студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Г л а в а 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

2.1. Проводники в электрическом поле

Мы уже касались вопроса о проводящем теле в постоянном электрическом поле в гл. 1; а именно, было установлено, что внутри проводника электрическое поле должно быть равно нулю, соответственно, на границе равна нулю его тангенциальная компонента — условие (1.22). Тогда, окружив некоторый участок границы цилиндрической поверхностью, подобно тому, как это сделано на рис. 1.2 а, и устремляя высоту цилиндра к нулю, мы придем к выводу, что на поверхности должен быть сосредоточен некоторый электрический заряд. Теорема Гаусса (1.10) дает нам непосредственно поверхностную плотность этого заряда:

; (5 - <0, где - — нормальная к границе проводника компонента поля.

Можно посмотреть на ту же ситуацию и по-другому. Пусть в некоторой области пространства внешними источниками задано ненулевое поле. Внесем туда электрически нейтральное проводящее тело. Теперь поле внутри него обращается в нуль. В силу принципа суперпозиции, это означает, что собственное поле, созданное зарядами на поверхности проводника, везде должно быть равно по величине и противоположно по направлению внешнему полю.

То, что заряды перераспределяются исключительно по поверхности, следует из уравнения (1.14). Действительно, если0, то и 3 0. Поскольку тело остается нейтральным как целое, поле поверхностных зарядов имеет характер дипольного (или даже включает следующие по порядку величины поправки, которых мы в нашем курсе не касались). Подчеркнем еще раз, что, вследствие равенства нулю поля внутри проводника, последний в рамках электростатики остается эквипотенциальным (что, в частности, используется в упомянутом выше методе изображений).

Поскольку читателю уже известно даже из школьного курса, что электрический заряд любого тела есть не что иное, как несбалансированность концентрации электронов и ионов в веществе, представляется естественным следующий вопрос. В реаль-

ном теле, в отличие от его математической идеализации, возмущение заряда не может представлять собой поверхность нулевой толщины; как же в таком случае обеспечить нулевое поле всюду внутри проводника? Дело в том, что в наших аргументах мы молчаливо апеллировали к закону Ома — в его качественной форме: ненулевое поле в проводящей среде порождает ток. Но такой простой подход годится лишь в случае нейтральной среды, а как раз в поверхностном слое, где нейтральность существенно нарушена, движение заряженных частиц подчиняется более сложным зависимостям, нежели закон Ома. И конечно, в действительности электрическое поле меняется в некотором тонком слое у поверхности от нуля до некоторого пограничного значения.

Детальное рассмотрение проблемы выходит за рамки настоящей книги, так что мы в этом случае лишь отметим нетривиальность данного вопроса.

Если проводник не нейтрален, т. е. несет на себе некоторый заряд, то, опираясь по-прежнему на принцип суперпозиции, можно представить себе, что в этом случае на поле внешних источников накладываются поле поляризации проводника и поле его собственного заряда. Поляризационный и собственный заряды распределены по поверхности таким образом, чтобы внутри проводника поле оставалось нулевым. Условие - 0 внутри проводника и соображения о его эквипотенциальности остаются

всиле.

Ипоследнее — по порядку, но не по значению. Во всех рассуждениях относительно поля в проводящей среде, включая уравнение (1.22) и условие нулевого поля и заряда внутри проводника, мы неявно имели в виду некоторое усреднение по пространству и/или по времени. В самом деле, внутри атома электрические поля составляющих его частиц при заряде порядка заряда электрона и пространственном масштабе порядка

10 10 м равны по порядку величины 1011 В/м. В межатомном пространстве поля слабее, ибо атомы в целом нейтральны, но, скажем, в твердом теле порядок величины сохраняется; в металлах или ионных кристаллах сделанная выше оценка вполне корректна.

Поэтому, говоря о среде как непрерывной субстанции или о поле в среде, которое должно фигурировать в уравнениях электростатики, мы тем самым подразумеваем усредненную картину, в которой структура вещества остается за рамками нашего расссмотрения. В отношении поля в диэлектриках это приближение будет использовано с большей определенностью.

