студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

стемы равноправны, переход из некоторой системы в любую другую должен описываться одними и теми же формулами (со своим значением 2 ), а двукратное применение преобразований с заменой на втором шаге 2 на 2 должно возвращать нас в исходную систему. Таким свойством могут обладать только линейные по и преобразования. Бесполезно испытывать для этого соотношения типа 1 2 1 2, или им подобные.

Во-вторых, при 2 0 эти преобразования должны переходить в преобразования Галилея, справедливость которых для малых скоростей не может быть подвергнута сомнению.

Из уравнения (10.4) ясно видно, что мы не можем оставить без изменения преобразование , если хотим уничтожить в этом уравнении нежелательные слагаемые 22 2 2 2, потому что для их уничтожения необходимо обязательно что-то прибавить к .

Попробуем сначала преобразование вида

где — постоянная, значение которой надо определить. Тогда уравнение (10.2) принимает вид

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (10.6)

Заметим, что члены в левой и правой частях равенства, содержащие произведение , взаимно уничтожаются, если принять

При этом значении уравнение (10.6) можно переписать следующим образом:

Это уже ближе к уравнению (10.1), но еще остается нежелательный множитель 1 2 2 2, на который умножаются 2 и 2.

Мы можем исключить и этот множитель, если окончательно запишем преобразование координат и времени в следующем виде:

Это и есть знаменитые преобразования Лоренца, названные по имени голландского физика-теоретика Х.А. Лоренца (1853– 1928), который в 1904 г. вывел формулы (10.9) и тем самым подготовил переход к теории относительности.

Нетрудно проверить, что при подстановке (10.9) в уравнение (10.2) преобразования Лоренца, как и должно быть, преобра-

зуют это уравнение в уравнение сферической поверхности (10.1) в неподвижной системе координат. Также легко убедиться, что при 2 0 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (9.2).

10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени

Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки

зрения ньютоновой механики следствий.

Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси и покоящийся относительно системы отсчета (рис. 10.2). Длина его в этой системе равна

даст длину стержня, измеренную в системе . Чтобы найти соотношение между 0 и , следует взять ту из формул преобразований Лоренца, которая содержит , и , то есть первую из формул (10.9). Согласно этой формуле,

Таким образом, длина стержня , измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше «собственной» длины 0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Поперечные размеры стержня в обеих системах одинаковы. Итак, для неподвижного наблюдателя размеры движущихся тел в направлении их движения сокращаются, и

тем больше, чем больше скорость движения.

Длительность процессов в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке, неподвижной относительно движущей-

ся системы , происходит какой-то процесс, длящийся время0 2 1. Это может быть работа какого-либо прибора или механизма, колебание маятника часов, какое-нибудь изменение

всвойствах тела и так далее. Началу процесса соответствует

вэтой системе координата 1 и момент времени 1, концу —

та же самая координата 2 1 и момент времени 2. Относительно системы точка, в которой происходит процесс, перемещается. Согласно формулам (10.9) началу и концу процесса в системе соответствуют моменты времени

1 272

В этой формуле 0 — длительность процесса, измеренная по часам в движущейся системе отсчета, где тело, с которым происходит процесс, покоится. Промежуток измерен по часам системы, относительно которой тело движется со скоростью . Иначе можно сказать, что определено по часам, которые движутся относительно тела со скоростью . Как следует из (10.11), промежуток времени 0, измеренный по часам, неподвижным относительно тела, оказывается меньше, чем промежуток времени , измеренный по часам, движущимся относительно тела.

Заметим, что для релятивистских множителей (лоренц-фак- торов) движущейся со скоростью 2 системы отсчета и/или движущейся со скоростью частицы приняты обозначения1 1 2 2 2 и соответственно 5 1 1 2 2 . Если это не приводит к путанице, для обеих величин употребляется обозначение 5.

Рассматривая протекание процесса из системы , можно определить как его длительность, измеренную по неподвижным часам, а 0 — как длительность, измеренную по часам,

движущимся со скоростью . Согласно (10.11) 0 ' , поэтому можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы (имеется, конечно, в виду, что во всем, кроме

скорости движения, часы совершенно идентичны).

Время 0, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется «собственным временем» этого тела. Как видно

из (10.11), собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела.

