студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Вотличие от второго закона Ньютона, в правую часть уравнения вращательного движения входит не сила, а момент силы относительно оси. При этом он играет роль, аналогичную той, которую играет сила для поступательного движения.

Вреальных задачах непосредственно сам момент силы обычно не задан, а заданы модули и направления внешних сил и точки приложения этих сил к телу, как, например, было в нашей задаче о вращении тонкого диска (см. рис. 7.8). Поэтому для

определения оси в конкретных задачах необходимо воспользоваться тем, что оси является, по определению, проекцией момента силы M относительно некоторого центра на ось вращения. Если ось вращения направлена вдоль ко-

7.4 ] Следствия уравнения моментов 133

Векторное произведение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат образующие его векторы. Поэтому векторы и перпендикулярны оси , и следовательно, их проекции на эту ось равны нулю. Момент имеет модуль, равный . Если составляющая на рис. 7.10 направлена «от нас», то ее момент по правилу винта направлен так, как изображено на рисунке, т. е. образует с осью угол #, косинус которого равен . Следовательно, в этом случае проекция на ось вектора положительна и имеет величину# . Если вектор направлен на рисунке «на нас», то следует направить на рисунке в противоположную сторону, и тогда проекция этого вектора на ось будет иметь величину $ # . Другие компоненты ( и ) проекций на ось , как уже отмечалось, не имеют. Следовательно, , . Таким образом, получаем для момента силы относительно оси вращения:

к вращению вокруг направления оси против часовой стрелки, а знак «минус» соответствует вращению тела в противоположном направлении.

7.4. Следствия уравнения моментов

Рассмотрим несколько характерных задач, представляющих движение либо равновесие тела с закрепленной осью.

Первый пример — вращение однородного цилиндра вокруг неподвижной оси, совпадающей с его геометрической осью сим-

будем полагать, что они достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь. Тогда единственный момент силы, не равный нулю, есть

оси 0

Момент инерции цилиндра относительно оси симметрии легко найти, если мысленно представить цилиндр как совокупность тонких дисков с массами , «нанизанных» на ось (рис. 7.11 б), откуда сразу следует, что искомая величина дается все той же формулой (7.19):

: 12 2

Разумеется, теперь в ответ входит полная масса цилиндра . Таким образом, уравнение моментов (7.16) приобретает вид

Чтобы решение было однозначно определено, необходимо, как мы уже знаем, задать начальные условия: начальные значения угла поворота и угловой скорости . Выберем, например, начальные условия в виде: 0 0, 0 0.

Уравнение (7.22) с математической точки зрения полностью аналогично уравнению, определяющему движение тела, падающего под действием силы тяжести, и его решение также находится без труда на основе элементарных правил вычисления производных от простейших функций. Удовлетворяющее начальным условиям решение уравнения (7.22) имеет вид

0 2

Мы уже отмечали, что одной из особенностей вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, отличающей его от поступательного движения, является зависимость вращения не непосредственно от величины приложенной к телу силы, а от момента этой силы относительно оси вращения. Так, в рассмотренном выше примере движение диска определяется не величи-

136 Уравнение моментов. Динамика твердого тела [ Гл. 7

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела : относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

Сравнивая соотношения (7.17) и (7.24), соответственно, со вторым законом Ньютона и выражением для кинетической энергии материальной точки, можно убедиться в существовании между ними глубокой аналогии. Поэтому в случае, когда дви-

жение тела есть изменение во времени не линейных, но угловых (ориентационных) координат, говорят, что L есть обобщенный импульс, M — обобщенная сила, а : — обобщенная масса, соответствующие обобщенной координате . (Эта терминоло-

гия построена отнюдь не ради данного частного случая — на таком языке формулируется механика в самом общем виде, который называется аналитической механикой.)

7.5. Трехмерное движение твердого тела. Гироскопы

Замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, побуждает нас представить уравнения (7.17) и (7.24) в векторной

форме, для чего целесообразно включить в рассмотрение понятие вектора угловой скорости и следующие из этого понятия

формулы (2.13):

к произвольному неодномерному движению, делать это надлежит с большой осторожностью, поскольку выводились они для частного случая тела с закрепленной осью, когда вектор удерживается неизменным по направлению, а достигается это в общем случае несимметричного вращающегося тела посредством

момента реакции в опорах оси, дополнительного к правой части (7.17), учитывающей только вращающие моменты.

В общем случае трехмерного движения твердого тела произвольной формы (точнее — произвольной геометрии массы) ревизии подвергается прежде всего формула (7.26). Векторы и L оказываются, вообще говоря, не параллельны. Соответственно, уравнение моментов (7.15) лишь в случае осевой симметрии сводится к (7.27).

