студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Явление резкого увеличения амплитуды колебательной системы при совпадении частоты действующей на нее внешней переменной силы с собственной частотой этой системы (частотой свободных колебаний) называется резонансом.

Оно играет исключительно важную роль в науке и технике. Заметим, прежде всего, что детали многих машин и механизмов изготавливаются из упругих материалов и, следовательно, могут совершать гармонические колебания с определенными собственными частотами. Эти детали связаны с другими элементами конструкции или машины, которые могут оказывать на них меняющееся периодически со временем воздействие, играющее роль вынуждающей силы. И если частота этого воздействия станет близкой к собственной частоте, то из-за резонанса могут возникнуть колебательные движения с большой амплитудой, которые отрицательно скажутся на работе механизма или даже приведут к его разрушению.

Но, пожалуй, с полезными следствиями резонансных явлений

втехнике и науке приходится сталкиваться чаще. Например,

врадиотехнике широко используется тот факт, что амплитуда колебаний электрического тока в электрических цепях может резко возрастать, когда частота подводимого к цепи внешнего электромагнитного поля (играющего роль вынуждающей силы) совпадает с собственной частотой колебаний тока в цепи. Настраивая свой радиоприемник на определенную волну, мы как раз и добиваемся совпадения собственной частоты колебаний тока в приемнике с одной из частот приходящих издалека слабых электромагнитных волн. В научных исследованиях явление резонанса широко используется как основа так называемого спектрального метода. Он состоит в экспериментальном определении возможных собственных частот исследуемого объекта (спектра собственных частот) путем воздействия на него переменной вынуждающей силой и измерения тех ее частот, при которых наблюдается резонанс. С другой стороны, собственные частоты определенным образом связаны с внутренними свойствами объекта исследования. Поэтому, измеряя спектр собственных частот объекта, можно получить информацию о многих его важных внутренних свойствах, которые другими способами получить трудно или вообще невозможно.

Вопросы и задачи

1.Какие начальные условия должны быть известны, чтобы можно было однозначно рассчитать траекторию движения материальной точки под действием заданной силы?

2.Что такое гармонические колебания?

3.Что такое фаза гармонического колебания?

4.Что такое резонанс?

72 Примеры приложений законов Ньютона [ Гл. 4

5. Под каким углом к поверхности следует бросить камень, чтобы он

улетел на максимальное расстояние? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 4.

6. Лодка под парусом развила скорость 0. Найти зависимость скорости лодки после спуска паруса от пройденного лодкой расстояния по стоячей воде, если силу сопротивления воды движению лодки можно считать пропор-

циональной скорости?

Ответ: 0 , где — масса лодки, — коэффициент сопротивления воды.

7. Чему равно г э — отношение силы гравитационного взаимодействия электрона и протона в атоме водорода к силе их электрического (кулоновского)

взаимодействия?

Ответ: г э 10 40 (!).

8. Ракета стартует без начальной скорости в пространстве, свободном от силовых полей. Масса ракеты меняется по закону 0 , где

Решение. Подставляя и, соответственно, 0 в закон сохранения импульса 0, получаем . С учетом

начальных условий имеем , откуда 2 2. Из условия0 0 следует, что . Отсюда окончательно получаем 2 2 1 000 км.

Г л а в а 5

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ

ЭНЕРГИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ

ТОЧКИ ВО ВНЕШНЕМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

5.1.Работа и кинетическая энергия

Вповседневной жизни из понятий механики нам приходится чаще всего сталкиваться с понятием работы. Каждый человек непрерывно работает с первых шагов своей жизни, перемещая

сместа на место различные предметы (в том числе, и свое тело), изучая науки в школе и институте и совершая потом определенные действия на рабочем месте. Вокруг нас работают тысячи машин и механизмов.

