В основе доказательства «от противного» лежит допущение (временное) истинности антитезиса, т.е. высказывания, противоречащего тезису. Возьмем в качестве тезиса некое высказывание А, а в качестве антитезиса не-А. Тогда, если из антитезиса при помощи обычных средств дедукции выводимо противоречие, то это значит истинность не-не-А, что то же самое, что истинность А (по закону снятия двойного отрицания).

Более строгим обоснованием этого рассуждения является непрямое правило вывода: ((( Г, ¬А→ В) & ( Г, ¬A→ ¬B)) → (Г→A)). Для доказательства тезиса А при наличии совокупности аргументов Г предполагается истинность не-А и показывается, что из Г и ¬А (нашего предположения) выводимо противоречие В и ¬В. Правило позволяет сделать

заключение, что из аргументов Г выводимо А.

Пример. В одном городе было совершено ограбление банка. Подозрение пало на известных рецидивистов Смита, Джонса и Брауна. В ходе следствия выяснилось, что Джонс никогда не ходит на дело без Брауна. По крайней мере один из рецидивистов – Смит или Джонс – замешан в преступлении. У Брауна есть прочное

обвинение Смиту. Почему он пришел к такому выводу?

Доказательство можно строить от противного:

•Допустим, что Смит не замешан в преступлении.

•Смит или Джонс замешаны в преступлении (это установленный факт).

Из допущения (1) и посылки (2) следует:

•Джонс замешан в преступлении.

Из (3) и другого установленного факта

•Если Джонс замешан в преступлении, то и Браун замешан в нем.

следует высказывание:

•Браун замешан в преступлении. Однако следствие выяснило, что

•Браун не замешан в преступлении.

Таким образом, в рассуждении получено противоречие – (5) и

(6). Следовательно, сделанное допущение (1) ложно, а высказывание

•Смит замешан в преступлении считается обоснованным посредством аргументов (2), (4), (6).

Симметричным доказательству «от противного» является опровержение путем «сведения к абсурду» (reductio ad absurdum). Схема рассуждения в этом случае аналогична вышеприведенной: если из некоторого тезиса А выводимо противоречие В и ¬В, то, следовательно, ¬А (А является ложным).

Разделительное доказательство строится на основе правила являющегося обобщением известного правила разделительно-категорического умозаключения – modus tollendo ponens: ( А V B, ¬B) → A.

§ 2. Способы опровержения

Говоря о способах опровержения, мы имеем в виду процедуру опровержения (критики) доказательства в целом. В этом случае выделяются три способа:

1)опровержение тезиса – обоснование ложности тезиса. Это может осуществляться либо путем прямого доказательства антитезиса, либо посредством метода «сведения к абсурду».

2)опровержение аргументов – это рассуждение, устанавливающее необоснованность тезиса путем доказательства ложности используемых аргументов.

3)опровержение демонстрации – обнаружение логических ошибок в форме доказательства (демонстрации), что ведет к утверждению необоснованности тезиса.

Наиболее сильным и эффективным является опровержение тезиса, так как только в этом случае мы делаем вывод «Тезис является ложным».

Во всех остальных случаях мы можем утверждать лишь, что тезис не обоснован, не доказан. Но необоснованность или недоказанность тезиса не обязательно означает его ложность (примером является юридическая практика освобождения подозреваемого «за недоказанностью» преступления).

Правила доказательства и возможные ошибки

Логические правила доказательства и опровержения связаны с основными компонентами доказательства: тезисом, аргументами и демонстрацией. Поэтому

можно выделить три группы таких правил.

•Правила по отношению к тезису:

1. Правило ясности – тезис должен быть сформулирован точно, ясно,

недвусмысленно.

Это требование относится как к семантике входящих в высказывание – тезис терминов (должны выполняться принципы отношения именования или, по крайней

мере, их значения должны быть зафиксированы с помощью определений), так и к

высказываниям в целом. В простых суждения должно быть четко определены

субъект и предикат, а также количество и качество суждения. В сложных суждениях должен быть понятен логический характер объединяющих их логических союзов.

•Правило постоянства – тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего процесса доказательства.

Это правило вытекает из закона тождества и принципов последовательности и определенности мышления.

Оба правила тезиса связаны друг с другом: чем менее ясно

сформулирована мысль, тем больше возможностей для манипулирования ею.

Это проявляется в главной ошибке на данные правила – подмене тезиса. Подмена тезиса относится к разряду софизмов – сознательно

допускаемым логическим ошибкам. В споре софизмы называются

уловками. Если ошибка допущена несознательно, то она называется

паралогизмом, и тогда мы будем говорить о потере тезиса. Так происходит, когда мы, сформулировав тезис, забываем его и переходим к другому тезису, прямо или косвенно связанному с первым, затем к третьему, четвертому факту, в итоге же теряем исходную мысль.

Наиболее часто встречающейся ошибкой является частичная подмена тезиса, когда в процессе доказательства автор стремится видоизменить свою мысль, сужая или смягчая свое первоначальное, слишком общее или излишне резкое утверждение. Если же речь идет о споре, в котором участвуют две стороны, то к противнику применяется другая уловка: его тезис стремятся расширить, сделать более труднодоказуемым.

Примеры (из книги С.И. Поварнина «Спор»). 1) Тезис: «А. хорошо знаком с русской литературой». Нападающий расширяет его: «Вы хотите сказать, что А. знаток литературы (вообще)?». Защитник его сужает: «Нет, я имею в виду, что А. хорошо знаком с современной русской литературой». 2) Например, был дан такой тезис: «Наши министры бездарны». Противник искажает его, усиливая: «Вы утверждаете, что наши министры – идиоты». Защитник же стремится смягчить тезис: «Нет, я говорил, что министры наши не на высоте своего призвания».