44. Уравнение неразрывности для элементарной струйки и потока реальной жидкости. Понятия массового и объемного расходов.

Уравнение расхода для потока

где Q – расход;  – средняя скорость потока F – площадь сечения потока. Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный , а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный .

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Таким образом или

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений. Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения. Формула расчета объемного расхода:

Формула расчета массового расхода:

45. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. (Уравнение л.Эйлера).

Напомним, что идеальной жидкостью считается жидкость, которая неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям, и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать, т.е. τ=0. А следовательно T= τ S ̶ силы трения также отсутствуют. Из поверхностных сил в идеальной жидкости будут действовать только силы давления. В движущейся жидкости эти силы, называют силами гидродинамического давления. Их величина определяется через возникающие нормальные напряжения (аналогично гидростатической силе) и определяется как:

Сила гидродинамического давления имеет те же свойства, что и гидростатическая сила. А именно:

• она всегда действует по нормали к площадке и является сжимающей к рассматриваемому объему;

• величина гидродинамического давления не зависит от ориентации площадки в пространстве

Для вывода уравнений движения в потоке идеальной жидкости выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами длиной dx, dy иdz (см рисунок 8.2). действие массовых сил (силы тяжести и сила инерции) заменим результирующей массовых сил М. Проекции ускорения этой силы на координатные оси будут соответственно равны . Применим основной принцип динамики к рассматриваемой системе. В соответствии с ним сумма проекций сил, действующих на движущейся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости, заключенной в объеме, на ее ускорение.

Для рассматриваемого элементарного объема, при перемещении его вдоль оси OX условие равновесия действующих сил запишется в виде:

, (8.13)

Рисунок 8.2 − К выводу дифференциальных уравнений Эйлера движения идеальной жидкости

Силы давления и выразим через давления, действующие на левую грань параллелепипеда и его правую грань - . Величину давления выразим через давление и приращение давления в направлении оси OX на протяжении всего ребра длиною dx.

Результирующую силу от действия массовых сил, действующих вдоль оси OX, представим как произведение, вытекающее из закона Ньютона:

, (8.15)

Величина ускорения выделенного объема , тогда внешняя сила будет равна:

Подставляя найденные значения элементарных сил в уравнение (8.13), получаем условие равномерного движения выделенного элементарного объема в направлении оси Х. Это условие примет вид:

или после приведения подобных:

Аналогично вдоль других осей:

OY:

OZ:

Объединяя уравнения (8.18), (8.19) и (8.20) в систему и произведя сокращения, получим:

Полученная система дифференциальных уравнений (8.21) носит название системы дифуравнений движения идеальной жидкости Л. Эйлера.

В случае установившегося движения и субстанциональное произведение соответствующих скоростей упращаются.