Столь же часто, как понятие «работа», встречается нам и понятие «энергия»; это объясняется тем, что энергия, как мы увидим далее, отражает способность отдельных тел или сложных систем совершать работу. Поиск источников энергии всегда являлся одной из самых главных задач человеческого общества. Важнейшим из них для нас является Солнце, электромагнитное излучение которого приносит на Землю энергию, без которой само существование жизни было бы невозможным.

Перейдем теперь к строгому определению этих понятий. В повседневной жизни понятие работы чаще всего связано с определеными усилиями, которые приходится прилагать, чтобы переместить какое-либо тело из одного по-

пути и действующей силы. Во многих случаях, однако, особенно в технике, оказывается важным и то, с какой скоростью совер-

шается работа. Поэтому в механике вводится понятие мощности. Мощность — это работа, совершаемая в единицу времени, и ее

строгое определение имеет вид

Единицы работы и мощности. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совер-

шаемой силой в 1 Н на пути в 1 м. Единицей мощности в СИ является ватт (Вт). Ватт — это такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа в один джоуль (Дж/с).Часто используют кратные единицы: киловатт (1 кВт 103 Вт), мегаватт (1 МВт 106 Вт) и другие. Иногда (сейчас все реже и

реже) можно встретиться с единицей мощности, которая называется лошадиной силой (л. с.). Соотношение между ваттом и

лошадиной силой: 1 л. с. 736 Вт.

На заре цивилизации полезную работу получали, используя мускульные усилия человека или домашних животных. Затем человек стал осваивать природные источники для совершения работы — такими были, например, водяные мельницы, где полезная работа совершалась за счет движения водных потоков. И наконец, на рубеже XVII и XVIII веков была изобретена паровая машина, и это изобретение ознаменовало начало первой промышленной революции, кардинально изменившей условия человеческого существования. Вслед за этим и родилось понятие об «энергии», как о некой субстанции, содержащейся в горячем паре, которая может превращаться в работу. С тех пор поиск все новых и новых источников энергии стал одной из основных научно-технических задач человеческого общества.

Заметим сразу, что используемое в механике понятие энергии не содержит в себе каких-либо новых свойств пространства, времени и движения по сравнению с теми, которые нашли свое отражение, скажем, во втором законе Ньютона. Как мы сейчас увидим, эта физическая величина довольно просто выражается через известные уже нам механические величины, такие как масса, скорость и т. п. Важная роль энергии в механике определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, величина энергии тела или системы тел определяет возможность совершать работу. Во-вторых, мы покажем, исходя из второго закона Ньютона, что энергия замкнутой системы тел сохраняется, и этот закон сохранения, как и закон сохранения импульса, является полезным инструментом при решении многих механических задач.

Рассмотрим сначала простейший случай движения одного тела, которое можно рассматривать как материальную точку. Его

Тем самым доказано, что изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении на бесконечно малое расстояние равно работе, совершенной на этом расстоянии действующей на материальную точку силой. Обозначение малого приращения работы Æ, вместо дифференциала, является общепринятым. Так обозначаются в физике приращения величин, не являющихся в пространстве функциями точки. Особенно важно будет отличать такие приращения от так называемых полных дифференциалов в термодинамике.

Если тело совершает конечное перемещение вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 под действием силы (см. рис. 5.1), то всю эту траекторию можно разбить на элементарные бесконечно малые перемещения , по соотношению (5.9) на каждом из этих перемещений определить изменение кинетической энергии, а затем просуммировать все эти изменения. Сумма бесконечно малых величин вычисляется с помощью интегрирования, так что для перемещения тела из точки 1 в точку 2 справедливо равенство

Как мы уже неоднократно подчеркивали, сила есть истинный вектор, поэтому правая часть (3.4) в общем случае представляет

собой векторную сумму всех действующих на тело сил, как говорят, результирующую силу. Итак, приращение кинетической энергии материальной точки на любом отрезке траектории равно работе на этом отрезке результирующей всех действующих на нее сил. Отметим, что приращение кинетиче-

ской энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака суммарной совершенной силой работы (сила может либо ускорять, либо тормозить движение тела). Еще раз обратим внимание на то, что в правой части (5.11) стоит величина, зависящая от формы траектории 1 2, что и выражается обозначением Æ.

