студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Г л а в а 3

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

Как известно, основные законы механики в ее классическом варианте были сформулированы Ньютоном. И хотя их формулировка была не вполне адекватна современному пониманию, они, тем не менее, с успехом послужили основанием для построения динамики — науки о движении тел при заданном взаимодействии между ними. Благодаря глубокому пониманию физики дела и сильной математической интуиции, Ньютон ввел именно столько законов, сколько было нужно для этой цели — три. «Школьная» их формулировка читателю хорошо известна:

Мы опускаем подробные пояснения, поскольку все обозначения — общепринятые.

На сегодняшний день такая трактовка едва ли может нас удовлетворить. В самом деле, почему первый закон Ньютона (3.1) не рассматривается как тривиальное следствие второго? Еще сложнее обстоит дело с зависимостью (3.2). Эта формула содержит сразу две новых величины — силу и массу, которые следовало бы определять независимо. Поэтому нам следует дать согласованную и, по возможности, непротиворечивую формулировку главных законов динамики (3.1)–(3.3).

3.1. Закон инерции

Ньютон при формулировке законов механики придавал должное значение системе отсчета. Он полагал, однако, что не только время, но и пространство абсолютно, иными словами, постулировал существование выделенной системы отсчета, связанной с пространством как таковым. Хорошим приближением к такой системе он считал систему координат, привязанную к «неподвижным» звездам. Именно в такой системе отсчета формулировались законы Ньютона. Как следствие сильных неравенств, обусловливающих применимость классической механики, это приближение оказалось не так уж и плохо.

Но в действительности, как мы теперь знаем, звезды не неподвижны. Более того, развитие физики заставило научное сообщество отказаться от идеи абсолютного пространства. По современным представлениям, никаких аналогов абсолютного пространства (вроде, например, «мирового эфира») также не существует. Тем не менее, законы механики, включая релятивистскую и квантовую (но не общую теорию относительности!), принято формулировать изначально в особой системе отсчета, которая базируется на понятии свободного физического тела. Тело должно быть свободно от взаимодействия с другими телами, а это возможно лишь для тела, абсолютно уединенного. В самом деле, сколь ни слабы были бы взаимодействия между двумя, тремя и т. д. телами, все же поля — их носители — на конечном расстоянии никогда в точности нулевыми не будут. Значит, совершенная свобода предполагает бесконечную удаленность тела, являющегося предметом рассмотрения, от любых других тел.

Реальная физика, конечно, может трактовать это свойство исключительно в смысле некоторого предельного перехода, а реальные ситуации рассматривать как приближения к описанному идеальному случаю с той или иной точностью.

«Привязав» некоторую систему отсчета к такому телу, мы обнаружим, что в ней тело, ни с чем не взаимодействующее, покоится. Но тогда и в любых других системах отсчета, движущихся относительно нашей выделенной системы равномерно и прямолинейно, ускорение свободного тела должно быть равно нулю. В нерелятивистской механике это прямо следует из соотношений (2.17), в релятивистской же — это свойство придется постулировать особо. Таких систем — бесконечно много (континуум), и все они равноправны; в общем случае произвольное свободное тело в произвольной системе отсчета такого рода должно двигаться

с некоторой постоянной скоростью v.

Система отсчета, в которой абсолютно свободное тело должно пребывать в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, называется инерциальной. Именно

в инерциальных системах принято формулировать физические законы, в частности законы механики, дабы придать им по возможности универсальную силу. Поскольку абсолютно свободное тело может мыслиться лишь как идеализация, предельный

случай, существование таких систем должно постулироваться на основе опыта обращения с физическими законами. Существование хотя бы одной, а следовательно, бесконечного числа инерциальных систем отсчета, и есть первый закон Ньютона в современном его понимании.

44 Законы Ньютона [ Гл. 3

порядка 10 12. Обычно ее называют равенством инертной и гравитационной масс.

В нерелятивистском приближении, т. е. когда мы имеем дело со скоростями, много меньшими скорости света, масса тела служит мерой содержащегося в теле вещества и имеет место закон сохранения и аддитивности массы: масса изолированной системы тел не меняется со временем и равна сумме масс тел, составляющих эту систему. Поэтому в нерелятивистской механике масса тела пропорциональна его объему. В то же время в релятивистской механике масса тела не является аддитивной величиной. Правильно говорить лишь об энергии покоя тела. Эта энергия не равна сумме энергий покоя ее составляющих, причем необходимо учитывать еще энергию связи между частицами. Именно поэтому, например, масса ядра не равна сумме масс составляющих его частиц — нейтронов и протонов. Однако когда мы переходим к макроскопическим телам, величина энергии связи и поверхностная энергия оказываются столь малыми, что их можно не учитывать. Так, например, свободная поверхность

воды дает вклад в массу порядка 7 10 19 кг/м2.

