студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Начнем с примера, известного каждому школьнику. Линейные проводники, по которым текут параллельные токи, притягиваются. (Почему — об этом мы еще будем говорить в следующей главе.) А вот два параллельных электронных пучка всегда отталкиваются друг от друга. Но это как раз и не удивительно, поскольку прямо следует из законов электростатики. Отсюда можно заключить, что известное нам электростатическое (кулоновское) взаимодействие сильнее того взаимодействия между параллельными токами, которое еще предстоит изучить. Это верно и для металлического токонесущего проводника, но сам

этот проводник, если представить себе его микроскопическое строение, является системой, как говорят, квазинейтральной.

Это означает, что истинной нейтральности в веществе проводника нет (без движения заряженных частиц не могло бы быть и тока), но при усреднении даже по очень малому объему вещества эффективный заряд оказывается нулевым из-за очень высокой концентрации заряженных частиц — 1028–1029 част./м3. Таким образом, электростатическое взаимодействие между проводниками оказывается пренебрежимо малым (говорят об электрическом поле очень высокой мультипольности). Как следствие, эффекты, связанные с протеканием электрического тока, не маскируются электростатическими проявлениями.

Еще одно чрезвычайно важное упрощение при подходе к экспериментальному изучению и теоретическому описанию провод-

ников с током следует из того, что для технических приложений особенно интересны линейные, или, как говорят, квазиодномер-

ные, токонесущие системы — электрические цепи. (Еще один термин для обозначения этого класса объектов — токонесущие системы с сосредоточенными параметрами.) Для них типично рассмотрение эффектов или вообще интегральных, или зависящих лишь от одной координаты — вдоль провода, а распределение параметров по сечению проводника не имеет значения.

Определив таким образом характерные приближения в задачах о протекании электрического тока, мы все же постараемся ввести основные понятия и законы по возможности в общем виде, не связывая себя приближениями.

Пока и поскольку мы имели дело с током в линейном проводнике, можно было определить силу тока (или просто «ток») как заряд, протекающий в единицу времени через поперечное

Единица тока — ампер (1 А 1 Кл/с) относится к числу основных единиц системы СИ. Чтобы избежать затруднений с определением тока (понятие переноса заряда в квазинейтральном проводнике требует некоторого напряжения фантазии), дадим

3.2.Закон сохранения заряда. Постоянный ток

Впервой главе мы уже говорили об одном из самых фундаментальных законов природы — законе дискретности заряда:

любой заряд в любых проявлениях всегда кратен заряду элек-

трона.

Столь же фундаментален и закон сохранения заряда. Он ниоткуда не может быть выведен и не может быть установлен ни в единичном эксперименте, ни даже в конечной серии каких-либо экспериментов. Он следует из всего накопленного на

сегодняшний день опыта экспериментальной физики.

Электрический заряд есть строго сохраняющаяся величина. Любые изменения зарядов любых физических тел происходят как следствие разделения зарядов, но не их возникновения либо уничтожения.

В ядерных превращениях возможно и рождение заряженных частиц, но лишь — парами´, при сохранении полного нулевого заряда. В атомной, молекулярной и макроскопической физике сохранение заряда сводится к сохранению числа частиц любого сорта, а значит — и их суммарного заряда.

К этому следует добавить еще один очень важный экспериментальный факт — нейтральность Вселенной, и более того, высокую степень нейтральности всех макроскопических тел. Заряды макротел, с которыми мы реально имеем дело в природе или в технике, всегда суть малые возмущения на фоне очень высокой степени нейтральности тела. Уединенный металлический шарик радиуса 1 см, потерявший сотую долю электронов, оказался бы заряжен до потенциала 1015 В, а его энергозапас представлял бы величину 1019 Дж!

Как известно, закон Кулона и закон всемирного тяготения функционально тождественны, но электростатическое взаимодействие гораздо сильнее, поэтому, к примеру, при взаимодействии двух электронов гравитационная составляющая силы ничтожно мала в сравнении с кулоновской. Но,

го заряда, заключенного внутри поверхности, может быть следующим образом связано с зарядом, протекающим в единицу

(мы преобразовали правую часть по теореме Гаусса). Но и левая часть может быть представлена в виде объемного интеграла, поскольку C 3 . Элемент объема может быть выбран совершенно произвольно, поэтому равенство интегралов влечет за собой равенство подынтегральных выражений. Как следствие, получаем локальную (или дифференциальную) форму уравнения (3.6):

Уравнения (3.6), (3.7) и выражают в электродинамике закон сохранения заряда. В математическом отношении они эквивалентны гидродинамическому уравнению непрерывности, что вполне естественно с точки зрения физики дела: в гидродинамике сохраняется масса вещества, а в электродинамике — заряд. Изменение любой из этих величин представимо в форме некоторого течения.