Эффект замедления времени симметричен по отношению к обоим рассматриваемым часам: для обоих наблюдателей из разных систем отсчета часы движущегося относительно него наблюдателя будут идти медленнее. Замедление времени является объективным следствием преобразований Лоренца, которые,

всвою очередь, являются следствием постоянства скорости света во всех системах отсчета. Необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что релятивистские эффекты отнюдь не умозрительны. На сегодняшний день СТО с очень хорошей точностью подтверждена экспериментально. Разумеется, при 2 0 формулы (10.10), (10.11) преобразуются к тривиальному нерелятивистскому пределу. Для наблюдения нетривиальных эффектов необходимо исследовать объекты с 2 .

Примерами могут служить явления, наблюдаемые при изучении элементарных частиц. Одним из наиболее наглядных опытов, подтверждающих соотношение (10.11), является наблюдение

всоставе космических лучей одного из видов элементарных частиц, именуемых мюонами. Эти частицы нестабильны — они самопроизвольно распадаются на другие элементарные частицы. Время жизни мюонов, измеренное в условиях, когда они непо-

движны (или движутся с малой скоростью), равно примерно 2 10 6 c. Казалось бы, даже двигаясь почти со скоростью света, мюоны могут пройти от момента своего рождения до момента распада лишь путь, равный примерно 3 108 м/с 2 10 6 c600 м. Однако наблюдения показывают, что мюоны, образуясь в космических лучах в верхних слоях атмосферы на высоте 20–30 км, успевают, тем не менее, в большом количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что 2 10 6 c — собственное время жизни мюона, то есть время, измеренное по часам, которые бы «двигались вместе с ним». Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с поверхностью Земли, оказывается гораздо б´ольшим из-за того, что скорость мюонов близка к скорости света. Поэтому не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно превышающий 600 м. Интересно рассмотреть этот эффект с точки зрения наблюдателя, «движущегося вместе с мюоном». Для него расстояние, пролетаемое до поверхности Земли, сокращается до 600 м в соответствии с формулой (10.10), так что мюон успевает пролететь его за 2 10 6 c, т. е. за «собственное время жизни».

Наиболее впечатляющее следствие преобразований Лоренца — относительность одновременности разнесенных в про-

странстве событий. Если два события и произошли одновременно в одной точке пространства, то в любой системе

10.2 ] Сокращение длины и замедление времени 185

преобразований Лоренца, .

Почему это обстоятельство до Эйнштейна оставалось незамеченным? До Эйнштейна явно или неявно сохранялось представление о существовании абсолютного пространства и абсолютного времени. Но если нет абсолютной системы отсчета, нет и абсолютной одновременности. Исчезает не только абсолютное пространство, исчезает и абсолютное время, которое, по Ньютону, течет «всегда одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Время СТО зависит от системы отсчета. Зависит от системы отсчета и промежуток времени между двумя событиями, и расстояние между двумя точками. В механике Галилея–Ньютона координаты точек зависят от системы отсчета, но расстояние между точками и :

2 2 2 2

от системы не зависит. В механике СТО эта величина перестает быть инвариантом. Независимым от системы отсчета становится интервал между событиями, определяемый соотношением

Время становится в один ряд с пространственными координатами или, как сказал немецкий математик и физик Г. Минковский (1864–1909): «пространство само по себе и время само по себе погружаются в реку забвения, а остается жить лишь своеобразный их союз». Это проявляется особенно наглядно, если, следуя Минковскому, в качестве четвертой координаты выбрать не ,

нимать четырехмерное пространство Минковского как простой аналог нашего трехмерного мира. Все же четвертая координа-

та сохраняет важнейшее отличие от трех остальных — однонаправленность, которой, в частности, обусловлены причинно-

следственные связи. Путешествие вспять во времени как было, так и остается невозможным.

Ввиду того, что по Лоренцу, в отличие от Галилея, преобразуется, кроме координат, и время, заметно меняется закон сложения скоростей. Если в системе тело движется со скоростью ,

186 Введение в релятивистскую механику [ Гл. 10

имеющей составляющие по осям координат , , , а система движется со скоростью 2 вдоль оси , для составляющих скорости тела в системе получаем

Хотя координаты и равны соответственно и , составляющие скорости по этим осям в разных системах различны, так как различаются темпы течения времени.

Не представляется неожиданным факт, что если по модулю равна скорости света — , то эта величина не изменится при переходе в любую другую систему отсчета. Ведь именно инвариантность скорости света является критерием справедливости преобразований Лоренца.

