студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Р а з д е л в т о р о й

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

ВВЕДЕНИЕ

По традиции раздел общей физики, в котором рассматриваются электромагнитные явления, называется «Электричество

имагнетизм»; профессионалы предпочитают именовать данную науку электродинамикой. В нашем рассмотрении мы будем исходить из того, что школьный курс физики читателю уже известен. Это не должно отражаться на порядке изложения, поскольку наша цель — представить единый курс, а не избранные главы. Но мы достаточно широко будем пользоваться примерами и аналогиями, выходящими за пределы собственно электродинамики. Тем самым мы в какой-то степени погрешим против исторической последовательности в развитии электродинамики — впрочем, это неизбежное свойство любого учебного курса. Даже законы Ньютона отнюдь не первичны, но представляют собой обобщение большого числа известных ранее экспериментальных фактов.

Вэтой связи подчеркнем, что электродинамика, как и вся физика, — наука естественная, а следовательно — экспериментальная. Будучи самой фундаментальной из естественных наук, физика, как следствие, и более других формализована, но надо понимать, что аксиом и теорем в строгом смысле в ней нет. Все основные факты берутся из эксперимента, все предположения

ивыводы экспериментом в конечном счете и проверяются. Это утверждение, конечно, не следует трактовать слишком прямолинейно. Теория и опыт в физике не на каждом шагу контролируют друг друга, но лишь в некоторых принципиальных «узловых» точках, оставляя достаточно места и формальной логике, и математическому моделированию физической реальности. Не следует только путать модель и самое реальность.

Вотличие от механики, которая (включая релятивистскую

иквантовую механику) представляет движение или равновесие как результат заданного взаимодействия, в электродинамике мы впервые изучаем взаимодействие как таковое. Фундаментальных взаимодействий в физике всего четыре: сильное, слабое, гравитационное и электромагнитное. Первые два — предмет ядерной физики, и, по крайней мере, явно не проявляются в том круге явлений, который мы будем изучать. Гравитационное взаимодействие обычно широко используется для иллюстрации

законов ньютоновской механики. Из всех перечисленных оно оказывается самым слабым, но для макроскопических (особенно космических) масштабов остается единственно эффективным. Однако в тех случаях, когда вступает в игру электромагнитное взаимодействие, гравитацию, как правило, можно исключить из рассмотрения.

Мы постоянно сталкиваемся с электромагнитным взаимодействием, не всегда отдавая себе в этом отчет. Вся информация о внешнем мире: как пассивная (зрение, слух, обоняние, осязание), так и полученная через посредство любых приборов — обеспечена исключительно электромагнитным взаимодействием. Само наше существование, включая процесс мышления, базируется на химии, а последняя, в свою очередь, на электромагнитных явлениях. Было бы, конечно, недопустимым упрощенчеством пытаться «свести» весь окружающий нас мир к элементарным явлениям электродинамической природы, но они, во всяком случае, играют роль тех кирпичиков, из которых этот мир построен.

Каждой естественной науке, в частности каждой области физики, присущ свой собственный формальный язык. Можно представить себе курс механики, в котором нет ни производных, ни интегралов. Читатель не затруднится с примером — это, скажем, школьный курс. Но имея опыт с разделом «Механика» нашего курса, читатель согласится, по-видимому, и с тем, что из-за такой формальной уступки уровню аудитории школьный курс механики много теряет по существу. Равным образом, например, естественный язык термодинамики — язык частных производных и криволинейных интегралов. Тут уже школьный курс оказывается в совсем тяжелом положении, и студенты ощущают

вэтой связи особую трудность термодинамики.

Уэлектродинамики есть свой «родной язык» — это язык векторного анализа. Некоторые учебники без него обходятся, а затем он неожиданно возникает в самый последний момент (при формулировке локальной формы уравнений Максвелла) либо отодвигается до лучших времен — куда-нибудь в курс теоретической физики.

