29. Вывод обобщенного дифференциального уравнения равновесия покоящейся жидкости. Его анализ.

В покоящейся жидкости выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx,dy и dz. (см. рисунок 4.3)

Условие равновесия выделенного элементарного объёма запишется в виде

ΣF_X=0

ΣF_Y=0

ΣF_Z=0

В выделенном объеме будут действовать поверхностные силы и массовые. Из поверхностных сил действует только сила давления Р, а сила трения будет равна нулю. Действие массовых сил выразим по закону Ньютона, обозначив через проекции ускорения массовых сил на соответствующие оси.

Р исунок 4.3 – К выводу дифференциальных уравнений равновесия покоящейся жидкости (уравнения Эйлера)

Тогда проекция массовых сил на ось Х выразится как

M_x= ρdV = ρdxdydz

На ось Y

M_y= ρdV = ρdxdydz

На ось Z

M_z= ρdV = ρdxdydz

Рассматриваем силы, действующие вдоль оси ОХ.

Учитывая непрерывность изменения давления в жидкости, давление вдоль оси ОХ изменяется на величину на единицу длины ребра dx. Тогда приращение давления вдоль всего ребра составит .

Если на левую грань ZOY действует давление , то на правую действует

.

Условие равновесия выделенного элементарного объема вдоль оси ОХ примет вид

(4.14)

_или

dzdy–( + )dzdy+ ρdxdydz =0 (4.15)

Произведя сокращение на величину dxdydz=dV получим

ρ – =0; или – =0 (4.16)

Выполнив аналогичные вычисления относительно других осей получим следующие уравнения:

– =0 и – =0 (4.17)

Уравнения (4.16) и (4.17) объединенные в систему (4.18) представляют собой систему дифференциальных уравнений покоящейся жидкости Л. Эйлера.

– =0

– =0 (4.18)

– =0

30. Поверхности равного давления при абсолютном и относительном покое. Относительный покой в жидкости, находящейся в сосуде движущимся горизонтально и равноускорено.

Введем понятие поверхности равного давления. Такой поверхностью будем считать поверхность давления во всех точках которой будет одинаково т.е. p=const.

Если p=const, то dp=0. Дифференциальных уравнений Эйлера следует, что полный дифференциал:

Откуда

, (6.11)

Где , , - проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

Рассмотрим некоторые случаи покоящейся жидкости.

Жидкость в абсолютном покое

Запишем уравнение (6.11) для рассматриваемого случая, когда в жидкости действуют только силы тяжести.

Р исунок 6.5- Плоскость равного давления в покоящейся жидкости.

Проекции ускорения силы тяжести G на координатные оси будут соответственно равны:

С учетом этого, уравнение (6.11) примет вид:

(6.12)

В результате интегрирования получим: (6.13)

Отсюда следует, что в покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость является плоскостью равного давления.

Жидкость находится в равновесии в равноускоренно движущемся сосуде

В данном случае в жидкости будут действовать две массовые силы: сила тяжести Gи сила инерции F. Проекции ускорений результирующей этих сил на координатные оси будут равны:

, (6.14)

С учетом этого уравнение (6.11) примет вид:

, (6.15)

В результате интегрирования уравнения (6.15) получаем:

, (6.16)

Уравнение (6.16) представляет уравнение наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту

Таким образом, в жидкости находящейся в сосуде, движущемся горизонтально с постоянным ускорением, плоскостью равного давления является любая плоскость, наклоненная под углом β к горизонту.