхности И . Напри-

1Такие точки (как и др. геометрические образы) называют также “симметричными” (Степанов Н.Н., 1948) или “центрально-симме- тричными”.

от системы ЧПУ координаты приводит к тому, что антипоидальное сферическое отображение GMapA И

поверхности И инструмента перемещается в направлении 1 – расширяется и в результате этого охватывает область A1B1CD . Введение в рассмотрение дополнительной пятой и шестой управляемых от системы ЧПУ

жения GMapAE И является расширенной антипоидальной сферической индикатрисой GInd AE И поверхности И инструмента.

жено за пределами расширенного антипоидального сферического отображения GMapAE И исходной ин-

струментальной поверхности И применяемого инструмента, обработка детали в полном соответствие с требованиями чертежа невозможна.

Это достаточное условие невозможности обработки заданной детали заданным инструментом на заданном станке.

В некоторых случаях сложная поверхность детали может иметь несколько точек, нормали к Д в которых взаимно параллельны. Это приводит к тому, что сферическое отображение GMap Д поверхности детали становится “многослойным”. Количество слоев равно наибольшему числу точек поверхности Д , в которых нормали к ней взаимно параллельны. Например, участок ABCDEFG поверхности Д (рис. 7.32) имеет параллельные нормали. Отображение GMap Д поверхности Д показывает, что участок BCDG отображения GMap Д имеет сферическое отображение GMap Д в виде четырехугольника B0C0 D0G0 . Но сферическим отображением участка ABDEFG поверхности Д является многоугольник A0 B0 D0 E0 F0G0 . Поэтому участок A0 B0 D0 E0 F0G0 сферического отображения GMap Д перекрывается дважды. Ясно, что в общем случае число слоев сферического отображения может быть более двух.

Рис. 7.32. Пример поверхности Д с частично двухслойным сферическим отображением.

Формулы (45) и др. учитывают, что сферическое отображение GMap Д поверхности Д детали может

быть многослойным.

Увеличение количества слоев сферического отображения GMap Д приводит к тому, что вес его много-

слойного участка увеличивается пропорционально количеству слоев. Это может привести к тому, что при недостаточном числе управляемых от системы ЧПУ координат станка, в результате приведения детали в наивыгоднейшее положение появятся затененные участки ее поверхности Д .

В качестве примера рассмотрим обработку на трехкоординатном станке с ЧПУ детали, сложная поверхность Д которой имеет двуслойное сферическое отображение GMap Д (рис. 7.33). Для однослойного сфе-

рического отображения GMap Д поверхности Д , имеющего форму ABDCFE , средневзвешенная нормаль

к поверхности Д проходит через точку Mд*0 и при такой ориентации заготовки поверхность Д детали мо-

жет быть обработана. Однако участок CDEF является двухслойным и потому имеет вдвое больший вес. Это приводит к тому, что средневзвешенное положение нормали окзывается развернутым вокруг начала координат на некоторый угол и занимает положение Mд0 . Если развернуть деталь до положения, в котором rд0

займет вертикальное положение, то очевидно, что при такой ориентации обработка детали в полном соответствии с требованиями чертежа на трехкоординатном станке с ЧПУ невозможна. В этом и в подобных случаях вопрос сводится к тому, что является более целесообразным: обрабатывать сложную поверхность Д детали

отображения GMap Д имеют взаимноодно-значное соответствие. С другой стороны поверхность Д детали

Исходя из изложенного вопрос о наивыгоднейшей ориентации детали на столе станка может быть решен в результате анализа относительного положения сферических индикатрис GInd Д и GInd И поверхностей

Д и И . Вместе с тем использовать две отдельные характреристические кривые GInd Д и GInd И для

получения ответа на вопрос возможна или невозможна при известной ориентации детали обработка ее поверхности Д на станке с ЧПУ не удобно. Поэтому в рассмотрение вводится новый вид характеристической

кривой – индикатриса обрабатываемости MInd Д поверхности Д детали. Эта характеристическая кривая представляет собой замкнутую кривую на сфере единичного радиса. Она может быть построена так.