2.2 ] Поляризация диэлектриков. Понятие электрической индукции 213

2.2. Поляризация диэлектриков. Понятие электрической индукции

Из опыта хорошо известно, что любое вещество, если его внести в электрическое поле, проявляет ответную реакцию на такое воздействие. Даже в тех случаях, когда в стандартных задачах этим взаимодействием традиционно пренебрегают — например, когда в поле находится воздух в нормальных условиях, — речь идет лишь о чисто количественной малости взаимодействия, но не об его отсутствии. Равным образом можно утверждать, что не существует веществ, абсолютно не проводящих. Выделение диэлектриков в отдельный класс (а тем более — выделение в этом классе подкласса полупроводников) базируется на опыте и подкрепляется определенными количественными аргументами. Например, обыкновенная вода H2O в зависимости от параметров задачи, отнюдь не меняя физико-химических свойств, может вести себя как проводящая среда или использоваться в качестве диэлектрика. Микроскопическое рассмотрение (см. раздел 5) внесет в эту классификацию б´ольшую определенность. Нам же сейчас, имея дело с диэлектриками в электростатике, важно будет лишь следующее условие: рассматривается простейший случай взаимодействия с полем веществ, проводимостью которых мы можем пренебречь и тем самым считать поле в среде ненулевым.

Элементарный школьный рецепт хорошо известен: при данном распределении свободных зарядов разделить силы, поля, потенциалы и т. д. на постоянную величину <, характеризующую данное вещество. Как мы скоро убедимся, рецепт этот не случаен, более того, во многих случаях, важных с точки зрения технических приложений, например в конденсаторах и волноводах, он работает достаточно хорошо. Но с точки зрения физики, такой метод, как правило, некорректен. Попробуем разобраться в простейшей электродинамике диэлектриков, исходя из фундаментальных принципов.

Для последующих обобщений уравнений электрического по-

ля в вакууме полезно будет ввести новую физическую величину. Определим вектор электрической индукции в вакууме, отлича-

ющийся от поля лишь коэффициентом:

так что, например, теорема Гаусса, вместо выражений (1.10), (1.14), может быть представлена в виде:

Пока и поскольку мы рассматриваем поле в вакууме, физический смысл величин и остается тождественным.

Пусть теперь предметом рассмотрения будет электрическое поле в диэлектрической среде. Представим себе реакцию среды. Если даже ее проводимость пренебрежимо мала, это не означает запрета на смещение во внешнем поле заряженных частиц относительно их равновесного положения в нейтральном атоме либо кристалле. Результатом смещения окажется некоторое ослабление внешнего поля, как говорят, экранирование. Сама же реакция среды — поляризация — может быть представлена распределенным в среде электрическим дипольным моментом. При не слишком больших напряженностях поля в веществе естественно ожидать, что дипольный момент и поле будут связаны линейной зависимостью (да и более сложную функциональную связь можно в слабых полях приближенно представить первым членом ряда Тэйлора). Поскольку обе величины являются векторными, естественно ожидать, что эти векторы будут параллельны. Итак, предлагается следующее соотношение между полем и плотностью дипольного момента :

Величина <0 выделена в коэффициенте особо для удобства последующих вычислений; под понимается действующее поле в среде — только его и могут воспринимать заряженные частицы.

Сделаем два важных замечания. Во-первых, сколь ни естественны наши предположения при введении зависимости (2.4), нельзя исключить и обратных предположений — скажем, в сильных полях связь может оказаться существенно нелинейной. Поэтому физик следом за любыми умозрительными предположениями обязан обращаться к опыту, чтобы подтвердить их либо отвергнуть. В нашем случае совокупность экспериментальных данных говорит о том, что, хотя соотношение (2.4) и не универсально, оно очень хорошо работает в широком диапазоне параметров. Поэтому для того, чтобы разобраться в физике дела, мы вполне можем пользоваться такой моделью. Можно в принципе обобщить ее на случай анизотропного кристалла — тогда скалярную линейную связь придется заменить тензорной — но лучше все-таки для понимания принципиальных моментов в физике не перегружать модель необязательными обобщениями.

Во-вторых, опрерируя понятием поля в веществе, мы абстрагируемся от очень сильных, но короткодействующих микроскопических полей в атоме или кристаллической решетке. Подразумевается усреднение в пространстве и/или во времени с таким пространственным и временным масштабом, что микроскопические эффекты из нашего поля зрения исчезают и остается лишь

2.2 ] Поляризация диэлектриков. Понятие электрической индукции 215

умеренной напряженности электрическое поле, которое может быть измерено на макромасштабе и макроскопическим регистрирующим прибором. При этом диэлектрик рассматривается просто как сплошная среда.

