Radzevich, S.P. Monograph - 2001

Рассмотрим подкоренное выражение в первом сомножителе второго слагаемого в (91), взятое без знака абсолютной величины:

Путем несложных преобразований его можно привести к виду:

252 4. Геометрия касания поверхности детали и исходной инструментальной поверхности

Очевидно, что аналогично подкоренные выражения в первых сомножителях первого, третьего и четвертого слагаемых в (91) без знака абсолютной величины могут быть преобразованы к виду

Очевидно, что (93) является мажорантным по отношению к исходному уравнению (91). Следовательно, если доказать, что

В этом уравнении каждое подкоренное выражение можно приравнять нулю, найти корни x1 , x2 , …, x8 полученных уравнений, после чего оно преобразуется к виду:

Очевидно, что (94), не может быть тождеством ни при каких значениях входящих в него коэффициентов ai , bi , ci . Но поскольку мажорантное выражение (94) не может быть тождеством, то миноратное по отношению к нему выражение (91), а следовательно и (90), ни при каких значениях коэффициентов ai , bi , ci также не может быть тождеством. Этим теорема 4.1 доказана.

Если сопоставить индикатрису конформности (79) с индикатрисой кривизны поверхности приведенной кривизны (59), то можно заключить, что с точки зрения эффективности и полноты аналитического описания

геометрии касания поверхностей Д и И индикатриса конформности Indconf Д / И более информативна,

она более точно описывает особенности геометрии касания поверхностей Д и И в дифференциальной

окрестности точки K и поэтому ее применение для решения задач синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхностей деталей предпочтительнее. Это следует из того, что:

- направления экстремальной степени конформности поверхностей Д и И , найденные как направления

осей индикатрисы Дюпена поверхности приведенной кривизны, всегда взаимно ортогональны, тогда как в действительности степень конформности поверхностей Д и И в этих направлениях может быть не экстре-

мальной. Индикатриса конформности Indconf Д / И лишена этого недостатка – за счет увеличения степени

уравнения этой характеристической кривой (от второй степени для индикатрисы Дюпена поверхности приведенной кривизны до четвертой у индикатрисы конформности Indconf Д / И );

- использование приближения более высокого (третьего) порядка вида (28) для оценки характера касания гладких поверхностей Д и И в рассматриваемом случае нецелесообразно. Сам по себе учет членов третьего

и более высокого порядка ничего не дает – принципиальный недостаток вызван, в первую очередь, невысокой

(второй) степенью уравнения поверхности приведенной кривизны, а не степенью точности расчета ее параметров;

- кривизна текущего плоского нормального сечения поверхности приведенной кривизны является линейной функцией соответствующих нормальных кривизн поверхностей Д и И (см. (4.78)), поэтому при

одной и той же разности нормальных кривизн этих поверхностей индикатриса Дюпена Ind пр Д / И

поверхности приведенной кривизны описывает геометрию касания поверхностей неоднозначно, а именно: при постоянной (для разных пар поверхностей Д и И ) разности кривизн kд и kи значение приведенной

кривизны kпр. не изменяется и вследствие этого индикатрисы Дюпена двух разных поверхностей приведен-

ной кривизны неотличимы одна от другой – они взаимно конгруэнтными. Поэтому ее можно использовать для решения задач анализа, но не синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхностей деталей;

Поверхность приведенной кривизны находит применение при решении контактных задач теории упругости. При этом обычно построив индикатрису Дюпена для поверхности приведенной кривизны, сравнивают длины ее полуосей с длинами полуосей эллипсовидной площадки контакта двух упругих тел и заключают, что они пропорциональны одна другой и одинаково ориентированы. Отсюда делается вывод, что

по форме и расположению осей индикатрисы Дюпена Ind пр Д / И поверхности приведенной кривизны

можно судить о контуре площадки контакта касающихся поверхностей. Этот хорошо экспериментально проверенный факт не противоречит изложенному выше.