Рассмотрим пример многокоординатной обработки сложной поверхности детали концевой фрезой со сферической исходной инструментальной поверхностью И (см. рис. 7.23). Для этого случая антипоидальное

сферическое отображение GMapA И исходной инструментальной поверхности И представляет собой верхнюю полусферу сферы единичного радиуса (рис. 7.34.1); сферическая индикатриса GInd И является окружностью наибольшего диаметра на этой сфере и совпадает с границей отображения GMapA И .

Внутри сферического отображения GMap Д поверхности Д детали выберем некоторую точку – это может быть точка Mд0 средневзвешенного положения нормали к поверхности Д (использовать эту точку удобнее). Через начало системы координат Xд0Yд0 Zд0 и точку Mд0 проходит произвольная секущая плоскость i , которая пересекает сферические индикатрисы GInd Д детали и GInd A И инструмента в точках

ный угол между радиус-вектором r Bi точки B0i и радиус-вектором r Mi точки Mд0 обозначен через Bi . Разность углов Ai и Bi равна Ai Bi Mi . Угол Mi* , который определяет положение текущей точки M0*i индикатрисы обрабатываемости MInd Д поверхности Д детали равен Mi* Mi . Этот угол измеря-

(рис. 7.34.3), получим все точки индикатрисы обрабатываемости MInd Д поверхности Д детали.

Теорема 7.5. Поверхность детали может быть обработана в полном соответствие с требованиями черетежа тогда и только тогда, когода индикатриса обрабатываемости MInd Д поверхности Д не

имеет отрицательных диаметров.

Обычно если индикатриса обрабатываемости MInd Д не имеет отрицательных диаметров, она не пере-

секает сама себя – в общем случае выполнения этого условия не достаточно, т.к. не исключен случай, когда все диаметры индикатрисы MInd Д отрицательны. В этом случае самопересечения индикатрисы MInd Д

Аналогично, из уравнения антипоидального сферического отображения GMapA И исходной инструментальной поверхности И можно записать:

r Bi i cos Bi j cos Bi k cos Bi .

Угол Ai между векторами r Ai и r Mi равен:

1.Индикатриса обрабатываемости MInd ( Д) поверхности детали является пространственной кривой, расположенной на сфере единичного ридиуса;

2.Текущая точка индикатрисы обрабатываемости MInd ( Д) находится в текущем положении плоскости i , проходящей через ра-

к текущему положению плоскости i .

Плоскость i проходит через начало системы координат Xд0Yд0Zд0 и содержит направление r Mi (49). Ее текущее положение будет определено однозначно, если задаться еще одним вектором, расположенным в плоскости r Mi . В качестве такого вспомогательного вектора используем единичный вектор n1 , который определим как n1 rMi n i . В этом случае вектор n1 перпендикулярен как вектору r Mi , так и вектору n i . Следовательно, он располагается в плоскости i .

Теперь уравнение плоскости i можно составить исходя из общего уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и содержащей два направления (в рассматриваемом случае – через начало системы координат Xд0Yд0Zд0 и векторы r Mi и n1 ). Получим:

Отсюда r MInd r Mi cos Mi* . Это уравнение представляет собой уравнение поверхности кругового конуса, ось которого проходит через вектор r Mi , а угол при вершине равен 2 Mi* .

Радиус-вектор r MInd , расположенный в плоскости i (т.е. удовлетворяющий уравнению (51)), определяет две точки на сфере единичного радиуса. Та из них (в зависимости от соотношения величин углов Ai и Bi ), которая удовлетворяет условию выбора знака углаMi* (см. выше), является текущей точкой индикатрисы обрабатываемости MInd ( Д) поверхности Д детали.

ввиду, что антипоидальное сферическое отображение поверхности И инструмента может оказаться многосвязной областью.

Сферические отображения обрабатываемой поверхности Д детали и исходной инструментальной по-

верхности И могут быть использованы для анализа возможности или невозможности обработки детали. Это важно при разработке новых и совершенствовании существующих систем класса CAD/CAM.

