студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

2.2 ] Равномерное движение по окружности 31

(2.5) мы получим

0 0 0 ,

где мы учли, что сумма элементарных промежутков времени равна времени , за которое тело прошло путь . Таким образом, для равномерного движения мы получаем

0 ,

то есть модуль скорости равномерного движения равен пути, проходимому телом за единицу времени. Именно таково пони-

мание скорости в обыденной жизни.

Аналогичным образом определяется при неодномерном движении и вектор ускорения материальной точки:

Итак, ускорение — это производная скорости по времени. Так же, как и радиус-вектор и скорость , ускорение

является векторной величиной. Модуль и направление можно всегда вычислить, если известен закон движения тела по траектории, то есть известна зависимость радиуса-вектора от времени.

2.2.Равномерное движение по окружности

Вкачестве примера таких вычислений рассмотрим, как определяется модуль и направление ускорения при равномерном движении материальной точки по окружности радиуса со скоростью, модуль которой равен . С таким типом движения приходится сталкиваться очень часто: от

32 Введение в кинематику [ Гл. 2

Тогда траектория движения будет описываться зависимостью от времени проекций радиуса-вектора , а именно:

,

(2.8)

Отношение пройденной телом дуги окружности к радиусу определяет угол , измеренный в радианах. При равномерном движении тела по окружности длина дуги равна пройденному пути , и поэтому

где — угловая скорость движения тела по окружности. Определим сначала проекции скорости и . Используя правила для вычисления производных от тригонометрических

функций, получаем с помощью (2.8), (2.9):

Как следствие, получаем известную формулу, связывающую линейную и угловую скорости при равномерном движении по

Теперь можно получить и значения проекций ускорения на оси декартовых координат:

Отсюда находим окончательное выражение для модуля вектора :

синхронно с проекциями радиуса-вектора и по законам

и , то есть векторы и связаны соотношением

Знак «минус» означает, что вектор направлен противоположно вектору , т. е. ускорение материальной точки при ее равномерном движении по окружности направлено к центру.

По этой причине ускорение, модуль которого определяется фор-

мулой (2.10), а направление совпадает с нормалью к траектории, называют обычно центростремительным ускорением.

Если же сама скорость неодномерного движения меняется по величине, этому соответствует ненулевая компонента ускорения по направлению касательной. А вот по направлению так

34 Введение в кинематику [ Гл. 2

координат. Первое из этих соотношений позволяет выбирать начало координат в любой точке оси вращения, в данном случае — прямой, нормальной к плоскости нашей окружности и проходящей через ее центр. Эта инвариантность прямо следует из свойства векторного произведения: если , то 0. Второе из равенств (2.13) справедливо всегда, если центр окружности неподвижен. Заметим, что кинематически оно эквивалентно первому. Действительно, оба вектора, и , при указанных выше условиях равномерно вращаются, не изменяя модуля, с одной и той же угловой скоростью . Таким образом, можно сформулировать и более общее утверждение. Если некоторая векторная величина b изменяется во времени так, что это изменение можно представить как вращение с угловой скоростью , то имеет место

Далее, в гл. 7 будет рассмотрено вращательное движение

твердого тела, и тогда первое из соотношений (2.13) можно будет трактовать уже как векторное поле скоростей, т. е. заданную

векторную функцию в пространстве (и может быть, во времени). Скорость v привязывается в этом случае не к материальной точке как элементу твердого тела, а к точке пространства, и с этой скоростью движется элемент тела в тот момент, когда он «посещает» данную точку пространства. (В дальнейшем такое представление переносится на течение жидкости.)

Следует, отметить, что — не совсем обычный вектор. При поворотах системы координат он, подобно истинным векторам, например, и , сохраняет величину и направление. Но если подвергнуть систему координат операции отражения, , , , , то мы должны поменять знак . Это следует формально из того, что формулы (2.13) должны определятьи инвариантным образом. Возможна и простая физическая (или геометрическая) интерпретация этого свойства: мы определили через правило винта, но при перемене знака всех трех

координат правый винт трансформируется в левый и наоборот. Такие величины называются псевдовекторами. Псевдовек-

тором оказывается векторное произведение любых двух истин-

ных векторов. (Соответственно, смешанное произведение a[b c] называется псевдоскаляром.) Таким образом, мы видим, что

объявлять векторной любую величину, имеющую направление и представимую в трех проекциях, было бы неразумно. Повышенные требования к объекту, претендующему на звание вектора, придают истинно векторным законам дополнительную доказательную силу.

Но пока и поскольку мы не оперируем отражением системы координат, может рассматриваться именно как вектор, из чего

36 Введение в кинематику [ Гл. 2

даже при обычных изменениях атмосферного давления и температуры меняет свои размеры и форму, хотя эти изменения можно заметить только с помощью весьма чувствительных приборов. Но если этот стержень является деталью достаточно грубого механизма, то такими деформациями можно пренебречь и его движение можно будет рассчитывать при конструировании механизма по законам движения абсолютно твердого тела, о которых пойдет речь в дальнейшем. Однако если тот же стержень является деталью сложного электронного прибора, то учет его деформаций может оказаться главной задачей конструктора, и тогда приближение абсолютно твердого тела будет неприменимо. Поэтому представление об абсолютно твердом теле как о теле, не подверженном вообще никаким деформациям, является всего лишь определенным приближением к реальной действительности, удобной идеализацией (или, как говорят физики, моделью), применимость или неприменимость которой при рассмотрении движения тела зависит от конкретных условий.

