студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

В инерциальной системе уравнение движения имеет обыч-

ный вид

,

где a — ускорение рассматриваемой материальной точки в системе . Вычитая его из уравнения (9.7) (из левой части одного — левую часть другого, из правой части — правую), получим

Это выражение для силы инерции является обобщением выражения (9.6) для ин в случае прямолинейного движения неинерциальной системы отсчета. Для поступательного движения неинерциальной системы . Итак, в общем случае сила инерции равна произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета. При поступательном движении неинерциальной системы относительно инерциальной системы эта разность равна переносному ускорению , т. е. ускорению начала отсчета системы . Рассмотрим в качестве примера относительно простой случай.

Пусть материальная точка во вращающейся системе движется в плоскости по окружности радиуса с постоянным модулем скорости (рис. 9.5). В неинерциальной системе

той точки вращающейся системы , в которой находится рассматриваемая материальная точка (мы рассматриваем случай, когда и направлены в одну сторону). Следовательно, в инерциальной системе ускорение материальной точки — это также центростремительное ускорение, направленное к центру вращения и по модулю равное

Воспользуемся теперь определением (9.8) и найдем следующее выражение для модуля силы инерции в рассматриваемом случае:

В соответствии с (9.8) направление найденной силы инерции противоположно направлению разности векторов , направленных в сторону оси вращения. Поскольку, согласно (9.9), модуль больше модуля , то разность центростремительных ускорений направлена к оси вращения, а следовательно, ин направлена от оси вращения. Окончательно, силу инерции (9.10) можно представить как сумму двух сил, имеющих специальные названия:

В данном случае — радиус-вектор, проведенный к материальной точке из начала координат, потому что точка движется в плоскости . В общем случае это вектор, проведенный от оси вращения к точке в плоскости траектории и его модуль дает расстояние материальной точки от оси вращения.

Центробежная сила инерции (9.12) действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее. Величина и на-

правление этой силы определяются движением системы отсчета, т. е. переносным ускорением. В этом отношении она подобна си-

ле инерции при поступательном движении системы. Однако центробежная сила зависит еще и от положения тела во вращающейся системе; она не обладает пространственной однородностью. Центробежную силу инерции необходимо учитывать при точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности — ее учет приводит, в частности, к небольшим поправ-

кам к силе тяжести (эти поправки составляют доли процента). Сила K в формуле (9.11) называется силой Кориолиса (по

имени французского механика Г.Г. Кориолиса (1792–1843)), или кориолисовой силой инерции. Для рассмотренного нами частно-

го случая, когда направление скорости движения материальной точки перпендикулярно оси вращения, ее модуль равен 2 и она направлена вдоль . В общем случае выражение для силы Кориолиса имеет вид

где — вектор угловой скорости. Отличительной особенностью силы Кориолиса (9.13) является то, что она действует только на движущиеся относительно вращающейся системы отсчета тела. Она пропорциональна векторному произведению и , то есть перпендикулярна обоим этим векторам, и ее направление определяется по правилу винта.

Влияние силы Кориолиса следует учитывать, в частности, при истолковании некоторых явлений, связанных с движени-

ем тел относительно земной поверхности. Например, летящий снаряд испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции. В северном полушарии при горизонтальном полете, независимо от направления, снаряд будет отклоняться вправо, а в южном полушарии — влево. По этой же причине в нашем полушарии у рек подмывается преимущественно правый берег, в южном полушарии — левый.

Итак, в инерциальной системе отсчета ускорение тела определяется «реальными» силами, действующими со стороны других тел (и полей). В неинерциальной системе для определения относительного ускорения, т. е. относительно этой системы, надо добавить силы инерции.

В общем случае система отсчета может двигаться относительно инерциальной (которую мы условно можем считать неподвижной, «абсолютной») поступательно и одновременно вращаться. Связь между радиусами-векторами частицы в двух системах по-прежнему определяется соотношением

Скорость в абсолютной системе теперь слагается из трех составляющих. Изменение вектора определяет движение относительно системы — это относительная скорость. Свой вклад в абсолютную скорость дает движение системы относительно системы — это скорость начала координат системы . Но если даже тело неподвижно в системе и начало координат этой системы неподвижно в системе , тело все же будет двигаться относительно по окружности радиуса . Как мы знаем, скорость в этом случае равна величине . Таким образом, переносная скорость слагается из двух составляющих, связанных соответственно с поступательным движением системы и с ее вращением. В результате получаем

Для нахождения связи ускорений нам надо продифференцировать по времени выражение (9.14). Получаем

В этом случае также надо учесть наличие двух причин изменения вектора в системе . Это надо иметь в виду при вычислении второго и третьего членов в формуле (9.14). Не забудем, что

отн

Нетрудно видеть, что мы должны получить такое выражение:

отн отн отн

Учитывая, что вклад в векторное произведение дает только перпендикулярная одному из векторов составляющая второго вектора, из правил преобразования двойного векторного произведения

торов равно нулю, и от последнего выражения остается одно

отн 2 2 отн

Всоответствии с определением (9.8) получаем выражение для суммарной силы инерции в общем случае

Напомним еще раз, что первый член в этой формуле определяет поступательную силу инерции, второй — центробежную, четвертый — силу инерции, возникающую при неравномерном вращении неинерциальной системы (этот член редко представляет интерес). Все эти силы инерции связаны с переносным ускорением. Особняком стоит третий член — кориолисова сила инерции, связанная и с движением (вращением) неинерциальной системы, и с движением тела в этой системе.

