студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

ствие поля отличный от нуля дипольный момент, причем заметно превосходящий поправки, связанные с упругими свойствами молекул. Разумеется, в нулевом поле эти «жесткие» диполи ориентированы хаотически вследствие теплового движения молекул. При наложении внешнего поля диполи стремятся «выстроиться», а тепловое движение этому препятствует. Можно ожидать, что чем выше температура, тем ниже будет поляризуемость среды. И действительно, для таких полярных диэлектриков в умеренных полях поляризуемость с хорошей точностью удовлетворяет следующей зависимости от температуры:

где 8мол — собственный дипольный момент молекулы. Эта зависимость может быть с достаточной строгостью получена теоретически для жидких и газообразных диэлектриков методами молекулярной физики. Особого внимания заслуживает сделанная выше оговорка относительно умеренных полей. Этот критерий не универсален; поле можно считать умеренным, если потенциальная энергия диполя, помещенного в такое поле, мала в сравнении с тепловой энергией молекулы. Привлекая для сравнения формулу (1.26), получаем условие «умеренности» электрического поля для данного полярного диэлектрика:

Если же - Б 8мол, результат окажется даже более очевиден, нежели формула (2.17). В этом предельном случае молекулы просто выстроятся по полю, и полный дипольный момент единицы объема можно будет оценить следующим образом:

В подобных случаях принято говорить об эффекте насыщения. Конечно, и в сильных полях — пока и поскольку не вступает в игру диссоциация молекул — остается эффект квазиупругих диполей, но у полярных диэлектриков он относительно слаб. Для сравнения: < у различных масел (неполярных диэлектриков) варьируется в пределах от 2 до 5, тогда как у воды — полярного диэлектрика — < 81.

2.5. Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики

Простые модели, описанные в предыдущем параграфе, по преимуществу применяются для описания диэлектрических свойств изотропных бесструктурных веществ, т. е. жидкостей, газов, аморфных твердых тел (стекол). Гораздо сложнее обстоит дело с монокристаллами, хотя идея квазиупругого отклика на

внешнее электрическое поле и здесь может быть работоспособна. Но, как и сам монокристалл, этот отклик является в принципе анизотропным, так что вместо константы вещества <, приходится иметь дело с тензором диэлектрической проницаемости < :

3

E <0 < - , , , 1, 2, 3 (2.20)

1

Вслучае поликристалла анизотропия естественным образом усредняется, и свойства вещества можно снова представить единственной константой. Мы, однако, в текущем параграфе будем говорить о других свойствах кристаллов, связанных не с откликом на внешнее электрическое поле, но с собственным дипольным моментом.

Остановимся вначале на пьезоэлектрическом эффекте, от-

крытом в 1880 г. французскими физиками Пьером (1859–1906) и Жаком Кюри. Классическим примером пьезоэлектрического кристалла является кварц SiO2 в некоторых кристаллических модификациях.

Суть эффекта заключается в том, что при деформации кристалла последний приобретает электрический дипольный момент, который может быть зарегистрирован посредством электродов, прижатых к поверхности кристалла. Представляется достаточно очевидным, что пьезоэлектрический эффект должен быть свойством практически любого вещества с достаточно нетривиальной кристаллической структурой. Под действием механического напряжения происходит смещение ионов в кристалле и деформация электронных орбит, так что, вообще говоря, естественно ожидать ненулевого дипольного момента:

D 0

Главным должен быть вопрос не о существовании эффекта как такового, но о его величине, о возможности его зарегистрировать при неразрушающих напряжениях. Именно по этому принципу и

определяются вещества, называемые пьезоэлектриками. Различают продольный эффект (самый простой), попереч-

ный (вызванный пуассоновским поперечным откликом на продольную деформацию), а также изгибный. Возможен и обрат-

ный пьезоэлектрический эффект — изменение формы кристалла под действием внешнего электрического поля. Как прямой, так и обратный эффекты активно используются в технике, например,

в звукозаписывающих и звуковоспроизводящих устройствах.