Теперь мы можем на новом уровне вернуться к приближению постоянного тока. В общем случае трехмерного течения зарядов мы должны потребовать выполнения условий

, % 0

Из последнего, в частности, следует

Условие (3.8) часто отождествляют с условием постоянства тока. Но, как следует из нашего рассмотрения, оно является необходимым, но не достаточным. Например, оно выполняется с высокой точностью для переменных, но квазистационарных токов (см. главы 8, 10), если в цепи нет конденсатора.

Особо следует отметить, что условие постоянства тока подразумевает равенство нулю временн´ой производной плотности заряда, но не самой плотности заряда. В неоднородных электрических цепях, а тем более при трехмерном протекании тока в среде, она вполне может быть отлична от нуля в отдельных точках или даже во всей проводящей среде. Устанавливается такое возмущение нейтральности на нестационарной стадии, следующей непосредственно за включением тока.

В случае системы с сосредоточенными параметрами — электрической цепи, составленной из проводов однородного сечения, — формулу (3.8) можно заметно упростить. Считая радиус кривизны провода много б´ольшим его поперечных размеров, бу-

дем рассматривать проводник как квазиодномерный. Тогда в (3.8) из всех производных остается только одна — по координате вдоль

провода:

3 0

То же самое условие можно получить напрямую из постоянства полного тока в сечении:

откуда " . Если же проводник по длине неоднороден, из постоянства тока следует неинвариантность плотности тока — она должна меняться обратно пропорционально сечению провода.

3.3. Закон Ома. Закон Джоуля–Ленца

По-видимому, самый популярный закон электродинамики, известный даже людям, от физики и электротехники весьма далеким, — это закон линейной связи между током в одномерном проводнике и напряжением (разностью потенциалов) на его концах, установленный в 1826 г. немецким физиком Георгом Омом

Величина в этом соотношении называется сопротивлением проводника и измеряется в системе СИ в омах: 1 Ом 1 В/1 А. В отличие от электростатики, единицы СГС для данного круга задач чрезвычайно неудобны; скажем, 1 Ом 1,1 10 12 СГС.

Для нашего курса формулировка (3.9) все же слишком примитивна. Мы заменим ее локальным эквивалентом, который в случае однородного распределения плотности тока по сечению линейного проводника тривиальным образом сводится к (3.9):

Величина — иногда ее обозначают буквой ; — называется

проводимостью вещества, а обратная ей величина 3 — удельным сопротивлением. Интегрируя выражение (3.10) по сечению

проводника (тем самым мы от " переходим к :), а затем — по длине его (переходим от - к ,), мы и в самом деле возвращаемся к (3.9); при этом, в соответствии с курсом физики средней

В отличие от (3.9), формула (3.10) устанавливает причин- но-следственную связь между электрическим полем и током, ко-

торый оно порождает, в точке (точнее — в физически бесконечно малом объеме). В принципе, мы могли бы попытаться обосновать эту связь с помощью следующих рассуждений.

Какова бы ни была функциональная зависимость между " и -, в пределе достаточно слабых полей ее можно разложить в ряд Тэйлора, и тогда первый неисчезающий член такого разложения как раз и дает " -. Разумеется, параллельность векторов и отсюда не следует; она последует из изотропности проводящей среды — просто, помимо направления поля, в задаче нет больше никакого другого выделенного направления. В более общем случае, например для анизотропного кристалла,

связь должна быть тензорной, " - , но по-прежнему линейной.

Однако доказательность этих рассуждений иллюзорна. Во-первых, не каждую функцию можно разложить в ряд Тэйлора, во-вторых, параметр разложения заранее не ясен, например, первый неисчезающий член при - 0 может

оказаться пропорциональным -1 2 или, скажем, все члены разложения обратятся в нуль вплоть до -3. В-третьих, в любом случае остается вопрос: сколь малыми должны быть поля и токи, чтобы зависимости (3.9), (3.10) оставались линейными? Представит ли этот предел хоть какой-то интерес?

