студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

6.3 ] Потенциальная энергия взаимодействия. 101

отсчета можно представить в виде

где P — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кёнига по имени немецкого физика А. Кёнига (1856–1901). Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, , а значит, имеет место соотношение (6.11).

В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:

Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс.

И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию, если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распределением плотности вещества 3 :

3 3

6.3.Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения энергии для замкнутой системы

материальных точек

В предыдущей главе мы познакомились с понятиями кинетической и потенциальной энергии для специального и относительно простого типа движения — движения одной материальной точки под действием заданной силы (движение в постоянном силовом поле). Теперь мы познакомимся с тем, как формулируется

закон сохранения энергии для более сложного типа движения — движения многих взаимодействующих тел, образующих замкнутую систему.

Начнем с рассмотрения простейшей системы тел — системы, состоящей всего из двух материальных точек, а силу взаимодействия между ними будем полагать потенциальной и зависящей лишь от 1 2 Эта оговорка весьма существенна. Например, сила взаимодействия между заряженными частицами, вообще говоря, непотенциальна и зависит от их скоростей, сила взаимодействия между двумя диполями, даже будучи потенциальной, зависит от ориентации частиц в пространстве и т. д. Запишем уравнения движения рассматриваемых материальных точек в некоторой инерциальной системе координат:

где по-прежнему 1 и 2 — радиусы-векторы рассматриваемых материальных точек; 1, 2 — их скорости; 1 и 2 — их массы, а 12, 21 — силы, с которыми они действуют друг на друга. Мы предполагаем теперь, что наряду с силами 12 и 21 на тела действуют еще внешние, как говорят, сторонниe, силы 1 и 2 (то есть рассматриваемая система тел не является замкнутой).

Умножим обе части первого из уравнений (6.14) на бесконечно малое перемещение первого тела и обе части второго уравнения на , а затем сложим левые и правые части полученных таким образом соотношений. С учетом того, что 12 21, получаем

где 2 1, и, поскольку 1 1, 2 2, отсюда следует

22

Определим понятие потенциальной энергии взаимодействия:

потенциальной энергией взаимодействия 412 между материальными точками 1 и 2, находящимися на расстоянии друг от друга, называется работа, совершаемая силой взаимодействия при удалении одной из них от другой с расстояния в бесконечность, т. е.

Определение конкретного выражения для 412 сводится, как мы видим, к вычислению вз для конкретной силы взаимодействия 21, и в следующем параграфе мы покажем в качестве примера, как находится потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. Бесконечность в (6.16) принято вводить для определенности; разумеется, при вычислении сил либо работы на конечном участке пути потенциальная энергия, как и в постоянном силовом поле (см. гл. 5), определена с точностью до константы. Если силы взаимодействия между материальными точками являются потенциальными, то работа не зависит от пути. Это, в частности, справедливо для важного частного случая центральных сил:

Здесь — единичный вектор, так называемый орт направления. Закон взаимодействия (6.17) никогда не бывает справедлив в точности, но очень во многих случаях используется как достаточно хорошее приближение к реальности.

Подчеркнем одно отличие потенциальной энергии взаимодействия между двумя материальными точками 412 от потенциальной энергии одной материальной точки в постоянном силовом поле , , о которой шла речь в гл. 5. Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек зависит только от расстояния между ними — если, конечно, не вступают в игру ориентационные координаты, скажем, направление дипольных моментов частиц (о чем мы будем говорить в следующем разделе курса). Чтобы подчеркнуть это различие, потенциальную энер-

гию взаимодействия двух материальных точек называют обычно просто энергией взаимодействия, и мы так и будем ее называть

в дальнейшем.

Из соотношения (6.15) следует связь между работой и приращением кинетической энергии при бесконечно малых перемещениях:

Здесь обозначает суммарную кинетическую энергию рассмат-

104 Замкнутая система тел [ Гл. 6

вз при удалении тела с расстояния на бесконечность можно совершить, удалив сначала тело по произвольным тра-

как следствие, соотношение (6.18) принимает вид

12 Æвн

После перегруппировки слагаемых последнее равенство можно представить как

Если внешние силы отсутствуют, то и Æвн 0. В этом случае из (6.21) следует, что для замкнутой системы

где - обозначает полную энергию замкнутой системы из двух

материальных точек. В этом случае из (6.21) следует, что полная энергия замкнутой системы двух тел остается при их движении постоянной:

Следует отметить, что утверждение, выраженное формулой (6.22), имеет характер намного более общий, нежели наш вывод, представляющий по сути частный пример. Значение константы (инварианта, интеграла движения) в (6.22) может быть различным, и оно определяется значениями кинетической энергии и энергии взаимодействия в некоторый (например, начальный) момент времени.

Сформулируем теперь закон сохранения энергии для общего случая, когда замкнутая система состоит не из двух, а из произвольного числа ! взаимодействующих материальных точек.

Фомулировка является обобщением формулы (6.22), а именно:

при движении ! материальных точек в замкнутой системе сохраняется ее полная энергия, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек и всех попарных потенциальных энергий взаимодействия между ними:

106 Замкнутая система тел [ Гл. 6

записать в виде

Так как — скорости относительно центра масс, то внутренняя энергия системы не зависит от скорости ее движения

как целого и определяется только ее собственными, внутренними свойствами — внутренними степенями свободы. Мы рассмот-

рим данный вопрос на должном уровне в разделе, посвященном термодинамике.

