46. Вывод уравнения д.Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости и анализ его составляющих.

Для вывода уравнения Бернулли используем систему дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, которую получил Л. Эйлер. Систему дифференциальных уравнений запишем для случая, когда из всех массовых сил в идеальной жидкости будет действовать только сила тяжести. Система дифференциальных уравнений примет вид:

, (9.1)

Каждое уравнение системы до множим соответственно на dx, dy и dz. В результате получим новую систему (9.2):

, (9.2)

Далее осуществим почленное сложение уравнений системы (9.2), учитывая что , , :

Зная, что , , и представляет собой полный дифференциал давления.

Получим:

, (9.3)

В левой части уравнения сумму дифференциалов запишем как дифференциал суммы . С учетом этого уравнение (9.3) привет вид:

, (9.4)

Перенеся правую часть полученного уравнения в левую и внеся все величины под знаки дифференциалов, а также заменяя сумму дифференциалов на дифференциал суммы, получим:

, (9.5)

Откуда

Или

, (9.6)

Уравнение (9.6) представляет собой уравнение движения идеальной жидкости, полеченное Л. Бернулли в 1738 г., и названное его именем.

В соответствии с этим уравнением полная удельная энергия элементарной струйки идеальной жидкости в различных сечениях струйки остается неизменной.

Для двух различных сечений Бернулли представляется в виде:

, (9.7)

Это уравнение является уравнением энергетического баланса потока жидкости, поэтому слагаемому уравнение может быть дано энергетическое толкование, так же как и геометрическое т.к. слагаемые уравнения имеет линейную размерность.

47. Энергетический смысл и геометрическая интерпретация уравнения д. Бернулли для идеальной жидкости.

Заметим, что все слагаемые уравнения имеют различность длин. Действительно z- координата центра тяжести или расстояние от плоскости сравнения О-О до центров сечений (см. рисунок 9.1) ее размерность (м). второй член уравнения =(м) и, наконец. Третье слагаемое .

В потоке идеальной жидкости (μ=0, ) произвольно выберем сечения 1-1, 2-2 и 3-3. В этих сечениях установим прямые трубки (пьезометры) «а» и трубки с изогнутым устьем навстречу потоку- трубки «b», называемые трубками (пьезометрами) полного напора. Жидкость в обеих трубках поднимается на некоторую высоту. Причем в трубках «b» высота подъема будет больше. Поднятие жидкости на дополнительную высоту в трубках, с загнутыми устьями(скоростные трубки) объясняется тем, что движущейся частицы жидкости, набегая на входные концы трубок со скоростью и соответственно, осуществляют дополнительное давление на неподвижную жидкость в скоростных трубках. Для уравновешивания этого давления жидкость должна подняться на дополнительную высоту, уравновешивающую скоростные напоры и .

Рисунок 9.1- Геометрическое толкование Д. Бернулли

Линия, проведенная по отметкам , будет называться линией полных напоров, а линия - линией пьезометрических напоров. Расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центров выбранных сечений представляет собой геометрический напор, или нивелирную высоту. - пьезометрический напор (высота), отвечающий гидростатическому давлению в рассматриваемом живом сечении. - динамический, или скоростной напор. Из приведенного рисунка (9.1) ясно, что в трубке «b», измеряющих полный напор потока в рассматриваемых сечениях жидкость поднимется на одинаковую высоту H, т.е. линия полных напоров будет параллельны плоскости отсчета О-О. Параллельно этой плоскости может быть линия (а-а) в случае если скоростной напор в сечениях один и то же, что возможно при постоянстве площадей живого сечения идеальной струйки, т.е. .

Сумма первых двух слагаемых уравнение (9.10) представляет собой потенциальный напор, а сумма как уже отмечалось- полный напор.