Сегнетоэлектрические вещества, в отличие от пьезоэлектриков, кардинально отличаются от простейших моделей — квазиупругой и ориентационной. Свое название они получили от

2.5 ] Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики 223

сегнетовой соли NaKCl4H4O6 4H2O, которая в интервале температур от 15 до 22,5 Æ как раз и проявляет физические свойства, характерные для этого класса веществ. Эти основные свойства были с исчерпывающей полнотой исследованы советскими физиками И.В. Курчатовым (1903–1960) и П.П. Кобеко (1897–1954). Они в общем весьма напоминают постоянные магниты, известные каждому из нас с детства (поэтому другое их название — ферроэлектрики). Но поле, обусловленное сегнетоэлектриком, — не магнитное, а электрическое поле 1). Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков < очень велика, она достигает значений в несколько тысяч (сегнетова соль — до 10 000, метатитанат бария — до 7 000 и т. д.). Она не является

константой вещества, но зависит от его предыстории, что выражается в так называемом эффекте гистерезиса (рис. 2.3).

При увеличении поля - от нуля индукция

щения (путь 2–3). Это и есть кривая гистерезиса. При нулевом внешнем поле индукция, вообще говоря, ненулевая. Поэтому, подобно постоянному магниту, образец из сегнетоэлектрика может проявлять свойства диполя и в отсутствие внешнего поля. Строго говоря, это свойство присуще более широкому классу веществ, именуемых пироэлектриками; сегнетоэлектрики выделены среди них тем, что их дипольным моментом можно управлять посредством внешнего электрического поля.

Рассмотрим образец простейшей формы — палочку из сегнетоэлектрика. В принципе, даже лучше подходят на роль постоянных диполей электреты — некоторые органические смолы, которые, застывая в сильном электрическом поле, сохраняют «замороженной» поляризацию молекул. Такому состоянию соответствуют отличные от нуля как поле, так и индукция. Состояние вещества при этом не следует смешивать с откликом на внешнее поле; точки A и B на рис. 2.3 не отвечают случаю

1) Существенно также и то обстоятельство, что ферроэлектрические свойства веществ обусловлены нетривиальной кристаллической структурой, тогда как ферромагнетизм — сугубо квантовый эффект выстраивания электронов. Но это различие на феноменологическом уровне, т. е. на языке усредненных полей, никак не проявляется.

224 Электрическое поле в веществе [ Гл. 2

постоянного диполя. Обратимся к рис. 2.4. В пустоте силовые линии - и E идентичны, поскольку сами эти величины от-

воположным образом. Если мы имеем дело с сегнетоэлектриком, постоянный электродиполь должен попадать на рис. 2.3 в четные квадранты на кривой гистерезиса.

Из этого примера можно видеть, сколь поверхностным является популярное утверждение, что индукция — поле свободных зарядов. В нашем случае таковые вообще отсутствуют, но индукция нулю не равна. Связь ее с электрическим полем, как можно усмотреть из того же примера, вовсе не обязательно сводится

кконстанте. Здесь, например, даже 0.

Среальными палочками из сегнетоэлектрика либо электрета возникает проблема экранировки. В возухе или, скажем, в воде всегда есть свободные ионы, которые, оседая на полюсах образца, нейтрализуют торцевые заряды диполя, и перед каким-либо использованием последнего его приходится специальным образом очищать.

Мы лишены возможности в рамках курса электродинамики останавливаться более подробно на физике пьезолибо сегнетоэлектриков, но как мы видим, они ст´оят упоминания даже в самом общем контексте, поскольку демонстрируют нетривиальность проблемы электрического поля в веществе.

2.6.Энергия электрического поля в вакууме

ив веществе

Понятие энергии поля в начальных курсах физики по традиции дается на излишне примитивном уровне, и в результате закон сохранения энергии превращается в символ веры, что естественным наукам противопоказано. В действительности каждая новая область физики, каждый новый круг явлений в ходе исследования ставит этот вопрос заново. Мы ввели в курсе механики потенциальную и кинетическую энергию и установили, что в идеальной замкнутой механической системе сумма их есть инвариант или, как принято говорить, интеграл движения. Тогда же мы оговорили возможность перехода энергии в другие ви-

ды — это соответствует наиболее общему случаю диссипативных систем. И, строго говоря, пока мы не расширяем самого понятия энергии, у нас не может быть оснований постулировать какой-то универсальный закон сохранения. Но такое расширение возможно производить лишь шаг за шагом, по мере накопления новой экспериментальной информации. А значит, и закон сохранения энергии, если рассматривать его именно как физический закон, а не философский принцип, должен с развитием физики постоянно проверяться и дополняться. До настоящего времени этот процесс проходил вполне успешно.

