64. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре.

Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара площадью S_б через отверстие для которого (см. рисунок 13.3).

Рисунок 13.3 – Схема истечения жидкости из отверстия

При этом опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия т.е. . Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте.

Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление в резервуаре отличается от давления в пространстве, куда истекает жидкость.

Проведём плоскость сечения 2-2 через центр сжатого сечения струи. Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходится под большими углами и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2.

Так как площадь сечения бака значительно превышает площадь струи в сжатом сечении из уравнения расхода следует, что , а следовательно, скоростной напор , а потому скоростным напором в большем сечении, т.е в баке можно пренебрегать или считать, что .

Расположив плоскость отсчета 0−0 (давления) по оси отверстия имеем: ; . Считаем, что так как . Величина потерь на преодоление местных сопротивлений при прохождении струей отверстия определим по уравнению Дарси т.е. . Учитывая все выше упомянутые условия уравнение (13.1) перепишем в виде:

Или

Используя понятие располагаемого напора Н_р,, который в данном случае выразится как , получим

где – коэффициент сопротивление отверстия.

Из уравнения (13.2) скорость истечения жидкости из отверстия

(13.3)

Где − коэффициент скорости.

С учетом принятого обозначения скорость истечения реальной жидкости из отверстия:

(13.4)

Так как коэффициент Кориолиса , а коэффициент местных потерь напора в отверстии , то и . По опытным данным , при . Если учесть, что режим истечения турбулентный, когда а коэффициент скорости в отверстии определяется как ;тогда , откуда

При истечении через отверстие идеальной жидкости в турбулентном режиме, т.е. когда коэффициент Кориолиса и , коэффициент скорости . Тогда

(13.5)

Это уравнение называется формулой Торричелли. Она показывает, что скорость в начале вытекающей струи равно скорости свободного падения тела, упавшего с высоты .

С учетом этого коэффициент скорости можно представить как отношение действительной скорости истечения реальной жидкости к скорости истечения идеальной жидкости.

Траектория движения истекающей струи в координатах X –Z может быть установлена исходя из законов кинематики движения твердого тела (см. рисунок13.4).

Рисунок 13.4 – К определению траектории струи

Так длина пути проходимого частицами жидкости в направлении оси Х составит : . В направлении оси Z– . Время движения струи составит: . После подстановки . С учетом уравнения (13.4) получаем:

или z=A x² – уравнение параболы.

Рассчитаем расход реальной жидкости при данных условиях истечения. Эта величина определяется, как произведение действительной скорости истечения и фактической площади сечения струи.

(13.6)

Произведение коэффициентов и называется коэффициентом расхода .

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи В этом случае . В общем же случае коэффициент расхода зависит от условия сжатия струи.

При несовершенном сжатии струи когда отверстие расположено близко к стенкам сосуда (m<3d_O и n<3d_O) они оказывают влияние на процесс истечения. Так при этом коэффициент расхода

,

где μ₀ –коэффициент истечения при совершенном сжатии струи;

. Так при t=1,5, а при t=3,5.

При неполном сжатии когда струя сжимается по части периметра отверстия (m=0, см.рисунок 13.1) коэффициент расхода

,

где П^*–часть периметра отверстия где струя не испытывает сжатие;

П –полный периметр отверстия.

При истечении жидкости не в газовую среду а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень» т.е. когда отверстие заполнено с обеих сторон), в качестве располагаемого напора принимают разность уровней жидкости в резервуарах z. Числовые значения коэффициентов остаются при этом практически теми же.

Зависимость коэффициентов от режима движения представлена графически на рисунке 13.3. Также как и коэффициент сжатия коэффициент расхода зависит от относительных размеров отверстия и его положения относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.

Из графика видно, что с увеличением значений Re т.е. с усилением влияния сил инерции, коэффициент возрастает в связи с уменьшением коэффициента ξ, а коэффициент уменьшается. Вследствие уменьшения торможения жидкости у кромки отверстия и увеличения радиусов кривизны поверхности струи на её участке от кромки отверстия до начала цилиндрической части.

Значение коэффициентов асимптотически приближается к их значениям, соответствующим истечению идеальной жидкости, т.е. при

.

Коэффициент расхода с ростом значений Re сначала увеличивается, что обусловлено крутым возрастанием , а затем, достигнув max ( при Re=350), уменьшается с связи со значительным падением и при больших числах Re практически стабилизируется на значениях .

Для маловязких сред (вода, молоко, бензин), истечение которых происходит при достаточно высоких значениях Re, коэффициенты истечения обычно принимаются