10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике

Закон сохранения импульса — один из основных законов природы; он отражает однородность пространства. В мире Минковского однородность пространства сохраняется. Видимо, должен быть по-прежнему справедлив закон сохранения импульса в замкнутой системе. Однако это требует определенной корректировки выражения для импульса тела.

Рассмотрим частный случай. Два одинаковых тела (масса каждого равна ) движутся навстречу друг другу, имея, с точки зрения некоторой системы отсчета , равные скорости. Следова-

с законом сохранения импульса образовавшееся тело должно покоиться. В частности, его координата теперь должна быть неизменной. В любой другой системе , события в которой связаны с событиями в системе преобразованиями (10.9), координата тоже должна стать постоянной.

Рассмотрим ситуацию до столкновения в системе . Согласно формулам преобразования скоростей (10.13), получаем

10.3 ] Импульс и энергия в релятивистской механике 187

Модули -составляющих скоростей теперь оказываются различными, и если сохранить классическое выражение для импульса, в частности, 8 , суммарная -составляющая импульса двух частиц не равна нулю. Тогда после «слипания» образовавшееся тело должно иметь отличную от нуля составляющую скорости по оси . Видимо, надо изменять выражение для импульса тела.

Для того чтобы догадаться, как именно надо менять это выражение, рассмотрим следующую процедуру. Установим на каждом из тел часы. Они будут показывать собственное время данного тела. Теперь будем фиксировать координату тела в различных системах и отмечать собственное время 0, которое соответствует этому значению . Запишем «гибридную»

при переходе от системы к системе, а время мы фиксируем по собственным часам тела, во всех системах мы должны получить

одно и то же значение . Мы знаем, что промежутки времени

по часам системы, в которой тело движется , и промежутки, отсчитанные по собственным часам 0 , связаны соотношени-

будет иметь одно и то же значение. Ясно, что равенство не нарушится, если обе его части умножить на одну и ту же величину .

Применительно к нашей задаче (о «слипании» двух тел) это означает, что комбинации 5 у двух частиц будут равными по модулю в любой системе отсчета.

Естественно именно эту величину принять за -составляю- щую импульса. Обобщая, определим релятивистский импульс

1 272

где v — скорость тела в системе, в которой мы вычисляем импульс.

Опыт показывает, что определенный таким образом импульс обладает основными свойствами, присущими величине в механике Ньютона: он сохраняется в замкнутых системах тел, а скорость его изменения равна силе, действующей на тело. Силу при этом следует определять в соответствии с (5.25): ,. При 1 выражение (10.15) переходит в обычное нере-

лятивистское определение импульса. Тем самым соблюдается принцип соответствия, за выполнением которого следует вни-

мательно следить при любом расширении физических понятий. (Мы уже касались этого вопроса в связи с законом сохранения энергии.)

188 Введение в релятивистскую механику [ Гл. 10

Для работы силы, то есть для изменения кинетической энергии тела, сохраняется выражение

Æ Æ , где

Ограничиваясь случаем действия силы вдоль направления скорости, с учетом (10.15) получаем

Выражение (10.16) трактуется так: энергия тела гается из кинетической энергии и энергии покоя -0

Закон сохранения энергии справедлив именно для величины -. Это верно как в случае упругих, так и неупругих взаимодействий, когда потери кинетической энергии компенсируются ростом энергии покоя взаимодействующих частиц или энергией частиц, излучаемых при взаимодействии, например, фотонов. В более общем случае, при рождении в процессе взаимодействия массивных частиц, необходимо, конечно, учитывать и кинетическую энергию и энергию покоя всех частиц как до взаимодействия, так и после него. Такие понятия, как потенциальная энергия или энергия связи, в релятивистском представлении включаются в энергию покоя.

Для энергии с помощью формулы (10.15) можно получить

в несколько более компактной форме:

2 62 -2; - ; 5 2 5

Фактически эта форма соответствует неявному введению системы единиц, в которой 1, а масса, импульс и энергия измеряются в одинаковых единицах; например, в ядерной физике в качестве такой универсальной единицы измерения мас-

но взятой частицы. Менее очевидно, что такая комбинация — инвариант и для совокупности частиц. Доказательство этого утверждения не представляет особых трудностей, но достаточно громоздко. Между тем, обратим внимание на тот факт, что «тела» состоят из движущихся друг относительно друга (хотя бы в процессе колебаний) атомов, атомы — из ядра и электронов, и даже протоны или пионы — из кварков и антикварков. А в отношении этих, строго говоря, систем или совокупностей частиц мы без малейшего сомнения уверены в инвариантности величины -2 62. Использование этого обстоятельства помогает упростить решение многих задач.