Таким образом, корректная постановка вопроса об энергии электрического поля должна быть такова: можно ли ввести такую физическую величину, которая в сумме с механической энергией была бы инвариантна, а в отсутствие электромагнитных проявлений исчезала бы, оставляя справедливым известный нам закон сохранения механической энергии?

Реализацию этого принципа начнем с общеизвестного примера. Поставим мысленный эксперимент с плоским конденсатором, «раздвигая» его пластины от почти нулевого зазора до некоторой величины Æ. Пусть заряд каждой пластины C, тогда поверхностная плотность заряда ; C 9, а поле каждой из пластин равно - ; 2<0 C 29<0 . Движение пластин будем считать адиабатически медленным, чтобы можно было пренебречь их кинетической энергией. Тогда работа, совершенная в ходе такого мысленного эксперимента, может трактоваться как энергия заряженного конденсатора:

Ту же самую величину можно представить как %,2 2 или C, 2. Все эти формы эквивалентны. Обратим внимание на то, что в наших вычислениях мы умножали заряд пластины не на полное поле в зазоре, но лишь на поле другой пластины, ибо собственное поле каждой из них действует на ее разрыв, но никак не на смещение. Результат (2.21) можно получить и по-другому. Представим себе конденсатор, изначально не заряженный, и начнем мысленно заряжать его, перенося заряд с одной пластины на другую малыми порциями :

Следующий шаг будет связан с попыткой переосмысления формулы (2.21). Вводя объем конденсатора 2 9 Æ, ее можно пере-

В этой форме энергия заряженного конденсатора представляется как энергия электрического поля, заполняющего объем конденсатора. Можно попытаться ввести плотность энергии электрического поля

Как мы вскоре убедимся, именно эта форма представления электрической энергии оказывается наиболее глубокой и содержательной.

Вернемся к первичному представлению о точечных зарядах. Возьмем в качестве примера систему из двух точечных зарядов, пометив их индексами 1 и 2. По смыслу введенного нами понятия потенциала мы можем рассматривать энергию взаимодействия как энергию заряда 1 в поле заряда 2 или, напротив, энергию заряда 2 в поле заряда 1:

) /1 21 /2 12

Запишем энергию взаимодействия в симметричной форме:

Исходя из этого простого примера и принимая во внимание определение (1.16), мы можем обобщить (2.24) на произвольную систему точечных зарядов:

Можно предложить и другое обобщение. Пусть электрический заряд распределен в пространстве с некоторой плотностью 3 . Тогда, вместо (2.24) и (2.25), можем написать

Обратимся к уравнению Пуассона, записав его в виде

Проинтегрируем по всему пространству любое из слагаемых левой части методом интегрирования по частям — и с учетом того, что на бесконечности потенциал и поле любой системы зарядов обращаются в нуль

черпывается. Более того, в общем случае и расширение понятия энергии, о котором говорилось в начале текущего параграфа, — задача не простая. В лучшем случае энергию можно представить в следующей форме:

)) ) ) ,

т.е. в виде суммы энергии вещества, энергии поля и энергии взаимодействия поля с веществом. Но даже и такое представление не всегда корректно, поэтому надо понимать, что наши простые и легко обозримые ответы все же представляют собой некоторые простые предельные случаи; в частности, подразумевается, что поле не слишком велико. Это вовсе не означает, что данный вопрос вообще не поддается исследованию. Просто в общем случае мы имели бы дело с серьезной физической задачей, включающей физику строения вещества на должном уровне.

Попытаемся дать хотя бы минимальное обобщение формулы (2.28). Умножим правую и левую части формулы (2.3), понимаемой как уравнение для поля в веществе, на :

3 div

Далее, воспользуемся следующей цепочкой тождественных преобразований:

1 2 3 E 1 E 2 E 3

Здесь первый интеграл можно преобразовать по теореме Гаусса в поток вектора через некоторую удаленную поверхность. Площадь этой поверхности 2, тогда как подынтегральное выражение даже в случае нескомпенсированного заряда 3, так что при интегрировании по всему пространству мы можем пренебречь этим интегралом, а из второго интеграла немедленно следует искомое обобщение выражения для плотности энергии электрического поля

Задачи

1. Как изменится энергия заряженного конденсатора с вакуумным зазором,

если заполнить последний диэлектрической жидкостью с постоянной 0? Решение. Ответ зависит от режима процесса заполнения. Емкость конден-