Относительная простота законов движения абсолютно твердого тела обусловлена уже тем, что для строгого математического описания его положения в какой-либо системе координат требуется задавать гораздо меньше пара-

системе координат (рис. 2.5 а). При фиксированном положении одной точки положение всего тела еще может быть различным, и это положение можно окончательно зафиксировать, если задать три угла поворота , и (рис. 2.5 б). Угол — это угол

2.3 ] Приближение абсолютно твердого тела 37

наклона линии к оси исходной системы координат. Угол— это угол поворота линии вокруг оси при фиксиро-

ванном угле наклона . И, наконец, угол — это угол поворота всего тела вокруг линии . Итак, число степеней свободы абсолютно твердого тела равно шести: три координаты точ-

ки — , , , и три угла поворота — , , .

Таким образом, для описания произвольного движения абсолютно твердого тела необходимо знать, как меняются со временем всего шесть параметров, т. е. необходимо знание шести функций от времени: , , , , , . Хотя мы пока еще не знаем законов движения твердого тела, т. е. соотношений или уравнений, позволяющих определить эти функции и, тем самым, предсказать траекторию движения тела, можно заранее предположить, что эти законы будут в общем случае очень сложными — даже из школьной математики мы знаем, что чем больше число неизвестных, тем сложнее решение задачи. Поэто-

окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис. 2.7). При этом происходит

изменение ориентации тела. Отметим, что при конечных переме-

Главным для нас является сейчас тот факт, что если абсолютно твердое тело совершает только поступательное движение, то все его положения в пространстве однозначно определяются положением всего одной какой-либо его точки, например, точ-

38 Введение в кинематику [ Гл. 2

ки на рис. 2.8. Следовательно, при математическом описании поступательного движения твердого тела его размеры не играют роли, и все это тело можно заменить

можно заменить материальной точкой. Замена «реального» тела на материальную точку может быть оправдана и во всех тех случаях, когда в рамках поставленной задачи влиянием размеров тела можно пренебречь. Например, при вычислении траектории движения Земли вокруг Солнца можно пренебречь ее вращением вокруг своей оси, а также ее размерами, т. к. они малы по сравнению с расстоянием до Солнца. В результате положение Земли в пространстве будет определяться одной точкой и описание ее движения значительно упростится.

Имеется еще одна очень важная причина, почему приближение материальной точки играет в механике исключительную роль. Дело в том, что тело любого размера и любой формы можно представить как совокупность очень малых его частей, взаимодействующих друг с другом. Каждую из таких частей-частичек можно рассматривать как материальную точку и, следовательно, задачу о движении любого тела можно свести к задаче о движении совокупности материальных точек. И мы увидим в дальнейшем, что именно такой прием используется, например, при нахождении законов вращательного движения твердого тела и законов движения жидкости. Из всего вышесказанного следует, что приближение материальной точки (или, как говорят иногда, модель материальной точки) лежит в основе классической механики.

2.4. Преобразования Галилея и закон сложения скоростей

Остановимся теперь на вопросе о том, как изменяется скорость и ускорение материальной точки для наблюдателя, который переходит из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой. Так, например, если космическую ракету

называемых преобразованиями Галилея (по имени итальянского физика и астронома Галилео Галилея (1564–1642)).

Помня, что скорость — это производная радиуса-вектора по времени, найдем связь между скоростями точки в обеих

40 Введение в кинематику [ Гл. 2

системах, продифференцировав соотношения (2.15) по времени:

то есть соотношения между проекциями скоростей имеют вид

Последние формулы эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости по отношению к системе и вектором скорости по отношению к системе :

Продифференцируем по времени равенство (2.16). Учитывая, что 0 постоянна, получим

Другими словами, ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково.

Вопросы и задачи

1.Сколько степеней свободы у материальной точки? Сколько степеней свободы у велосипеда?

2.Придумайте задачу, когда при рассмотрении движения велосипеда его можно считать материальной точкой.

3.Вычислите ускорение Земли при ее движении вокруг Солнца, считая ее орбиту круговой, и сравните это ускорение с ускорением свободного падения на поверхности Земли.

Ответ: 6 10 4

4.Начертите приближенно траекторию движения относительно Солнца какого-либо тела, покоящегося на экваторе Земли.

5.На рис. 2.10 дан график зависимости скорости некоторого тела от времени. Постройте графики ускорения этого тела и пройденного им пути.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

6. Шар радиуса катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания с ускорением . Определите ускорение точки (рис. 2.11) в момент времени, когда скорость тела равна .

Ответ: 2 2 2 .