дипольный момент равен 8 6 С другой стороны, нетрудно сообразить, что при однородной поляризации — смещении всех отрицательных зарядов относительно всех положительных — плотность заряда в объеме тела остается невозмущенной и лишь на торцевых гранях появляются поверхностные заряды ; Из определения дипольного момента (1.23) следует

8 / ;

Сравнивая оба результата, получаем 6 ; , или в общем случае границы поляризованного диэлектрика — скачок поляризации

где индекс означает компоненту, нормальную к поверхности разрыва.

В случае неоднородной поляризации в объеме может воз-

никнуть и ненулевое возмущение заряда. Такой заряд принято называть связанным, в отличие от свободных зарядов, с кото-

рыми мы до сих пор имели дело. Связанный заряд не может быть ни создан внешним источником, ни снят с тела, поскольку это лишь определенное состояние среды, обусловленное воздействием электрического поля и оставляющее тело электрически нейтральным. Смоделируем неоднородную поляризацию среды, соединив торцами два малых параллелепипеда, как показано на рис. 2.1 б. В соответствии с (2.5) на первом стыке возникает заряд

6

;

Относя эту величину к объему элементарного параллелепипеда, получаем ответ уже в достаточно универсальном виде плотности

заряда:

6

3связ

Аналогичные ответы последуют при неоднородности поляризации в направлениях и . В общем же случае мы должны будем взять их сумму:

нию (1.14) и подставим в его правую часть плотность всех зарядов, как свободных, так и связанных:

Мы сохранили обозначение 3 за плотностью свободных зарядов. Введем понятие индукции электрического поля в случае

диэлектрической среды, по отношению к которому данное выше определение (2.1) окажется естественным для вакуумного поля

Сравнивая (2.7) и (2.8), нетрудно убедиться, что электрическая индукция по-прежнему удовлетворяет уравнениям (2.2), (2.3). Зависимость, связывающая и , не столь универсальна; более того, она зависит еще и от того приближения, в котором мы описываем диэлектрическую среду. В случае простой модели (2.4)

Величина * называется поляризуемостью среды, а < 1

* — диэлектрической проницаемостью. Таким образом, если среда однородна, то, действительно, поле в сравнении с вакуумной ситуацией просто ослабляется в < раз. В частности, закон Кулона может быть переписан в виде

5152 2112 4000#122 #12

Рассмотрим конденсатор, емкость которого в отсутствие диэлектрического заполнения — %0. Заполним пространство между обкладками диэлектриком с постоянной <.

Если при этом конденсатор был отключен от источника, должны сохраниться заряды на обкладках C. Тем самым при заданном распределении свободных зарядов сохраняется величина индукции; поле же падает в < раз. Исходя из соотношений

, 0 9,

0 ;

получаем % < %0

Если конденсатор был подключен к источнику, то инвариантным остается напряжение на обкладках, а значит и электрическое поле в конденсаторе. Следовательно, индукция обязана возрасти в < раз, а с ней, в согласии с (2.2), (2.3), и заряды на обкладках. В итоге снова приходим к тому же ответу — он вообще оказывается универсальным:

Базируясь на подобных тривиальных примерах, авторы некоторых публикаций позволяют себе смелые заявления:

«Электрическая индукция — с точностью до коэффициента — есть поле свободных зарядов, без учета поляризации среды».

«Индукция и поле связаны между собой коэффициентом диэлектрической проницаемости вещества».

Оба эти утверждения в общем случае неверны. И дело не только в том, что связь между и может не быть линейной. Переход от поля свободных, т. е. заданных извне зарядов

кистинному полю не есть результат простого суммирования внешнего воздействия и отклика, но еще и переход от точного

кнекоторому усредненному описанию. Как мы увидим далее на примере сегнетоэлектриков, пространственное распределение

и может быть вообще существенно различным и притом в отсутствие свободных зарядов. Более того, эти два вектора могут оказаться противоположны по направлению. Формально это получается из того, что совпадение уравнений индукции и поля в пустоте еще не означает совпадения решений, ибо решать их следует при разных граничных условиях.

2.3. Граничные условия в электростатике

Располагая в качестве рабочего инструмента теоремой Гаусса в дифференциальной форме или уравнением Пуассона, мы, казалось бы, можем в приближении сплошной среды решить любую электростатическую задачу, т. е. задать заряды или потенциалы системы физических тел и найти поле во всем пространстве. Первое препятствие к тому — проблема состояния вещества в электрическом поле. Мы ее предельно упростили, полагая вещество либо идеально проводящим, либо идеальным диэлектриком, свойства которого сведены к одной-единственной константе. Но остается еще проблема границы вещества с вакуумом или двух веществ. Нам придется считать такие границы идеально гладкими и вдобавок предположить, что свойства среды, такие, как проводимость и диэлектрическая проницаемость, меняются на границе скачком. (Иногда адекватность таких приближений представляет собой проблему более сложную, нежели собственно решение задачи).