Поскольку определение (10.15) и соотношения (10.16)– (10.18) оказываются в хорошем согласии с экспериментом, мы

можем сделать еще один важный вывод: из вещественности физических величин p и - следует, что скорость любого физического тела не может превышать скорости света. Если

же частица (фотон, нейтрино) движется именно со скоростью , из (10.15), (10.16) вытекает, что масса такой частицы (более строго, энергия покоя) должна быть равна нулю, а двигаться она может исключительно со скоростью света. Релятивистская динамика по мере развития дает дополнительные аргументы в пользу таких заключений, но уже сейчас можно сказать, что все они подтверждены прямыми экспериментами.

Вопросы и задачи

1.Что такое принцип относительности Эйнштейна, и какие опытные факты лежат в его основе?

2.Что такое «замедление времени», и из каких законов природы вытекает этот эффект?

3.Чему равна масса фотона?

4.Два космических корабля движутся по одной прямой со скоростью

0,6 7 друг относительно друга. На каждом корабле наблюдают прямое телевизионное изображение часов другого корабля. Как связаны показания

собственных часов и показания изображения «чужих» часов?

Решение. Допустим, наблюдатель А в некоторый момент времени поставил

на своих часах то же показание, которое он видел на телеэкране, например, 0. Отметим, что передатчик В послал изображение своих часов, на которых было это показание — 0, с некоторого расстояния 0, и мы на часах А установили

время 0 через промежуток времени 07 после того, как это время показали часы В.

Пока по часам В пройдет некоторое время .0, по «неподвижным» часам системы А пройдет уже время . ,.0. Однако надо учесть, что корабль В движется, и его сигналы приходят из разных точек системы А. Если корабли

сближаются, путь сигнала во втором случае меньше на величину ., т. е.0 .. Через время 7 07 .7 после того, как часы В показали0 .0, сигнал об этом дойдет до наблюдателя А.

На телеэкране прошла минута, а по часам А — только полминуты. Часы на телевизоре идут быстрее, чем часы в кабине корабля (!). Точно такие же

рассуждения применимы, конечно, и к космонавту В: у него тоже часы на экране, изображающем корабль А, будут идти вдвое быстрее собственных. После того, как космонавты разминулись, часы на экране пойдут медленнее часов в кабине. Нетрудно понять, что теперь промежутки времени будут связаны соотношением

..0 1 $% 1 $%

Внашем случае часы на экране пойдут вдвое медленнее собственных. Отметим, что это отношение не равно , и в случае удаления кораблей друг от друга.

5.Стержень пролетает с большой скоростью мимо метки, расположенной в лабораторной системе отсчета 8. Известно, что время прохождения стержня

мимо метки равно 3 нс по часам системы 8 и 5 нс по часам системы 8 , связанной со стержнем. Определить собственную длину стержня (т. е. его длину в системе 8 ).

Решение. Рассмотрим два события — совмещение с меткой переднего и заднего концов стержня — в двух системах координат. В системе 8 эти события происходят в одной точке, и интервал между ними определяется

с большой скоростью мимо метки, расположенной в лабораторной системе отсчета 8. Время прохождения по лабораторным часам равно 6 нс. Какое время прохождения метки зафиксировано по часам, расположенным на стержне?

Ответ: 0 2 07 2 10 нс

7. При соударении достаточно энергичных протонов может идти реакция рождения протон-антипротонной пары & & & & & & На этом примере определите выигрыш от использования реакции на встречных пучках.

Решение. Если осуществляется реакция на встречных пучках, когда лабораторная система является системой центра инерции, т. е. системой, в которой суммарный импульс частиц равен нулю, вся кинетическая энергия протонов может перейти в энергию покоя пары, т. е. протоны должны быть разогнаны до

энергии 0 .

Если же разогнанный на ускорителе протон сталкивается с неподвижным, требуется значительно большая кинетическая энергия. Наиболее выгоден случай, когда продукты реакции движутся вместе, что очевидно, если мысленно пересесть в ц-систему (т. е. вернуться к варианту на встречных пучках). В ц-системе инвариант *2 62 равен 16 2 ( 4 , 6 0).

Значит, он должен иметь это же значение и в лабораторной системе. Но таким же он должен быть и до соударения, когда один из протонов покоился, а второй имел энергию и импульс

6 *2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2

Получаем 16 2 2 2 62, откуда 6 6 0