Из (5.11) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа, и, следовательно, измеряется в тех же единицах.

Полученное соотношение между работой и кинетической энергией указывает на способ получения полезной работы путем использования кинетической энергии каких-либо тел. Это можно показать на следующем примере. Представим себе горизонтальный цилиндр с поршнем (рис. 5.3). Пусть на поршень слева налетает какая-либо частица. В процессе столкновения с поршнем ча-

5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле. Закон сохранения энергии

Наряду с кинетической энергией важную роль в механике играет понятие потенциальной энергии, которое также тесно связано с понятием работы. Но если кинетическая энергия материальной точки определяется, наряду с массой, модулем ее скорости, то потенциальная энергия, как мы увидим, зависит от положения тела в пространстве.

Как и при обсуждении свойств кинетической энергии, мы будем пока рассматривать движение одной материальной точки

под действием заданной силы. Если задана векторная функция точки пространства F(r), то ее называют силовым полем. Функ-

ция F(r), во-первых, не должна зависеть от скорости тела (ни

от величины, ни от направления), во-вторых, она должна быть постоянна во времени, и в-третьих, работа в данном силовом поле по любому замкнутому пути должна обращаться в нуль

(рис. 5.4), что математически записывается следующим образом:

Такие силы (силовые поля) называют консервативными; для них и только для них может быть введено понятие потенциальной энергии.

Примем условно какое-либо произвольное положение материальной точки за на-

териальную точку результирующей силой, при перемещении материальной точки из положения r в начальное положение:

и том же направлении вдоль контура %. Заменим направление следования (т. е. движения) в любом из этих направлений на противоположное. Как следствие, получаем, что работа при перемещении между точками 0 и 1 не зависит от выбора пути, по которому оно происходит:

0

inv.

1

Но это как раз и означает, что потенциальная энергия (5.13) определена однозначным образом как функция координат.

Проиллюстрируем наше определение важным примером. Опыт показывает, что силы взаимодействия двух изолированных материальных точек зачастую направлены вдоль соединяющей

их прямой и по модулю зависят только от расстояния между ними. Такие силы называются центральными. Примером

может служить сила гравитационного взаимодействия Солнца с планетой, если их рассматривать как точечные массы, или сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы, направленной, например, от одного и того же центра и по модулю зависящей только от расстояния до него (рис. 5.5). Покажем, что работа при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 по двум произвольным путям a и б одинакова, то есть от формы пути не зависит.

80 Работа и энергия [ Гл. 5

Для доказательства проведем из центра концентрические сферические поверхности, радиусы которых отличаются на бесконечно малую величину . Эти поверхности рассекут обе

наши траектории a и б на бесконечно малые отрезки пути. Бесконечно малые отрезки криволинейной траектории можно заменить на бесконечно малые прямолинейные векторы перемещений: на рисунке эти векторы перемещений между сферой с радиусом и сферой с радиусом по траекториям a и б обозначены через a и б соответственно. Докажем сначала, что работа Æa вдоль перемещения a равна работе Æб вдоль перемещения б. В соответствии с определением (5.2) для Æa получаем

В написанных выше формулах угол # обозначает, как показано

Сравнивая (5.14) и (5.15), мы видим, что действительно Æ Æб. Повторяя вышеприведенные рассуждения для всех отрезков пути а и пути б между соседними сферическими поверхностями, мы получим, что элементарные работы Æ на всех этих отрезках равны, а, следовательно, равны и суммарные рабо-

ты на путях a и б. Так как пути a и б были выбраны произвольно, то это означает, что работа, совершаемая при перемещении материальной точки центральной силой, не зависит от формы