В настоящее время за единицу массы принят килограмм — масса платино-иридиевого тела, хранящегося в Международном бюро мер и весов во Франции.

Определиться с соотношением между силой, массой и ускорением помогает измерение веса тел в однородном поле тяжести. В земных условиях оно, правда, не так уж и однородно, но того, с чем реально приходится иметь дело в повседневной жизни, вполне достаточно для введения первичного понятия. Опираясь на эксперименты с пружинными весами, — при малом относительном удлинении пружины (чтобы не сказалась нелинейность деформации) — можем ввести понятие веса как величины, пропорциональной удлинению пружины. Вес оказывается пропорционален массе тела: Затем, убедившись, что все тела в пустоте падают с одинаковым ускорением , приходим к соотношению Оно явно выглядит как частный случай формулы (3.2).

Уравнение (3.2) при исследовании движения тел предпочти-

Тем самым исключаются возможные недоразумения в случае неравноускоренного или непрямолинейного движения. Второй закон Ньютона, согласно опыту, описывает произвольное движение материальлной точки.

Сила тяжести представляет собой гравитационное взаимодействие, или гравитационное поле. Как мы уже отмечали в гл. 1,

помимо гравитационного, лишь электромагнитное взаимодействие может быть предметом рассмотрения классической механики. Но последнее проявляется часто не в «чистом» виде

типа закона Кулона, а в форме приближенных, усредненных сил, таких, например, как упругие силы и силы трения. Вывод

их из основных законов электродинамики далеко выходит за рамки классической механики, которая пользуется феноменологическим описанием таких сил, базирующемся на обширном

экспериментальном материале.

Под действием приложенных сил всякое реальное тело деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. При этом меняют свое расположение и входящие в состав молекул тела элементарные электрические заряды. Под действием электромагнитных сил они стремятся восстановить свое первоначальное положение, а вместе с ними и все тело стремится вернуться

висходное положение. Если после прекращения действия внеш-

них сил тело принимает в точности первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, когда сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторого определенного для каждого конкретного тела предела (предела упругости). Возникающая

врезультате упругой деформации сила со стороны тела, обусловленная стремлением внутренних электрических зарядов восста-

Коэффициент пропорциональности называется жесткостью или коэффициентом жесткости пружины. Утверждение о

пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука, названного по имени известного английского физика Р. Гука (1635–1703) — современника Ньютона. Это утверждение относится не только и не столько к деформации пружины, но прежде всего к малым деформациям простых образцов, выполненных из кристаллических веществ, а также — с б´ольшими оговорками — аморфных и высокополимерных материалов.

Электромагнитное взаимодействие лежит также в основе сил трения, которые играют очень важную роль при движении окру-

жающих нас тел. Мы еще остановимся подробнее на этом явлении, здесь же отметим, что эффект трения обусловлен взаимодействием электронных оболочек атомов (молекул), прилежащих к поверхности тела.

Из закона (3.4) можно определить размерность силы через

базовые (эталонные) величины и, соответственно, единицу силы — 1 ньютон (1 Н):

3.3. Выбор единиц измерения и системы единиц. Размерности физических величин

Остановимся подробнее на весьма важном вопросе о единицах физических величин. (Поскольку физика занимается самыми фундаментальными законами природы, она порождает единицы измерения, которые используются также в химии, биологии и технических науках.)

Законы физики устанавливают соотношения между физическими величинами, доступными измерению. Измерить какуюлибо физическую величину (например, время) означает сравнить ее с величиной того же вида (в нашем случае — с определенным промежутком времени), принятой за единицу измерения этой величины. В принципе, для каждой физической величины, независимо от других, можно выбрать свою единицу измерения. Например, за единицу ускорения можно было бы выбрать ускорение свободного падения и «присвоить» ей какое-либо специальное название. Оказывется, однако, что можно ограничиться выбором единиц всего для нескольких величин, принятых за основные. При этом единицы измерения для всех остальных величин будут уже определяться автоматически через эти основные единицы с помощью физических законов, связывающих выбранные величины друг с другом.

Именно таким образом в настоящее время установлена

Международная система единиц — СИ (от начальных букв английского названия System International). Основными единицами

СИ в механике являются единицы измерения для трех фундаментальных свойств окружающего нас мира: пространства, времени и массы. Конкретно, такими единицами в системе СИ являются:

единица длины — метр (сокращенное обозначение — м), единица времени — секунда (с) и единица массы — килограмм (кг). Кроме

этих трех единиц, СИ принимает в качестве основных единицу силы тока — ампер (A), единицу температуры — кельвин (K), единицу силы света — канделу (кд) и единицу количества веще-

ства — моль (моль). Об этих единицах речь пойдет в соответствующих разделах курса.

Выбранные основные единицы соответствующим образом связаны с эталонными величинами, о которых мы говорили ранее. Так, метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 с (приближенно метр равен 1 40 000 000 доле длины земного экватора). Секунда равна сумме 9 192 631 770 периодов электромагнитных волн определенного типа, испускаемых атомом цезия (приближенно она равна 1/86 400 средних солнечных суток). Наконец, килограмм совпадает с эталоном массы, то есть равен массе платино-иридиевого стержня, хранящегося в Международном бюро мер и весов во Франции. Эта масса близка к массе 1 000 см3 чистой воды. На практике применяются также кратные единицы: километр (1 км 103 м), сантиметр (1 см 10 2 м), миллиметр (1 мм 10 3 м), микрометр (1 мкм 10 6 м); минута, равная 60 секундам; один грамм, равный 1/1 000 килограмма и т. д. В исследовательской практике иногда пользуются внесистемными единицами, удобными для ка- ких-либо конкретных задач, например: 1 ангстрем (˚A) 10 10 м; 1 электронвольт (эВ) 1,6 10 19 Дж; 1 парсек (пк) 3,1 1016 м и т. д. В зависимости от порядка величины производных единиц

для их наименования используются приставки: милли10 3, микро10 6, нано10 9, пико10 12, фемто10 15; кило103, мега106, гига109, тера1012 и т. д., а для

обозначения — соответственно: м, мк, н, п, ф; к, М, Г, Т. Единицы измерения всех системных физических величин

являются производными от основных единиц. Так, за единицу скорости в СИ принимается скорость равномерно движущегося тела, проходящего в единицу времени (секунду) путь, равный единице длины (метр). Обозначается эта единица как м/с. За единицу ускорения принимается ускорение равномерно-перемен- ного движения, при котором скорость тела за единицу времени (секунду) меняется на единицу скорости (на 1 м/с). Эта единица в СИ обозначается как м/с2. Единица силы в СИ определяется соотношением (3.6): 1 Н равен силе, под действием которой тело с массой 1 кг получает ускорение 1 м/с2.

собственное, его сокращение принято писать с большой буквы, и не только как таковое, но и в составных сокращениях. Например: 1 ньютон 1 Н, 1 милливольт 1 мВ, 1 мегаджоуль1 МДж и т. д.

Кроме системы единиц измерения СИ, в науке и технике используются иногда и другие системы единиц. В научной практике часто применяется так называемая СГС-система. Основными

единицами этой системы являются сантиметр, грамм и секунда. Единица силы в СГС-системе называется диной (дин). Одна дина

равна силе, под действием которой тело с массой 1 г получает ускорение 1 см/с2. Между ньютоном и диной имеется следующее соотношение:

1 Н 1 кг 1 м/с2 103 г 102 см/с2 105 дин

Нетрудно видеть, что изменение основных единиц влечет за собой изменение производных единиц. Для того чтобы охаракте-

ризовать эту связь производных и основных единиц измерения, в физике вводится понятие размерности физической величины,

которая показывает, как изменяется значение единицы измерения этой величины при изменении основных единиц. Для обозначения размерности произвольной величины используется ее буквенное обозначение, взятое в квадратные скобки. Так, например, символ означает размерность скорости. Размерность основных величин обозначается специальным образом: размерность длины — L, времени — T, массы — M. Таким образом, обозначив длину буквой , время буквой , массу буквой , можно написать:

; ;

Какова, например, размерность скорости? Mодуль скорости определяется соотношением (для сколь угодно малых). Так как физические определения и законы не могут зависеть от выбора единиц измерения фигурирующих в них величин, размерности обеих частей уравнений, выражающих эти законы, должны быть одинаковы. Размерность равна L, размерностьравна T.

Следовательно, размерность скорости равна

1

Последняя запись означает, что при увеличении единицы длины в 1 раз единица измерения скорости увеличится в 1 раз, а соответствующее число, которым выражается скорость в этих единицах, уменьшится в 1 раз. А при увеличении единицы времени в 2 раза единица измерения скорости уменьшится в 2 раза, а выражающее скорость число увеличится в 2 раза. На-

пример, пусть задано значение скорости 10 м/с, а мы хотим представить ее в единицах км/ч. В этом случае 1 1 000, а2 3 600. В результате в новых единицах измерения значение скорости станет равным

10 3 600 1 000 км/ч 36 км/ч

Аналогично скорости можно установить размерность ускоре-

ния:

1 2

Размерность силы (см. (3.6)):

2

Аналогичным образом устанавливаются размерности всех прочих величин. В каждом конкретном случае «инструментом» для введения новой единицы служит физический закон, в котором впервые появляется соответствующая величина. Обратим внимание еще раз на методологическую проблему, которую в традиционном изложении порождает формула (3.2).

Отметим, что контроль размерности физических формул является мощным инструментом проверки правильности проведенных вычислений. Более того, в современной физике (а прежде всего — как раз в механике) на этой идее основаны некоторые теоретические методы получения новой информации (точнее, они базируются на законах подобия или скэйлинге — родственных понятиях более высокого уровня). По этой причине в физических формулах обычно не принято доводить сокращение до максимально тривиального вида с точки зрения алгебры, вместо этого предпочтительно формировать сомножители с наиболее выразительной размерностью или безразмерные отношения.

3.4. Понятие импульса. Третий закон Ньютона

Закон (3.4) описывает не только одномерное, но сколь угодно сложное движение материальной точки со всеми особенностями траектории, обсуждавшимися в предыдущей главе. Он, конечно же, информативнее «школьной» формулы (3.2), потому что прямо дает в наши руки дифференциальное уравнение, решая которое при надлежащих начальных или граничных условиях, мы можем в принципе определить траекторию

Но оказывается, что с физической точки зрения предпочтительна не математически совершенная форма второго закона Ньютона (3.4), а несколько иная:

Величина p называется импульсом материальной точки (ста-

рое название, до сих пор употребительное в теоретической механике — количество движения). Если записать (3.7) в прибли-

женной форме конечных малых приращений,

,

то величина, стоящая в правой части, именуется импульсом силы за время . В настоящее время этот термин употребляется редко.

Представим теперь любое макроскопическое тело (твердое, жидкое, сыпучее) как совокупность материальных точек и присвоим каждой из них индекс суммирования, обозначив его в общем случае буквой . Тогда для тела в целом из (3.7) следует:

Опыт (включая прецизионные эксперименты) показывает, что соотношения (3.7), (3.8) справедливы не только тогда, когда они тривиальным образом следуют из (3.4), но и в тех случаях, когда приходится иметь дело с телами переменной массы. Более того, (3.7), (3.8) могут быть перенесены в релятивистскую механику, где закон (3.4) уже не имеет места. А в квантовой механике, где в принципе отсутствует понятие скорости, понятие импульса сохраняется и играет роль одного из самых фундаментальных. Наряду с энергией, которую мы введем в гл. 4, импульс принадлежит универсальному языку физики, который может быть использован безотносительно к приближению, в котором мы работаем. Именно на этом языке формулируется обобщение третьего закона Ньютона (3.3) на случай любой, а не только ньютоновской, механики.

Вводя понятие инерциальной системы отсчета, мы опирались на идеализированную модель уединенного физического тела. Мы предполагали при этом, что означенное тело можно либо смоделировать материальной точкой, либо представить его в виде жестко связанной совокупности таковых. Это, конечно, модель достаточно грубая — по крайней мере, атомы, из которых состоит любое макроскопическое тело, отнюдь не являются статическими системами, так как движение электронов в атоме или нуклонов в ядре — свойства неустранимые. Рассмотрим систему более свободную. Пусть материальные точки не будут, вообще говоря, жестко связаны друг с другом. Они в общем случае все взаимодействуют друг с другом, но иногда этим взаимодействием можно с заданной точностью пренебречь, а иногда, напротив, образуют какие-то связанные ансамбли — систему макроскопических

тел. Таким образом мы переходим от идеи абсолютно изолированного тела к идее замкнутой системы физических тел или, что то же, изолированной системы материальных точек.