Оказывается, однако, что в каждом твердом теле имеются три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс, оси, такие, что при вращении твердого тела вокруг них зависимость возникающего момента импульса от угловой скорости

вращения имеет простой вид: : , где : — момент инерции тела относительно оси вращения. Эти оси называются главными осями инерции твердого тела. Мы не будем останавливаться

на доказательстве этого утверждения, а рассмотрим основные следствия из него.

Представим себе, что мы сообщили телу вращение с угловой скоростью вокруг одной из его главных осей. Возникающий

утела момент импульса L равен, согласно вышесказанному,

: . Если при этом на тело не действуют внешние силы или суммарный момент внешних сил равен нулю, то, согласно (7.27),

: , и, следовательно, . Другими словами,

в случае, когда момент действующих на тело внешних сил равен нулю, угловая скорость вращения тела вокруг любой из его главных осей инерции сохраняется по величине и направлению.

Определение фактического положения главных осей в твердом теле облегчается правилом, которое гласит: все оси симметрии твердого тела являются его главными осями инерции. (В частном случае тела вращения происходит, как принято говорить, вырождение: любая ось, перпендикулярная оси симметрии, является главной осью, так что в этом случае их будет не три, а бесконечно много.) Поэтому поведение твердых тел, вращающихся вокруг своих осей симметрии, обладает рядом специфических особенностей, широко используемых в технике. Массивные симметричные тела, быстро вращающиеся вокруг оси

симметрии, которая, в свою очередь, свободно ориентируется в пространстве, получили название гироскопов. Способность оси

гироскопа сохранять при определенных условиях свое направление в пространстве лежит в основе их использования в качестве навигационных приборов. Само же это свойство обусловлено сохранением момента импульса вкупе с тем обстоятельством, что угловая координата, характеризующая вращение, меняется быстрее, нежели любая другая:

138 Уравнение моментов. Динамика твердого тела [ Гл. 7

где — угловая скорость поворота оси волчка в пространстве. Именно в этом смысле вращение гироскопа должно быть быстрым.

Рассмотрим гироскоп, имеющий вид массивного колеса, подвешенного несимметричным образом, как показано на рис. 7.14.

как момент силы тяжести относительно точки % равен нулю. Момент силы натяжения равен и направлен так, как показано на рис. 7.14. Из уравнения моментов (7.5) следует, что приращение вектора L будет происходить в направлении момента, то есть ось вращения должна поворачиваться в горизонтальной плоскости — на рис. 7.14 это показано двойной стрелкой.

Ответ лишь на первый взгляд кажется парадоксальным. В наших рассуждениях мы молчаливо считали выполненным условие (7.28), в котором под следует понимать именно скорость поворота вектора L. Таким образом, для демонстрации нетривиального поведения гироскопа он должен быть как следует раскручен. В этом случае он не может опрокинуться, хотя и подвешен несимметричным образом. В самом деле, при опрокидывании вектор L должен был бы повернуться в вертикальной плоскости. Но момент внешней силы для такого поворота должен быть направлен по вертикали, а значит, сама сила должна быть горизонтальна и направлена по нормали к оси. Но при подвешивании гироскопа на нити такая сила отсутствует. Вот если бы посредством жесткой муфты гироскоп был лишен степени свободы, позволяющей его оси поворачиваться в горизонтальной плоскости, то реакция опоры была бы ориентирована именно так, и колесо бы опрокинулось.

Мы не случайно упомянули именно велосипедное колесо. Б´ольшая устойчивость быстро движущегося велосипеда в сравнении с неподвижно стоящим, не в последнюю очередь обусловлена именно гироскопическим эффектом вращающихся колес.

Рассмотрим задачу о так называемой регулярной прецессии волчка (рис. 7.15). Как известно, быстро вращающийся волчок, будучи слегка выведен из вертикального положения, не падает, но приобретает дополнительное вращение в наклонном положении, угловая скорость которого удовлетворяет неравенству (7.28). Когда же указанное неравенство, по мере замедления

вданный момент времени какая-то точка тела имеет нулевую скорость, то именно через нее проходит мгновенная ось вращения; если же мы наблюдаем две таких точки, то 0 для всего нашего тела.

Из рис. 7.16 можно понять также и то, что плоское перемещение можно представить не только в виде поворота, но и

ввиде комбинации любого поступательного перемещения и поворота. Просто, перенеся тело, которому принадлежит отрезок ,

влюбую заданную точку, мы проведем затем построение, эквивалентное тому, которое показано на рис. 7.16. Если мы вновь обратимся к малым перемещениям, то сдвинув любую точку

тела на некоторый вектор , , мы затем осуществим поворот на угол . Соответственно, деля на , получаем представление движения скоростью и угловой скоростью . Физический смысл — скорость системы отсчета, в которой рассматривается вращение.

Обратимся еще раз к рис. 7.16. Какова бы ни была упомянутая комбинация поступательного и вращательного перемещений, угол между отрезками и остается инвариантом. Иными словами, как бы мы ни сместили мгновенную ось, тело придется повернуть на один и тот же угол. Еще раз возвращаясь к малым