сатора увеличится в 0 раз. Если конденсатор был предварительно заряжен, а при заполнении от источника отключен, то мы должны считать инвариантом заряды на обкладках 9 Тогда энергия 92 2; уменьшится в 0 раз. Напротив, если при заполнении конденсатор остается подключенным к источнику напряжения, то инвариантной останется разность потенциалов между обклад-

ками, соответственно, энергия ;2 2 увеличится в 0 раз. Тот же результат можно получить, сравнивая плотность энергии в пустом конденсаторе и заполненном с помощью формулы (2.29), но в первом случае = inv, * 0 1, а во втором — * inv, = 0.

Полный энергетический баланс подводится следующим образом. В первом случае поле конденсатора втягивает диэлектрик, совершая над ним работу; если потенциальная энергия диэлектрика в поле тяжести не изменяется, работа переходит в кинетическую энергию и в конечном счете в тепло. Во втором случае та же работа совершается источником напряжения (течет ток, изменяя заряды обкладок), одновременно источник увеличивает и энергию поля.

2. По сфере радиуса распределен равномерно заряд 9. Определить

давление на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов. Решение. Пожалуй, наиболее поучительно решение этой задачи, сле-

дующее из энергетических соображений. Энергия заряженной сферы >92 92 800 . Мысленно дадим радиусу сферы малое приращение:Æ. Приращение энергии свяжем с работой искомого давления:

Отсюда получаем 92 2 4 200 4 .

Интересно отметить, что, просто умножив поверхностную плотность заряда на сфере на величину поля вне сферы, мы бы получили ответ в два раза больший. Причина достаточно очевидна: внутри сферы поле равно нулю, а

в тонком заряженном слое менятся от нуля до 92 400 2 . Поэтому сила, действующая на элемент площади сферы, в действительности определяется некоторым интегралом от величины *% " , взятым в радиальном направлении. Тем не менее, ответ для тонкого слоя оказывается универсальным.

3. Пластина пьезоэлектрика толщины 2 вследствие неоднородной деформации поляризована так, что поляризация ее в центре равна 60, направлена

вдоль оси : и изменяется по закону 6 60 1 2 2 , где отсчитывается от плоскости симметрии пластины. Определить напряженность электрического поля внутри и вне пластины, а также разность потенциалов между ее поверхностями.

4. Определить электрическую энергию ядра урана 23592U при равномерном

распределении заряда ? 92 по объему сферы радиуса 1,3 10 15 1 3 м,

где 235 — массовое число.

Ответ: > 3?2<2 2000 1,5 10 10 Дж.

Г л а в а 3

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

3.1. Ток как движение зарядов

Понятие постоянного тока столь же существенно в начальном курсе физики, как и понятие статического электричества. Исторически оба эти раздела электродинамики строились параллельно и в какой-то мере независимо; в единую науку их удалось объединить лишь в XIX веке.

По своим экспериментальным проявлениям электрический ток существенно отличается от статического электричества — как известно, для токонесущих систем (сред) характерны тепловой эффект, электрохимический эффект, магнитное поле тока. Как мы увидим далее, даже электрическая цепь с постоянным током не является полностью стационарной системой. Просто

в системе, принципиально открытой, возможно не только статическое, но и так называемое динамическое равновесие, которое,

грубо говоря, можно охарактеризовать формулой «приход равен расходу», а на языке математики это означает, что постоянство некоторой физической величины (например тока), или, что то же, ее нулевая временн´ая производная, обеспечивается балансом положительной и отрицательной производных, обусловленных разными физическими процессами. Применительно к случаю постоянного тока можно привести такой пример: электроны в проводнике движутся с постоянной скоростью, если их ускорение в электрическом поле компенсируется трением (сопротивлением).

Вводя понятие электрического тока, мы будем исходить из

известного факта, базирующегося на огромном массиве экспериментальной информации: электрический ток есть направленное движение электрических зарядов. (При хаотическом

их движении, типа броуновского, ток в среднем может отсутствовать.)

В общем случае электромагнитные свойства токонесущей системы, конечно, включают в себя всю электростатику и полностью в нее переходят в пределе, когда заряды можно считать неподвижными. Упомянутое выше существенное различие эффектов обусловлено еще и тем, что типичные токовые системы, наиболее интересные в практическом отношении, обладают свойством квазинейтральности.