Одним из любопытных проявлений сил инерции является состояние невесомости. Представим себе, что кто-то стоит

на весах в кабине покоящегося лифта (рис. 9.6 а). Вес — это

полнительной» силы инерции ин . Эта сила направлена вверх и в точности уравновешивает силу тяжести, так что ни-

9.3 ] Вопросы и задачи 175

какого взаимодействия человека с опорой весов не будет, что и означает обращение его веса в нуль. Таким образом, возникающее в рассмотренных условиях состояние невесомости связано с тем, что силы инерции компенсируют силу тяжести.

Аналогичная компенсация гравитационного притяжения к Земле силой инерции происходит и при рассмотрении явлений относительно космического корабля, вращающегося вокруг Земли. В этом случае притяжение к Земле компенсируется центробежной силой инерции (рис. 9.7). В самом деле, центробежная

где — масса космонавта, — угловая скорость его вращения

вместе с кораблем вокруг Земли и — его радиус-вектор относительно центра Земли. Предположим, что корабль летит по круговой орбите. Это означает, что летящий вместе с кораблем космонавт испытывает в системе, связанной с Землей, центростремительное ускорение 2 , направленное к центру Земли и связанное с силой притяжения к Земле вторым законом Ньютона (если считать Землю инерциальной системой)

2

Сравнивая это равенство с (9.17), мы видим, что сила инерции равна по величине и противоположна по направлению силе притяжения космонавта к Земле. То есть в этом случае, как и в примере с лифтом, возникает состояние невесомости. Спутник свободно падает на Землю, но благодаря большой начальной скорости «никак не может на нее упасть» и в результате движется по окружности.

Вопросы и задачи

1.Из каких предположений о свойствах пространства и времени следует принцип относительности Галилея?

2.Что такое силы инерции и какие типы сил инерции вы знаете?

3.Почему в южном полушарии левые берега рек подмыты сильнее правых?

4.Что такое состояние невесомости?

5.При спуске на 1-й этаж лифт тормозит, причем модуль его ускорения

3 м/с2 Определите вес находящегося в лифте человека, если его масса

равна 70 кг Ответ: 6 900 Н.

6. Кабины на колесе обозрения движутся в вертикальной плоскости по кругу радиуса 20 м, делая один оборот за время 5 мин с постоянной

угловой скоростью. Определите величину и направление силы инерции, действующей на человека массы 70 кг, находящегося в кабине.

Ответ: Сила инерции ин 2 2 0,6 Н направлена от центра окружности, по которой движется кабина. Говоря строже, в каждой точке кабины сила направлена к центру именно той окружности, по которой движется данная точка (рис. 9.8). Отметим, что поле сил в пределах каждой кабины в каждый данный момент строго однородно: кабина движется поступательно.

цб 2 , где — угловая скорость вращения Земли, а 6 400 км — ее радиус).

Основной вклад в изменение веса тела вносит (рис. 9.9) составляющая

2 2

1 цб

Относительное изменение веса, связанное с вращением Земли, равно

Сила 2 приводит к отклонению отвеса от направления к центру Земли, почти не меняя веса тела.

8.Человек намеревается пройти от центра карусели до ее края по радиусу

спостоянной скоростью 3 м/с. Карусель радиуса 10 м делает 3 оборота в минуту. При каком значении коэффициента трения человек сможет осуществить свое намерение?

Ответ: 2 2 2 2 0,22 2 60 c 1

9. Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. В какую сторону и на какое расстояние оно сместится под действием силы Кориолиса

на широте Москвы?

Решение. Скорость падения по вертикали растет по закону . Соответственно кориолисово ускорение равно 2 2 Дважды интегрируя по времени кориолисово ускорение, получаем величину сноса

3 3 . Полное время падения 2 1 2. В результате получаем снос к востоку:

Г л а в а 10

ВВЕДЕНИЕ В РЕЛЯТИВИСТСКУЮ МЕХАНИКУ

10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета. Принцип относительности Эйнштейна и преобразования Лоренца

Одной из важнейших физических постоянных является скорость света в вакууме , то есть скорость распространения электромагнитных волн в свободном от вещества пространстве. Эта скорость не зависит от частоты электромагнитных волн, и принятое сейчас ее значение равно 299 792 458 м/с. В громадном большинстве случаев эту величину с достаточной точностью можно принять равной 3 108 м/с — погрешность при этом менее 0,001. И именно «триста тысяч километров в секунду» для скорости света запоминается большинством из нас на всю жизнь. Напомним, что 300 000 км — это, по порядку величины, расстояние от Земли до Луны (точнее, 380 000 км). Таким образом, радиосигнал с Земли достигает Луны через время немного большее, чем одна секунда.