листок нулевой толщины. Но в строгом смысле не бывает и идеального скачка на границе, так что мы должны различать реальную физику и ее математическую модель. Например, корректно описать проводник в электрическом поле можно лишь привлекая понятие поверхностного заряда или входя в такие детали физики пограничного слоя, которые неоправданно усложняют задачу. Иногда, к тому же, необходимая нам точность решения допускает такое упрощение, как «стягивание» заряженного слоя конечной толщины в бесконечно тонкий листок. Итак, пусть на поверхности располагается некоторый заряд с поверхностной плотностью ;. Тогда (2.2) можно переписать в виде

II I ; ,

и окончательно, вместо (2.13), получаем

Таким образом, действительно, в отличие от тривиального вакуумного случая, граничные условия для поля и индукции не совпадают, так что утверждение, будто индукция — это просто вакуумное поле свободных зарядов, некорректно.

Условия (2.12), (2.13) подсказывают и способы измерения поля в веществе. Представим себе, что мы вырезали в образце вещества очень тонкую щель достаточно большого сечения, перпендикулярную силовым линиям, и вводим туда зонд, способный измерить в ней электрическое поле. Тогда, в силу (2.13), индукция в такой щели будет равна индукции в веществе, но внутри щели она с точностью до коэффициента <0 как раз и равна измеренному полю. Если бы мы вырезали щель не перпендикулярно, а параллельно силовым линиям, то, согласно (2.12), измеренное в ней поле было бы равно полю в веществе. Не столь нагляден ответ в случае, например, анизотропного кристалла, когда направления и , вообще говоря, не совпадают.

Забегая вперед, отметим, что область применимости полученных граничных условий не ограничивается электростатикой, более того, они оказываются совершенно универсальными.

2.4.Диэлектрики с квазиупругими

ижесткими диполями

Говоря о поляризации среды, мы до настоящего времени ограничивались моделью самого общего вида, полагая наиболее естественной реакцией диэлектрика на внешнее электрическое поле переход в состояние с ненулевым дипольным моментом — см. формулы (2.4), (2.8). Детально разобраться в механизме явления мы могли бы лишь на микроскопическом уровне, но

некоторое разъяснение, по крайней мере для изотропных (жидких или газообразных) диэлектриков, можно дать и в рамках настоящего курса.

Поляризация изотропного диэлектрика может быть обусловлена одним из двух возможных механизмов (или двумя одновременно). Это, во-первых, приобретение дипольного момента нейтральной «квазиупругой» молекулой во внешнем поле и, во-вторых, ориентация во внешнем поле молекул с ненулевыми собственными дипольными моментами.

Нейтральная молекула называется квазиупругой, если в достаточно слабом поле ее дипольный момент мол пропорционален приложенному полю:

Здесь — концентрация молекул, *мол — коэффициент поляризуемости молекулы. Эта зависимость и в самом деле выглядит так, как если бы положительный и отрицательный заряды были связаны пружинкой, которая растягивалась бы пропорционально

приложенной силе. Здесь полезно будет следующее замечание. Существует теорема (ее называют теоремой Ирншоу), которая

утверждает: механическая система не может находиться в равновесии под действием одних только электростатических сил. Она исключает как возможность существования статического атома, так и подобную «пружинку» чисто электростатической природы. На самом деле атом — отнюдь не статическая, но динамическая система, поведение которой описывается законами квантовой механики, но для многих веществ с достаточно симметричными неполярными молекулами — N2, H2, CO2, CH4, CCl4 — приближение (2.15) оказывается вполне адекватным. Пусть — упругость молекулярной «пружинки»:

2

Æ D мол < ,

(мы предположили, что сила, растягивающая «пружинку», действует на элементарный электрический заряд). Окончательно,

Отсюда сразу следует, в частности, известное соотношение для диэлектрической проницаемости воздуха в зависимости от

давления:

0 'мол ,00 Б

где Б — постоянная Больцмана, Б Однако далеко не для всех диэлектриков применимо пред-

ставление о квазиупругих диполях. Многие из них, например H2O, NH3, H2S, SO2, состоят из молекул, имеющих и в отсут-