По самому принципу построения нашей книги мы не должны отсылать читателя к каким-либо последующим курсам, поскольку у студента технического вуза этот учебник физики может оказаться и последним в жизни. В то же время мы не предполагаем у читателя предварительного знакомства с операциями векторного дифференцирования и будем вводить таковые по ходу изложения. Разумеется, ни объем, ни задача настоящей книги не позволяют сопроводить этот математический материал какими-либо доказательствами; заинтересованному читателю мы порекомендуем обратиться к учебникам математического анализа.

Принципиально важным для любого курса электродинамики оказывается вопрос о системе единиц, которая используется при его построении. Следуя опять программе обучения инженерных вузов, мы представляем настоящий курс в системе СИ, хотя физики ею не всегда пользуются. В механике системы СИ и СГС равноправны, и соответствующие единицы отличаются только масштабом, а все формулы выглядят в обеих системах единиц одинаково. В электродинамике дело обстоит иначе, поскольку в системе СИ, кроме метра, килограмма и секунды, эталонируется еще одна физическая единица — ампер, единица силы тока. Принято это делать исключительно из соображений удобного масштаба практически важных физических величин, но в результате одни и те же законы выглядят в разных системах единиц немного по-разному, отличаясь размерными коэффициентами. И если в системе СГС «лишних» коэффициентов нет, то в СИ возникают понятия с точки зрения физики парадоксальные, как, например, диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Полезно, однако, убедиться в том, что и любимая физиками система СГС оказывается «не без греха». Для начала отметим, что корректным образом любая новая размерность в физике вводится исходя из соотношения, связывающего новую физическую величину с уже известными, скажем, работу с силой и расстоянием. Но в традиционном курсе физики особняком стоит второй закон Ньютона, поскольку в него входят сразу две новые величины — сила и масса. Мало того, основное утверждение — пропорциональность ускорения приложенной силе — по существу бессодержательно, поскольку сила как физическая величина здесь же и определяется. Ничто, казалось бы, не мешает определить ее иначе, например, считать пропорциональной корню квадратному из ускорения.

В действительности, однако, все парадоксы без труда снимаются, если одновременно со вторым законом Ньютона рассматривать ему же принадлежащий закон всемирного тяготения. Тогда вдруг окажется, что три фундаментальных физических единицы нам не нужны — достаточно двух. Из двух зависимостей:и 12 1 2 2 следует, что при гравитационном взаимодействии двух одинаковых тел 2. Естественным оказывается определение единицы массы из величины ускорения,

скажем, 1 см/с2 при расстоянии 1 см между взаимодействующими телами. Далее столь же естественным образом из закона тяготения выделяется понятие силы, и второй закон Ньютона будет содержать, как и следует, лишь одну новую физическую величину.

Это, быть может, было бы несколько сложно для школьного курса, но и в учебниках для студентов такой схемой не пользу-

7 Основы физики. Т. I

ются. Дело в том, что в этом случае закон всемирного тяготения следовало бы вводить без коэффициента: 12 1 2 2 Определенная отсюда единица массы оказалась бы равной примерно 15 000 кг, а единица силы, даже для базовых единиц сантиметр и секунда, была бы равна примерно 150 Н. Совершенно очевидно, что и далее определенные физические величины оказались бы по масштабу совершенно неприемлемы. Поэтому единица массы все-таки используется в качестве базовой, а платить за это приходится некоторой путаницей в основных законах механики и размерным коэффициентом в законе всемирного тяготения — гравитационной постоянной. Совершенно аналогичная ситуация возникает при использовании системы СИ в электродинамике.

Если бы мы пользовались системой СГС, то единица силы тока оказалась бы равной примерно 3,3 10 10 А, а, к примеру, единица сопротивления — 9 1011 Ом. Поэтому для практических надобностей система СГС была бы совершенно непригодна. Правда, основные физические законы в ней выглядят более простыми и естественными, но уравнения колебательного контура, электрических цепей, многие формулы электроники оказываются проще и удобнее в системе СИ. Не следует, однако, забывать, что ее породило исключительно удобство единиц измерения и практически важных формул, поэтому встречающиеся иногда рассуждения о физическом смысле величин <0 и 10 заведомо абсурдны.