В каждой точке касания поверхностей Д и И нормали к ним направлены взаимно противоположно.

Поэтому исходя из сферического отображения поверхности И инструмента можно построить его центрально симметричный (относительно центра сферического отображения) образ, радиус-вектор каждой точки которого будет однонаправленным с соответствующей нормалью к поверхности Д детали.

Если сферическая индикатриса поверхности Д целиком находится внутри центрально симметричного

образа сферической индикатрисы поверхности И инструмента, то при выполнении шести условий формообразования поверхностей деталь может быть обработана в полном соответствии с требованиями чертежа.

Качательные движения инструмента относительно детали приводят к тому, что сферическая индикатриса поверхности И инструмента перемещается по поверхности сферы единичного радиуса, покрывая в этом движении некоторую ее область и образуя тем самым расширенное сферическое отображение исходной инструментальной поверхности И . Контуром расширенного сферического отображения поверхности И является ее расширенная сферическая индикатриса.

Если сферическая индикатриса поверхности Д детали целиком находится внутри антипоидальной рас-

ширенной сферической индикатрисы поверхности И инструмента, то при выполнении шести условий формообразования поверхностей деталь будет обработана в полном соответствии с требованиями чертежа. В противном случае обработка всей поверхности детали с одного установа невозможна. Эти условия являются необходимыми и достаточными.

Таким образом, использование сферического отображения поверхности Д детали совместно с антипои-

дальным исходным и расширенным сферическим отображением поверхности И инструмента позволяет сделать однозначный вывод о возможности или невозможности обработки с одного установа всей поверхности детали при установленной ее ориентации относительно инструмента. В последнем случае имеется ввиду следующее.

Если сферическую индикатрису поверхности Д детали можно разместить целиком внутри антипоидаль-

ной исходной или расширенной сферической индикатрисы поверхности И инструмента, то обработать деталь можно – в этом случае требуется лишь определить параметры наивыгоднейшей ориентации детали относительно инструмента (см. выше) и сориентировать деталь в соответствие с установленными значениями углов ее разворота. В противном случае обработка всей поверхности Д детали с одного установа невозможна.

Другое следствие из приведенных результатов. Сложность ориентирования и обработки поверхности Д

детали возрастает по мере того, как увеличивается степень распространения ее сферической индикатрисы по поверхности сферы единичного радиуса. Для этого на сфере единичного радиуса следует построить окружность минимального (максимального) диаметра, в пределах которой целиком размещается сферическая инди-

катриса GInd ( Д) поверхности Д (описанная окружность). Затем анализируются два случая:

1. Если сферическая индикатриса GInd ( Д) поверхности Д детали не выходит за пределы некоторой

полусферы на сфере единичного радиуса, то чем меньше радиус описанной вокруг нее окружности, тем возможности наивыгоднейшего ориентирования сложной поверхности Д детали шире – одновременно это упро-

щает многокоординатную обработку детали.

2. Если сферическая индикатриса GInd ( Д) поверхности Д детали не размещается целиком в пределах

некоторой полусферы на сфере единичного радиуса и выходит за ее границы, то чем больше радиус описанной вокруг нее окружности, тем возможности наивыгоднейшего ориентирования сложной поверхности Д де-

тали шире, что также упрощает многокоординатную обработку детали.

Очевидно также, что чем большую площадь на сфере единичного радиуса занимает сферическое отображение поверхности И инструмента, тем его технологические возможности шире, а диапазон ориентирования поверхности Д детали относительно инструмента больший.

Базирование заготовки детали со сложной поверхностью в требуемом положении на столе станка с ЧПУ можно обеспечить определенной ориентацией приспособлений (в т.ч. приспособлений-спутников) относительно осей координат стола. Для этого обычно используют координатные плиты и блоки, имеющие сетку базовых отверстий с различным шагом. Обрабатываемые детали могут быть полностью ограниченными