Предположение о том, что свет распространяется не с бесконечной, а с конечной скоростью, высказывались за много столетий до того, как люди смогли доказать это экспериментально. Впервые это было сделано в XVII веке, когда астрономические наблюдения странных «нерегулярностей» в движении спутника Юпитера Ио удалось объяснить только на основе предположения о конечной скорости распространения света (кстати, эта первая попытка определить скорость света дала заниженный результат,

214 300 км/c).

Вплоть до конца XIX столетия скорость света интересовала исследователей, главным образом, с точки зрения понимания природы электромагнитного излучения — физикам тогда было не ясно, могут ли электромагнитные волны распространяться в вакууме, или они распространяются в особой заполняющей пространство субстанции — эфире. Однако итогом исследования этой проблемы явилось открытие, перевернувшее все существовавшие до тех пор представления о пространстве и времени. В 1881 г. в результате знаменитых опытов американского ученого А. Майкельсона (1852–1931) был установлен удивительный факт — величина скорости света не зависит от того, относительно какой системы отсчета она определяется!

Этот опытный факт противоречит закону сложения скоростей Галилея, который мы рассматривали в предыдущей главе и который кажется очевидным и подтверждается нашими повседневными наблюдениями. Но свет не подчиняется этому естественному, казалось бы, правилу сложения скоростей — относительно всех наблюдателей, как бы они ни двигались, свет распространяется

содной и той же скоростью 299 793 км/с. И то, что распространение света — это движение электромагнитного поля, а не частиц, состоящих из атомов, не играет здесь роли. При выводе закона сложения скоростей (9.2) не имела значения природа движущегося объекта.

Ихотя невозможно отыскать что-либо подобное в накопленных нами ранее опыте и знаниях, тем не менее, мы должны признать этот опытный факт, помня, что именно опыт является решающим критерием истины. Вспомним, что мы сталкивались

сподобной ситуацией в самом начале курса, когда обсуждали свойства пространства. Тогда мы отмечали, что представить себе кривизну трехмерного пространства нам — трехмерным существам — невозможно. Но мы поняли, что факт «наличия или отсутствия» кривизны можно установить опытным путем:

измеряя, например, сумму углов треугольника.

Какие же изменения необходимо внести в наше понимание свойств пространства и времени? И как в свете этих фактов относиться к преобразованиям Галилея? Можно ли их изменить так, чтобы они по-прежнему не противоречили здравому смыслу при их применении к привычным движениям окружающих нас тел и в то же время не противоречили факту постоянства скорости света во всех системах отсчета?

Принципиальное решение этих вопросов принадлежит Альберту Эйнштейну, создавшему в начале XX века специальную теорию относительности (СТО), связавшую необычный ха-

рактер распространения света с фундаментальными свойствами пространства и времени, проявляющимися при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света. В современной физической литературе ее чаще называют просто релятивистской механикой. Впоследствии Эйнштейн построил общую теорию относительности (ОТО), где исследуется связь свойств пространства и времени с гравитационными взаимодействиями.

Основу СТО составляют два постулата, которые носят название принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является обобщением принципа относительности Галилея, рассмотренного в предыдущей главе, на все без исключения (а не только механические) явления природы. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Принцип

движен. Но согласно принципу относительности Эйнштейна световой фронт должен быть сферическим также и тогда, когда он наблюдается в системе отсчета, находящейся в равномерном и прямолинейном движении относительно источника. Из этого условия мы и определим сейчас, каковы должны быть правила преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Если источник света находится в начале координат системы отсчета , то для света, испускаемого в момент 0, уравнение сферического светового фронта имеет вид

Это уравнение описывает сферическую поверхность, радиус которой увеличивается во времени со скоростью .

Координаты и время, измеряемые наблюдателем в движущейся системе отсчета , обозначим буквами со штрихами: ,, , . Положим, что начало отсчета времени совпадает с началом отсчета и что в этот совпадающий нулевой момент времени начало координат системы совпадает с положением источника света в системе . Пусть, для определенности, система движется в направлении c постоянной скоростью 2 относительно системы (рис. 10.1 б).

Как мы уже говорили, согласно второму постулату Эйнштейна, для наблюдателя в «штрихованной» системе световой фронт должен быть также сферическим, то есть уравнение светового

причем величина скорости света здесь та же, что и в системе отсчета . Таким образом, преобразования координат и времени от одной нашей системы отсчета к другой обязаны обладать таким свойством, что, например, после замены с помощью этих преобразований в (10.2) «штрихованных» величин на «не штрихованные» мы должны вновь получить уравнение сферического фронта (10.1).

Легко убедиться, что преобразования Галилея (9.3) не удовлетворяют этому требованию. Напомним, что эти преобразования связывают координаты и время в двух разных системах отсчета следующими соотношениями:

что, конечно, не согласуется с уравнением (10.1). Какими же должны быть новые преобразования? Во-первых, так как все си-