Любой учебный курс общей физики должен включать, помимо основного текста, семинарские занятия и лабораторные работы, а также лекционные демонстрации. Всего перечисленного наш учебник никоим образом заменить не может, но некоторое количество задач, как и в предыдущем разделе, будет представлено и в курсе электродинамики.

электродинамики принято называть электростатикой (во избежание терминологической путаницы заметим, что так называемая магнитостатика — не совсем статика, ибо магнитное поле порождается движением зарядов).

Важнейший закон электростатики — закон Кулона — зачастую трактуется в узком смысле, только как закон взаимодействия заряженных тел. На самом деле он гораздо более фундаментален, поскольку вводит само количественное понятие электрического заряда.

Первоначальный термин «количество электричества» правильно отражал историю вопроса. Было установлено, что сила взаимодействия между двумя заряженными телами (неважно, были они одноили разноименно заряжены) пропорциональна заряду каждого из них, определенному в произвольных единицах просто как сумма одинаковых заряженных тел, сложенных вместе.

Далее Кулон, и независимо — Г. Кавендиш (1731–1810), установили, что сила взаимодействия, безотносительно к знаку заряда, обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими телами:

Исходя из этих экспериментальных фактов и вводится количественная мера электрического заряда. Для этого (1.1) объединяется с эмпирическим понятием количества электричества:

Именно так выглядит закон Кулона в системе СГС. Приравняв силу отталкивания двух одинаковых зарядов на расстоянии 1 см одной дине, мы получили бы единицу заряда в системе СГС. Но тут и оказывается, что для практических задач эта величина неудобна; например, таким будет заряд на обкладках конденсатора емкости 1 мкФ при напряжении 3 10 4 В. В системе СИ, которой мы в дальнейшем будем пользоваться, уравнение (1.2) приобретает числовой коэффициент; его принято записывать в виде

где сила измерена в ньютонах, / — в кулонах, — в метрах, а электрическая постоянная <0 8,85 10 12 Ф/м. С очень хорошей точностью эту константу можно принять равной 10 9 36$ Ф/м. Если мы хотим, как обычно принято в статике, придать закону взаимодействия векторную форму, то нам нужно доопределить направление силы. Пусть вектор 12 и, соответственно, орт 12 12 направлены от заряда 1 к заряду 2.

1.2 ] Электрическое поле 197

Тогда в векторной форме закон Кулона приобретает окончатель-

Формула (1.4) правильно учитывает знак заряда — из нее как раз следует притяжение разноименных и отталкивание одноименных зарядов. Во всех формах закона Кулона мы молчаливо подразумевали, что размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними, а распределение зарядов по объему или по поверхности тел достаточно однородно, чтобы не придавать взаимо-

действию каких-либо анизотропных свойств. Такое приближение называется приближением точечных зарядов; во многом оно

близко приближению точечной массы в механике.

1.2. Электрическое поле

Выражения (1.3), (1.4) можно переписать в эквивалентных

формах:

12 /1- /2 /2- /1 ;

12 /1 /2 ; 21 /2 /1 ; 12 21, (1.5)

где векторная величина называется напряженностью электри-

ческого поля или — в особенности, в современной литературе — просто электрическим полем. Возьмем точечный электрический

заряд / и поместим начало координат в центре этого заряда. Сравнивая формулы (1.3), (1.4) с (1.5), для поля этого заряда

Пока это всего лишь тождественная запись, преобразование, которое в принципе может когда-либо оказаться удобным. Но, как будет следовать из всего нашего последующего курса, именно здесь мы вышли на одно из самых фундаментальных понятий. Поле, подобно веществу, оказывается видом материи. Пространство между электрическими зарядами отнюдь не пусто — оказывается, там, где отлично от нуля, в пространстве как-то распределена энергия, а следовательно, и масса. Уравнениями (1.3), (1.4) представлено как бы мгновенное дальнодействие, а на самом деле, именно поле оказывается промежуточным агентом, и когда мы от статической перейдем к временн´ой задаче, предельная скорость взаимодействия окажется равной скорости света.