Если система как целое покоится ( 0), то - , — вся энергия системы равна ее внутренней энергии соответственно,

Æвн

6.4. Закон всемирного тяготения

Из астрономических наблюдений известно, по крайней мере, со времен Коперника, что Земля и прочие планеты Солнечной системы обращаются по замкнутым криволинейным орбитам вокруг Солнца. Следовательно, тела эти не свободны, на них постоянно действуют какие-то силы. Идентичность формы орбит дает основание считать, что взаимодействие с Солнцем доминирует. Из третьего закона Ньютона следует, что Земля действует на Солнце с той же силой, с которой Солнце притягивает Землю. Но при рассмотрении законов движения можно работать в системе отсчета, связанной с Солнцем, поскольку при С З приведенная масса (6.3) с хорошей точностью совпадает с массой планеты, а центр масс системы (см. (6.6)) практически совпадает с центром Солнца.

Представим себе, что мы задались целью определить, как зависит от расстояния сила, заставляющая Землю вращаться вокруг Солнца. Для этого можно определить, например, центростремительные ускорения в точке наибольшего удаления Земли от Солнца (в апогее) и в точке наименьшего удаления (в перигее). Во времена Ньютона данные об орбитах планет были уже хорошо известны, т. е. были известны расстояние от Солнца до Земли в апогее а и расстояние в перигее п, а также значение скорости Земли в различных точках ее траектории. Это позволило Ньютону вычислить ускорение Земли в апогее а и в перигееп (в этих точках ускорение Земли, а, следовательно, и сила

направлены вдоль одной прямой (вдоль большой полуоси), как показано на рис. 6.6). В результате оказалось, что отношение сил, действующих на Землю в этих точках, равно отношению квадратов соответствующих расстояний:

Естественно предположить, что сила притяжения Земли

Землей, а между любыми телами, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними, действует

сила взаимного притяжения, подчиняющаяся закону: сила, с

которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь 5 — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной, числовое значение которой зависит от выбранных единиц измерения. В общепринятой сейчас системе СИ 5 имеет значение

5 6,67 10 11 м3 кг с2

Cформулированный выше закон носит название закона всемирного тяготения, а взаимодействие, о котором идет речь в этом законе, называется гравитационным взаимодействием.

В отличие, скажем, от сил электростатического взаимодействия, гравитационная сила (6.25) всегда есть сила притяжения. В векторной форме она может быть представлена следующим образом:

Выражения (6.25), (6.26) записаны для взаимодействия двух материальных точек, т. е. для тел, размерами которых можно пренебречь из-за того, например, что их размеры намного меньше расстояния между ними (такая, в частности, ситуация имеет место в случае Солнца и Земли). Из них следует, что силу притяжения, действующую со стороны Земли на всякое тело

! 6 0; ! 0,

где N — сила реакции опоры, на которой расположены весы.

Отсюда получаем: 6 , т. е. когда весы покоятся, вес тела равен действующей на него силе тяжести.

Теперь рассмотрим случай, когда весы с телом движутся вертикально вверх или вниз с ускорением, равным по модулю :

! 6 ; ! ,

где знак «плюс» справа соответствует движению вверх, а знак «минус» — вниз. Отсюда получаем, что вес тела в этом случае равен: 6 , т. е. при движении весов с телом с ускорением вверх вес тела увеличивается, а при движении вниз — уменьшается. В последнем случае, если (свободное

падение), вес тела становится равным нулю. О такой ситуации говорят, как о состоянии невесомости.

Функциональная зависимость (6.25), (6.26) позволяет с очевидностью отнести гравитационную силу к консервативным. Вычислим потенциальную энергию взаимодействия двух материальных точек с массами 1 и 2, находящихся на расстоянии друг от друга. В соответствии с определением (6.16), получаем из (6.26)

Для удобства вычислений будем удалять тело 2 от тела 1 вдоль соединяющей их прямой линии (рис. 6.8). При этом способе разведения материальных точек вектор бесконечно малого

общить спутнику, чтобы он оставался на замкнутой орбите вблизи

Земли, а также — какие скорости необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно преодолело силу земного притяжения и поки-

нуло окрестность Земли, или преодолело притяжение Солнца и покинуло Солнечную систему. Эти скорости получили название «космических скоростей» (их называют, соответственно, первой, второй и третьей космической скоростью).

Определим сначала первую космическую скорость 21. Вблизи поверхности Земли, на высотах З , действующая на тело массы сила притяжения с хорошей точностью равна силе тяжести . Для простоты рассмотрим движение спутника по круговой орбите. В этом случае уравнение движения (второй закон Ньютона) имеет вид

2

"1

З

Это и есть выражение для первой космической скорости. Именно такую скорость необходимо сообщить телу, чтобы оно стало

спутником Земли.

Вторую космическую скорость можно найти из закона сохранения энергии (6.28). Землю и космический корабль будем рассматривать, как замкнутую систему двух тел, так как влиянием Солнца и других планет можно с хорошей точностью пренебречь. Задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задаче о движении одного тела под действием той же силы, но с приведенной массой 1:

1 З ,

З

где З — масса Земли, — масса корабля. Поскольку масса Земли намного больше, можно положить 1 . Это означает, что влиянием корабля на движение Земли можно пренебречь, т. е. считать Землю неподвижной и рассматривать движение спутника, как движение в постоянном гравитационном силовом поле Земли.

«Освободить» тело от земного притяжения означает дать ему возможность «уйти на бесконечность», где 4гр12 0 Минимальная кинетическая энергия на поверхности Земли, которую ему для этого надо сообщить, отвечает нулевой кинетической энергии в бесконечно удаленной точке: