студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

сти. Дело в том, что размерность физических величин — не только один из важных методов контроля правильности ответов, но и метод получения новых результатов в физике вообще и в механике, в частности, хотя возможности его ограничены и предсказательная сила не абсолютна (чему последующее рассмотрение будет хорошим примером).

Попробуем проанализировать физические предпосылки перехода к турбулентному течению, представленному на рис. 8.16. Пока и поскольку течение остается ламинарным, у него сохраняется характерный пространственный масштаб (радиус шара на рис. 8.16 а либо диаметр трубы на рис. 8.16 б). Турбулизация течения приводит к измельчению масштаба, а значит, и к росту пространственных производных от скорости, чему, как можно усмотреть из формул (8.27), (8.28), противодействуют эффекты,

обусловленные вязкостью. Таким образом, чем больше вязкость жидкости, тем более затруднен переход в турбулентное

состояние. Еще более очевидным представляется следующее утверждение: чем больше перепад скоростей, тем легче переход из ламинарного режима в турбулентный — скажем,

в предельном случае пространственно-однородного течения турбулентности просто не может быть, поскольку оно эквивалентно состоянию покоя.

Как уже указывалось выше, размерность вязкости составляет

@

Составим безразмерную комбинацию

Re

4

Подставляя в это выражение значения характерных параметров:

которую принято называть числом Рейнольдса (по имени английского физика О. Рейнольдса (1842–1912)). Число Рейнольдса можно переписать в виде

2 3

Re % ,

42

откуда следует, что оно характеризует отношение кинетической энергии движущейся жидкости 32 3 2 к потере этой энергии, равной работе сил вязкости на характерной длине ,@2. Помимо вязкости @, жидкость характеризуется еще и плотностью 3, а течение как таковое — пространственным

равновесия, с учетом (8.19), следует в данном случае использовать в виде:

Мы учли то обстоятельство, что в случае сферической симметрии все ве-

личины зависят только от #; что сила тяжести направлена к центру Земли, т. е. против r — отсюда и знак « », и, наконец, что внешние слои Земли с радиусами, б´ольшими #, вклада в силу притяжения не дают (см. гл. 6). Окончательно,

1011 Па 2,6 106 атм. Б´ольшая точность в оценках бессмысленна, хотя бы по той причине, что плотность вещества не может быть инвариантной при таком перепаде давлений.

7. Определите отношение энергий деформации стального и пластмассового цилиндров одинаковых размеров для двух случаев: 1) цилиндры поставлены рядом друг с другом и сжаты параллельными плоскостями; 2) цилиндры поставлены друг на друга и также сжаты плоскостями. Модуль Юнга для

(. Определить время , за которое вся жидкость выльется из сосуда, если в дне сосуда сделано малое отверстие площади -. Считать режим течения несжимаемым.

Решение. Движение не стационарно — скорость истечения меняется, и верхняя граница жидкости движется. Уравнением Бернулли, полученным для стационарного течения, можно пользоваться, если эти изменения происходят медленно, как в случае - (. Обозначим высоту поверхности жидкости относительно дна сосуда в момент через , скорость жидкости на этой поверхности (скорость движения частиц, находящихся на границе) — через1 , скорость жидкости в отверстии — через 2. Учитывая, что давление на верхней поверхности жидкости и на поверхности вытекающей струи примерно одинаково (равно атмосферному) и что в силу несжимаемости

9. Из неплотно закрытого крана вытекает в единицу времени количество воды 5 1 см3/с. Вода попадает в сосуд и затем вытекает из него по горизонтальной трубке длины 20 см. Со временем в сосуде устанавливается уровень воды на 5 см выше уровня трубки. Определите диаметр трубки. Вязкость

воды 4 10 3 Па с.

Ответ: 2 8 4 % 5 1 4 2 мм.

Г л а в а 9

ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

9.1. Принцип относительности Галилея

Как меняются законы движения при переходе из одной системы отсчета в другую? Другими словами, меняется ли при этом (и как) основной закон механики — второй закон Ньютона —

Этот вопрос имеет очень важное значение, так как наблюдать за движением тел и использовать законы механики на практике приходится не в одной какой-то, раз и навсегда выбранной системе отсчета, а в различных системах, по-разному движущихся друг относительно друга. Особое значение придает данной проблеме то обстоятельство, что инерциальная система отсчета, в которой мы до настоящего времени формулировали законы механики, есть физическая идеализация, тогда как в природе мы всегда имеем дело с неинерциальными системами.

Рассмотрим случай, когда обе системы отсчета — исходная и движущаяся относительно нее — являются инерциальными системами. Допустим, что система отсчета инерциальна, а система движется относительно первой поступательно с постоянной скоростью (рис. 9.1). Для простоты можно принять, что координатные оси ,

реход к общим формулам может быть совершен дополнительным поворотом координатных осей и переносом начала координат. Радиус-вектор некоторой материальной точки в исходной системе отсчета в момент времени обозначим через , а ради- ус-вектор той же материальной точки в тот же момент времени

166 Законы механики в неинерциальных системах отсчета [ Гл. 9

в движущейся системе обозначим через . Тогда координаты и время в системах и будут связаны друг с другом соотно-

Мы уже обсуждали эти соотношения в гл. 2. Напомним, что они называются преобразованиями Галилея. Мы добавили к формулам преобразования координат дополнительную формулу , выражающую предположение Ньютона о том, что время является абсолютным, то есть текущим одинаково в любых системах отсчета.

С точки зрения нашего повседневного житейского опыта, преобразования Галилея кажутся очевидными. В самом деле, они фактически основаны на двух предположениях. Во-первых, предполагается, что в разных системах отсчета остаются неизменными длины одних и тех же твердых стержней, которые используются для измерения пространственных размеров и координат различных тел. Кроме того, преобразования Галилея предполагают также, что, например, показания часов у двух человек не станут различаться только из-за того, что один из них начнет идти быстрее другого, и это тоже, казалось бы, не вызывает сомнения. Но всегда ли здравый смысл достаточен для доказательства истины? Об этом пойдет речь в следующей главе, а сейчас поговорим о том, что означают преобразования Галилея с точки зрения формулировки законов механики в разных инерциальных системах. Различаются ли законы движения для наблюдателей в разных системах?

Дифференцируя соотношение (9.1) по времени , получим

в системе . Эта формула выражает известное уже нам правило сложения скоростей в механике Ньютона.

Дифференцируя второй раз , получим (с учетом постоян-

Таким образом, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

С правилом сложения скоростей и с равенством (9.3) мы познакомились впервые в гл. 2. Поставим теперь вопрос: а как меняется сила при переходе из одной инерциальной системы в другую? Сила зависит от разности координат взаимодействующих материальных точек (для электромагнитных сил — еще

иот разности их скоростей). Поэтому, в соответствии с (9.1)

и(9.2), сила не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: . Такие соображения, сколь бы они не казались естественными, ни в коей мере не являются доказательством — они, например, должны быть пересмотрены в рамках релятивистской механики. Иначе говоря, сила инвариантна лишь относительно преобразований Галилея. Это утверждение должно рассматриваться как опытный факт. Так как и ускорение инвариантно, а масса материальной точки предполагается величиной постоянной, не зависящей от ее положения и скорости, то второй закон Ньютона в «штрихованной» системе принимает вид

Это уравнение в «штрихованной» системе отсчета имеет точ-

но такой же вид, что и в «нештрихованной» системе . Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея провозглашает полное равноправие всех инерциальных систем отсчета и его можно

сформулировать также в виде следующего утверждения: никакими механическими опытами, проведенными в пределах только данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного движения. Находясь, например, в вагоне поезда,

движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движется вагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами предметов и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен.

9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции

Рассмотрим теперь вопрос о том, как формулируются законы механики в неинерциальных системах отсчета. Вопрос этот имеет важное практическое значение: система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не является инерциальной — например, в системе отсчета, связанной с Солнцем, точки на поверхно-

где F — результирующая сила, действующая на рассматриваемую

материальную точку со стороны других тел, 2 2 — ускорение материальной точки в инерциальной системе. Координаты и скорости материальной точки в системах и связаны друг с другом соотношениями (9.1), (9.2). Если тело неподвижно

относительно , то движение этой системы приводит к переносу тела относительно . Cкорость V называется переносной скоростью. Скорость относительно системы , т. е. так и называется — относительная скорость. Наконец, скорость v в инерциальной системе носит название абсолютной ско-

рости. Надо понимать условность последнего названия: это, конечно, просто скорость относительно системы . Но — система инерциальная, в некоторой степени «привилегированная», и только в этом условном смысле скорость может быть названа абсолютной.

Продифференцировав еще раз по времени обе части равенства (9.2), получаем соотношение между ускорениями

Здесь, соответственно, a — абсолютное ускорение, A — переносное и — относительное. Подставив полученное выражение для во второй закон Ньютона, перепишем его в виде

Как мы видим, уравнение движения в неинерциальной системе отсчета (9.5) отличается от второго закона Ньютона в инерциальной системе (3.2) тем, что в правой части уравнения наряду с силой появляется еще добавочное слагаемое . Если ввести обозначение

то уравнение движения в неинерциальной системе примет такой же привычный вид, как и второй закон Ньютона,

где определенное равенством (9.6) добавочное слагаемое ин

называют силой инерции, конкретно — поступательной силой инерции. Далее мы познакомимся и с другими силами инерции.

В данном случае сила инерции является пространственнооднородной, т. е. сила инерции при поступательном движении

неинерциальной системы отсчета имеет одно и тоже значение для всех точек этой системы. Это следует из (9.6): сила инерции зависит только от ускорения, с которым начало неинерциальной системы движется относительно инерциальной системы .

Итак, движение относительно рассматриваемой неинерциальной системы можно исследовать двумя способами. Можно определить закон движения материальной точки в некоторой инерциальной системе, используя второй закон Ньютона в его стандартном виде, а затем пересчитать его относительно неинерциальной системы, т. е. получить из закона преобразования координат (9.1) (при условии, конечно, что закон движения неинерциальной системы известен). Но можно сразу решать задачу в неинерциальной системе отсчета с помощью видоизмененного второго закона Ньютона (9.7), в котором в правой части к реальной силе , определяемой взаимодействием рассматриваемого тела с другими телами, добавлена сила инерции ин, опре-