Единица напряженности поля — 1 вольт на метр (В/м); из (1.5) следует 1 В/м 1 Н 1 Кл . Полезно в этой связи отметить, что логика наименования и связей между единицами в системе СИ не адекватна логике общего курса физики, поэтому нам придется не раз употреблять обозначения, выраженные че-

рез единицы, которых мы еще не вводили. Правда, для вычисления полей в повседневной инженерной практике именно вольты на метры и приходится чаще всего делить.

В качестве принципиально важного обобщения опытных фактов выступает принцип суперпозиции полей, в наиболее явной

форме выражающий векторную природу и векторные свойства электрического поля. Пусть в пространстве размещены любым способом, дискретным или непрерывным, заряды /1, /2, /3,

, / Тогда их действие на любой (т. н. пробный) заряд выражается формулой типа (1.5), где электрическое поле равно просто векторной сумме полей всех зарядов:

1 2 3

В отличие от механики, где имеет место принцип суперпозиции сил, здесь ситуация даже проще, поскольку силу в механике характеризует, помимо величины и направления, линия приложения, тогда как электрическое поле является просто функцией точки пространства. Это позволяет, в частности, «оторвать» поля от порождающих их зарядов и не только складывать их в любой точке, но и представлять в виде любой векторной суммы, удобной для решения той или иной задачи. В качестве пробного заряда может, в частности, выступать любой из зарядов системы /1 / , скажем, / . Но в этом случае из векторной суммы должно быть исключено его собственное поле, поскольку самовоздействия по принципу Мюнхгаузена физика не допускает:

Еще одно важное замечание касается среды, в которой мы можем пользоваться принципом суперпозиции. Он абсолютно точен в вакууме, но лишь в качестве некоторого приближения — в сплошных средах, которые, в частности, будут предметом рассмотрения в следующей главе. Если принцип суперпозиции работает с хорошей точностью, среда называется линейной, если же реакция среды на внешнее поле такова, что линейность отклика нарушается, то не имеет смысла говорить и о принципе суперпозиции полей. Таковы, например, сегнетоэлектрики, а в случае магнитных полей — ферромагнетики.

Из школьного курса физики известно, что графически поле удобно представлять силовыми линиями — кривыми, к которым вектор электрического поля в каждой точке представляет направление касательной. Густота силовых линий (ее можно определить как число линий, пересекающих площадку единичной площади, нормальную к линиям), по определению, считается пропорциональной напряженности поля в данной точке. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и кончают-

отношению площади поверхности сферы к квадрату радиуса, т. е. 4$.

Теперь подставим первое — скалярное — равенство (1.6) в (1.7) и воспользуемся соотношением (1.8):

Таким образом, поток вектора через поверхность, окружающую заряд, равен, с точностью до коэффициента < 1, величине этого заряда. Два обстоятельства ст´оят того, чтобы 0их отметить. Во-первых, ни симметрия поверхности, ни точка расположения заряда абсолютно не существенны. Во-вторых, источником поля может быть и не один точечный заряд, но любая система зарядов. В этом случае следует руководствоваться принципом суперпозиции. Поток поля любого заряда, расположенного вне замкнутой поверхности, будет равен нулю (удобно иллюстрировать это на языке силовых линий, пронизывающих поверхность), а каждый из потоков от внутренних зарядов будет соответствовать формуле (1.9). Итак, поле может быть произвольной природы, но поток его через замкнутую поверхность задается лишь заключенным в ней суммарным зарядом (разумеется, с учетом знака):

Это и есть теорема Гаусса (по имени немецкого математика, астронома и физика К.Ф. Гаусса (1777–1855)). Она, как уже отмечалось, принадлежит к числу основных законов электродинамики; вместе с тем, это хороший инструмент для решения задач электростатики, особенно в случае достаточно высокой симметрии зарядовой системы. Рассмотрим в качестве примера поле одномерного и двумерного «точечного заряда» — соответственно, равномерно заряженной плоскости и однородно заря-