Несмотря на то, что решения контактных задач теории упругости многократно проверялись экспериментально, такие проверки имели место для случаев контакта тел относительно простой формы: “плоскостьсфера”, “сфера-сфера”, “цилиндр-цилиндр” (с параллельными или с пересекающимися под прямым углом осями) и т.п., т.е. когда главные секущие плоскости контактирующих поверхностей совпадают. По этой причине результаты экспериментальных исследований хорошо согласуются с результатами аналитических решений. Несоответствия, которые имеют место при касании более сложных поверхностей, не обнаружены потому, что такие исследования не проводились – поэтому опубликованные результаты экспериментальных исследований

контакта упругих тел не противоречат тому, что индикатриса конформности Indconf Д / И более точно описывает геометрию касания гладких регулярных отсеков поверхностей деталей и инструментов.

Используя уравнение (83) индикатрисы конформности Indconf Д / И , можно получить еще одну полез-

ную характеристическую кривую – кривую минимумов наименьших диаметров индикатрисы конформности Indconf Д / И для различной ориентации инструмента относительно детали. Учитывая свойства симметрии

каждого из локальных участков поверхностей Д и И , угол относительной локальной ориентации можно рассматривать в пределах 0 . Этот интервал изменения угла делится на части с некоторым относительно небольшим шагом так, что текущее значение i равно i i . Для каждого фиксированного значения угла i из уравнения

находится соответствующее ему значение центрального угла i . Из всех найденных значений центрального

i в уравнение (83), находится величина минимального диаметра индикатрисы конформности Indconf Д / И для текущего положения инструмента относительно детали. Совокупность концов найденных таким путем

характеристическую кривую, которая позволяет установить направление измерения dconfmin при известной

относительной локальной ориентации детали и инструмента. Уравнение этой характеристической кривой может быть получено аналитически.

Для чистовой обработки поверхностей деталей интерес в первую очередь представляет направление плоского нормального сечения поверхностей Д и И , в котором они наиболее конформны одна другой. Это

направление находится по уравнениям (83) и (95). Для черновой обработки важно удалить весь припуск с минимальным числом повторных проходов, как правило, без повторных проходов. Поэтому для черновой обработки представляет интерес то направление плоского нормального сечения поверхностей Д и И , в

котором они наименее конформны одна другой. Очевидно, что и эти направления относительно просто могут быть найдены из (83), аналогично может быть построена кривая максимальных диаметров dconfmax индикатрисы конформности Indconf Д / И и выведено ее уравнение.

4.8.Асимптоты индикатрисы конформности Ind conf(Д/И) поверхности детали

иисходной инструментальной поверхности

Важной геометрической характеристикой поверхности детали и исходной инструментальной поверхности являются асимптотические направления на каждой из них. Эти направления однозначно определяют

расположение асимптотических линий на поверхности Д И . Асимптотические линии на Д И важны тем,

что в направлении каждой из них касательная плоскость к поверхности имеет более тесное соприкосновение (не менее, чем второго порядка), чем в любом другом направлении. Соприкасающаяся плоскость асимптоти-

ческой линии является либо касательной плоскостью к поверхности Д И , либо не определена. Локальные участки гиперболического типа поверхности Д И разделяются асимптотическими касательными на четыре

области, из которых две лежат по одну сторону, а две – по другую сторону относительно касательной плоскости.

При некоторых сочетаниях значений параметров уравнения (83) индикатриса конформности Indconf Д / И может иметь асимптоты: прямые линии, к которым эта характеристическая кривая неограни-

ченно удаляясь от расположенного в точке К начала координат своей бесконечной ветвью неограниченно приближается к ним с одной стороны.

Асимптоты индикатрисы конформности Indconf Д / И описываются уравнениями вида y ax b .

В ортогональной локальной системе координат, в которой выполняются соотношения Eд и 1 , Fд и 0 , Gд и 1 , константа a для уравнения вида (40) равна

4.8. Асимптоты индикатрисы конформности Indconf(Д/И) поверхности детали и исходной инструментальной поверхности 255

Д И могут иметь совпадающие асимптоты. Для этого одна из касающихся поверхностей или одновременно

вообще существует), когда вторая основная квадратичная форма Φ2.д и (1.38) поверхности в этой точке обращается в нуль и, следовательно, выполняется условие:

Асимптотическое направление в точке K определяет асимптотическую кривую – кривую, касательная к которой в каждой точке поверхности направлена по асимптотическому направлению к ней в этой точке. Так