Эксперимент отвечает на эти вопросы следующим образом: для твердых проводников формулы (3.9), (3.10) справедливы в достаточно широком диапазоне практически интересных напряжений и токов. Несколько уже´ область их применимости для электролитов, еще уже´ — для газов и плазмы, но и в этих средах закон Ома остается в числе самых фундаментальных. Как и все основные законы природы, закон Ома следует не из рассуждений, но из опыта; экспериментом же определяется и область его применения.

Формулу (3.10) можно попытаться вывести из законов механики для заряженной частицы в проводящей среде. Это достаточно просто сделать для жидкой или газообразной среды, моделируя трение электрона в среде посредством постоянной эффективной частоты столкновений (эф. Столкновения могут происходить с ионами в электролите, с дефектами решетки в твердом теле и т. д. Для определенности отнормируем (эф так, как если бы электрон при каждом эффективном столкновении полностью терял свой импульс. Уравнение движения электрона

3.3 ] Закон Ома. Закон Джоуля–Ленца 237

Аналогия между формулами (3.11) и (3.10) позволяет сделать ряд замечаний достаточно общего характера о применимости закона Ома.

1.В классическом виде закон Ома справедлив постольку, поскольку можно пренебречь магнитным полем в уравнении движения электрона (что мы и сделали). Если же магнитное поле тока существенно, то закон, как минимум, нуждается в модификации.

2.В общем случае произвольной природы сил трения величина (эф должна, в принципе, зависеть от скорости электрона

всреде. Мы же посчитали ее постоянной, а это значит, что токовая скорость предполагается много меньше тепловой скорости электронов (при комнатной температуре — 60–70 км/с).

3.Формула (3.11) — и пока только она — подразумевает стационарность электронного течения (постоянный ток). Но ее, вместе с (3.9), (3.10), можно попытаться перенести и на более широкий класс явлений. Так, мы можем считать ток «безынерционным» и пользоваться законом Ома, если все величины

медленно меняются во времени: (эф . Это не единственное условие и не самое жесткое, но сама эта возможность очень важна.

4.Течение «газа» электронов проводимости возможно не только вследствие действия на них электрического поля, но и вследствие перепада давления — как в гидродинамике. И напротив, при одновременном действии поля и градиента температуры тока может и не быть. Закон Ома подразумевает, что все подобные (термоэлектрические) эффекты малы в сравнении с ускорением электронов в электрическом поле. Мы видим, что поле должно быть ограничено не только сверху, но и снизу. Более или менее корректное количественное сравнение нам придется отложить до раздела, посвященного строению вещества.

Опираясь на вывод (3.11) и на всю эту простую модель электрического сопротивления, мы можем рассмотреть также эффект джоулева тепловыделения, известный в школьной физике в форме закона Джоуля–Ленца (по имени английского физика Дж. Джоуля (1818–1889) и русского физика Э.Х. Ленца (1804–1865)). В соответствии с механикой, работу в единицу времени при перемещении одной частицы можно оценить следую-

щим образом:

2

тр (эф

Как правило, работа силы трения переходит в тепло (возможны и другие каналы потерь, но мы здесь не будем на этом

238 Постоянный ток [ Гл. 3

останавливаться). Для проводящей среды получаем следующее выражение для тепловыделения в единице объема:

Этот тепловой эффект принято называть джоулевым теплом. В однородном проводнике длины с поперечным сечением 9 справедливо следующее выражение для тепловыделения:

а это не что иное, как закон Джоуля–Ленца. Пока и поскольку речь идет о постоянном токе, тепловыделение с помощью закона Ома можно представить в различной форме:

2

9 :2 :,, однако, если мы выходим за пределы этого приближения, оста-

ются в силе только формулы (3.12), (3.13). Это дает основание для введения понятия активного сопротивления, очень важного для описания переменных токов и связанного именно с процессом диссипативной природы — джоулевым тепловыделением.

В заключение настоящего параграфа рассмотрим еще один важный вопрос, касающийся взаимосвязи электростатики и за-

конов протекания тока. Мы будем базироваться на явлении, которое принято называть максвелловской релаксацией (по имени

Джеймса К. Максвелла (1831–1879)).

