студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

8.3 ] Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности 151

заметно превышает таковую у твердого тела. Но как твердое тело — вполне реальное и подверженное деформациям — можно во многих динамических задачах с хорошей точностью считать абсолютно твердым, так и жидкость в задаче о ее течении нередко с достаточной точностью представима как несжимаемая. Обычно такое представление оправдано, если перепады скоростей в жидкости гораздо меньше скорости звука, и в этом смысле даже воздух при атмосферном давлении может рассматриваться как несжимаемая жидкость, если скорость его течения меньше 300 м/с.

Хотя, казалось бы, течение жидкости и движение тела конечных размеров весьма различны, общий «камертон» в системе основных понятий все же существует. Если мы выделим объем жидкости столь малый, что можно пренебречь его размерами и формой, и этот объем не перемешивается на характерном

масштабе задачи (или за характерное время задачи) с другим веществом, то такой жидкий элемент можно рассматривать

как материальную точку. Это позволяет определить скорость и ускорение элемента и вывести на этой основе уравнения тече-

ния (или, в частности, равновесия) жидкости. Траектория такого жидкого элемента называется линией тока (рис. 8.6 а).

ром (% % на рис. 8.6 б). Корректность понятий жидкого элемента и линии тока обусловлена лишь малостью элементарного объема. Понятие трубки тока подразумевает, что на интересующем нас пространственном масштабе линии тока достаточно

Если протекание вещества не сопровождается никакими реакциями, то масса вещества в потоке сохраняется. Рассмотрим некоторую трубку тока (рис. 8.7 а). Пусть течение стационарно.

Выделим объем, ограниченный стенками трубки тока и двумя ее сечениями, нормальными к скорости жидкости. Сохранение массы в выделенном объеме выражается равенством массы жидкости, втекающей в сечение 1 и вытекающей из сечения 2 за

время : 3191 1 3292 2 . Здесь 31,2, 91,2 и 1,2 — плот- ность жидкости, площадь нормального сечения трубки тока и

скорость жидкости в точках 1 и 2. Тем самым закон сохранения массы принимает вид уравнения неразрывности струи

быть модифицированы. Представим себе одномерную трубку тока (рис. 8.7 б). Закон сохранения массы вещества означает, что

что все характерные параметры зависят, вообще говоря, от двух переменных и , введем понятие частной производной

В случае неодномерного течения обобщение уравнения (8.15) достигается посредством введения оператора дивергенции. По

определению, для любой векторной функции , , дивергенция j есть

div 3 3 3

В общем случае трехмерного течения уравнение (8.15) принима-

Если же справедливо приближение несжимаемой жидкости, то изменением плотности как в пространстве, так и во времени

можно пренебречь:

(8.17)

Уравнения (8.16), (8.17) выглядят, конечно, сложнее, чем, соответственно, (8.13), (8.14), но обладают и заметным преимуще-

ством — они локальны, т. е. не привязаны ни к какой трубке тока, и их решение, в принципе, просто некоторая функция точки

впространстве r и времени .

8.4.Архимедова сила. Уравнение Бернулли

Вотличие от твердого тела, жидкость — среда бесструктурная, ее микроскопическое устройство не содержит такой «несущей конструкции», как кристаллическая решетка. Соответственно вопрос об ориентации поверхности, к которой приложено напряжение, здесь не возникает — все ориентации равноправны. Кроме того, в жидкости несравненно меньшую роль играют касательные напряжения. Если в твердом теле они ответственны за сдвиговые деформации и вполне проявляют себя в статике, то

вжидкости касательные напряжения возникают исключительно

вдинамической задаче и лишь при учете диссипативного эффекта — вязкости.

Опыт показывает, что в гидростатике — науке о равновесии жидких тел — а равно и в консервативной (бездиссипативной) гидродинамике существен всего один вид напряжения — давле-

ние, обладающее свойством изотропности. Это и составляет содержание закона Паскаля (по имени французского ученого Бле-

за Паскаля (1623–1662)): давление жидкости и газа передается одинаково во всех направлениях. Иными словами, давление — скалярная функция:

Одно из важнейших следствий изотропии давления было известно задолго до Паскаля — это закон Архимеда (по имени древнегреческого ученого Архимеда (ок. 287–212 до н. э.)): тело, погруженное в жидкость, выталкивается с силой, равной весу вытесненной жидкости. Рассмотрим те-

удерживают ее собственный вес. Ввиду скалярности давления (8.18) и отсутствия касательных напряжений, неважно, чем заполнена полость , так что и на тело будут действовать так же распределенные силы, имеющие ту же равнодействующую.

Хотя приведенные выше рассуждения и дают нам аргументы в пользу закона Архимеда, они не могут считаться доказа-

154 Элементы механики сплошных сред [ Гл. 8

тельством. В дополнение к ним хотелось бы дать современную трактовку архимедовой силы, пригодную для решения динамических задач. Мы сделаем это, опираясь на закон Паскаля. Пусть давление в жидкости или газе зависит от координаты:

(рис. 8.9). Выделим мыслен-

Удобно ввести понятие объемной плотности силы:

Это и есть сила Архимеда. В случае зависимости давления от трех координат, вместо обычной производной в (8.19), следует использовать операцию градиента — см. (5.25).