Предположим, что в некоторой проводящей среде имеет место закон Ома (3.10); при этом мы не предполагаем стационарности протекания тока и толкуем данный закон расширенно — т. е. полагая все временные´ зависимости достаточно медленными. Пусть наша среда характеризуется постоянной проводимостьюи диэлектрической проницаемостью < 1. Перепишем (3.7)

в виде

% div 0

Вынося за знак всех производных и подставляя 3 <0, получаем

В простейших случаях соотношение (3.15) правильно описывает процесс релаксации заряда за счет протекания тока. Но из него следует, что в стационарном состоянии (включая слу-

3.4 ] Электродвижущая сила. Правила Кирхгофа 239

чай постоянного тока) 3 0. Можно рассуждать и по-другому: из .3 . 0 вытекает div 0. Поскольку , то и div 0 3 0. Между тем, это, строго говоря, не совсем так. Представим себе, в качестве простейшего примера, источник постоянного тока, нагруженный на резистор, с которым он соединен двумя проводниками, сопротивление которых пренебрежимо мало. Тогда между этими проводниками возникает разность потенциалов, равная падению напряжения в резисторе. И какова бы ни была их геометрия (параллельные провода, коаксиал и пр.), из теоремы Гаусса с неизбежностью следует, что проводники эти заряжены. Мы можем пользоваться законом Ома при условии, что заряд этот настолько мал (или проводимость так велика), что можно в первом приближении считать div 0 — и закон Ома будет справедлив с точностью, отвечающей такому приближению.

Таким образом, популярный в быту и инженерной практике термин «статическое электричество», оказывается, не лишенным смысла, если под электростатическими полями понимать поля, для которых div 0, а под омическими — обратный случай, который описывается уравнениями (3.8), (3.10).

3.4. Электродвижущая сила. Правила Кирхгофа

Обратимся к системам с сосредоточенными параметрами. Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на рис. 3.2 а. Закон Ома в первоначальной формулировке (3.9) включает такое понятие, как напряжение или разность потенциалов на концах проводника. Если имеется в виду истинно постоянный ток, а значит и постоянное поле в проводнике, понятие потенциала представляется вполне корректным. И работа, совершаемая над зарядом на участке цепи, Æ D , тоже согласуется с таким пониманием. В состоянии динамического равновесия она должна быть равна диссипируемой энергии. Про-

суммируем обе величины по зарядам, прошедшим через данный участок цепи за время :

Æ Æ/ : , :2 ,

что является очевидным тождеством. Но есть одно обстоятельство, которое не позволяет рассматривать поле в данной задаче как чисто потенциальное. Дело в том, что важнейшее свойство потенциальных полей,

0,

нарушается при интегрировании по контуру цепи:

0,

потому что в отсутствие накопления заряда линии тока должны быть замкнуты (иначе как раз в точке разрыва получилось бы 0). В ситуации, изображенной на рис. 3.2 а, вся непотенциальность поля обусловлена источником тока (в данном случае — гальваническим элементом). Часто его невозможно столь же очевидным образом локализовать — например, в случае термоэлектричества. Но всегда источник тока характеризуется непотенциальностью, которую он вносит в электрическую цепь:

Эта характеристика называется электродвижущей силой и обозначается как ЭДС. Оставаясь исключительно в рамках нашего курса, мы смогли бы вполне разобраться в работе лишь одного источника ЭДС — динамомашины, тогда как в примерах

изадачах на постоянный ток более популярны как раз гальванические элементы. По необходимости оставляя их устройство

ипринцип работы вне рассмотрения, мы все же коснемся одного распространенного заблуждения. Имеет хождение следующая формулировка: «источник ЭДС обусловлен силами неэлектрической природы». Но так можно сказать только о гравитационных либо ядерных взаимодействиях. Химическое взаимодействие, фотоэффект, термо-ЭДС и тем более эффект динамо — все это явления вполне электрической природы. Общее их свойство, необходимое для любого источника тока, заключается в ином — нестационарности. Эта нестационарность может маскироваться длительным временем разрядки аккумулятора или динамическим равновесием в последнем звене энергетического производства — динамомашине, но она всегда имеет место. В противном случае, оставаясь в кругу чисто электромагнитных явлений, мы должны были бы стационарности электрического поля однозначно поставить в соответствие его потенциальность. К тому же выводу