Представим себе, например, несжимаемую жидкость в поле тяжести. При 3 объемная плотность силы тяжести есть просто 3. Пусть ось направлена вглубь жидкости. Запи-

безотносительно к точке свободной поверхности, от которой мы отсчитываем . Тем самым подтверждается, что в сосудах, соединенных так, как показано на рис. 8.10, жидкость в равновесии оказывается на одном уровне, а при нарушении этого условия должно возникнуть течение, перекачивающее жидкость

всосуд с более низким уровнем через трубку. На этом и основан принцип сифона.

Рассмотрим эффекты, обусловленные работой давления. Прежде всего представим себе жидкость или газ, занимающие

всостоянии равновесия некий цилиндр с площадью основания 9 (рис. 8.11 а). Давление в пределах данного ци-

расширения как-то изменится и давление, , то это даст поправку в (8.21) всего лишь второго порядка. Пусть теперь слегка меняет объем жидкое или газообразное тело произвольной формы — на рис. 8.11 б начальное и конечное состояние показаны соответственно сплошной и штриховой линиями. В силу закона Паскаля, давление на любой участок границы действует в направлении нормали. Поэтому на любой малой площадочке, принадлежащей границе, мы можем построить цилиндрик с образующей, параллельной направлению нормали 0 (рис. 8.11 б). Дальнейшие рассуждения аналогичны выводу (8.21); вклад всех цилиндриков можно просуммировать (с учетом знака!) и полу-

Рассмотрим стационарное течение жидкости или газа без диссипации. Выделим некоторую трубку тока (рис. 8.12). Пусть

156 Элементы механики сплошных сред [ Гл. 8

газ совершает работу 191 1 . За то же время из сечения 92 вытекает объем 92 2 , совершая при этом работу 292 2 над всем вытекающим газом. При стационарном течении массы

где < включает отнесенную к единице массы внутреннюю энергию плюс энергию во внешних полях, т. е. всю энергию, кроме кинетической, плотность которой равна 3 2 2 Поскольку мы положили диссипативные эффекты несущественными, используем закон сохранения энергии:

левой части и второй член правой части (8.22) разделить на

в поле силы тяжести при неизменной массовой плотности внутренней энергии (для идеального газа это обусловлено постоянством температуры). Тогда 3 3 2 2, где — высота по отношению к некоторому заранее определенному нулевому уровню. Как следствие, получаем

Если к тому же, жидкость несжимаема, то (8.24) можно исполь-

Именно эту форму записи чаще всего связывают с именем Бернулли; подчеркнем, однако, что уравнение (8.23) гораздо более

универсально.

Уравнение (8.25) позволяет легко получить формулу Торричелли для скорости вытекания несжимаемой жидкости из сосуда

через малое отверстие (она, правда, была выведена за сто лет до уравнения Бернулли). Постановка задачи ясна из рис. 8.13. Пусть высота уровня воды в сосуде равна 1, а высота, на которой расположено отверстие, — 2, так что 1 2 . Отверстие должно быть достаточно малым,

кании мы можем избежать вихревых течений, что позволяет рассматривать наше течение как одну-единственную трубку тока (обозначена пунктиром на рис. 8.13). Это очень важный аспект данной задачи; напомним, что уравнения (8.23)–(8.25) задают инвариант только в пределах трубки тока, который не всегда можно распространить на поток как целое.

Итак, 3 1 3 2 ; на уровне 1 0, а на уровне 2, как

т. е. скорость вытекания несжимаемой жидкости из малого отверстия совпадает со скоростью тела, свободно падающего с высоты . Это и есть формула Торричелли (по имени итальянского физика Э. Торричелли (1608–1647)).

Отметим в заключение, что величина 32 2 иногда называется динамическим давлением, а формула (8.25) трактуется как инвариантность суммы статического и динамического давлений. В стационарном потоке несжимаемой жидкости давление должно быть меньше там, где больше скорость. Так объясняют принцип работы пульверизатора, эффект «присасывания» кораблей при близком прохождении параллельными курсами и т. д.

8.5. Вязкость. Течение Пуазейля

До сих пор мы ничего не говорили о касательных напряжениях в жидкости или газе, ограничиваясь только изотропным давлением в рамках закона Паскаля. Оказывается, однако, что закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случае неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект — вязкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.

Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси , соприка-

Так как в нашем случае ц м , то из (8.31) получаем

вн 0

Внешние силы — это силы давления давл, действующие на основания выбранного цилиндрического объема, и силы тре-

ния тр, действующие на боковую поверхность цилиндра со стороны окружающей жидкости — см. (8.27):

Как мы показали, сумма этих сил равна нулю, то есть

2$@ $ 2 1 2 0

#

Это соотношение после простых преобразований можно записать в виде

1 2

24

Интегрируя обе части написанного выше равенства, получим

Постоянная интегрирования определится из условия, что прискорость должна обращаться в нуль. Это дает

Как мы видим, скорость жидкости максимальна на оси трубы и при удалении от оси меняется по параболическому закону (см. рис. 8.15).

Подставив (8.32) в (8.30), находим искомый расход жидкости

Это выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля (по имени французского физика Ж. Пуазейля (1799–

1869)). Отличительной чертой соотношения (8.33) является сильная зависимость расхода жидкости от радиуса трубы: расход пропорционален четвертой степени радиуса. (Сам Пуазейль эту формулу не выводил, а исследовал проблему только экспериментально, изучая движение жидкости в капиллярах). На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей.