Метод конечных элементов. Основы

ленной в разд. 2.3 матрицы с помощью вычеркивания третьих и четвертых столбцов и строк. В результате имеем

Применяя это преобразование к матрице жесткости следующим

~3£Х + 2Я/ ’

т.е. точное уравнение податливости для этой конструкции. Интересно отметить, что конденсация матрицы жесткости озна­

чает удовлетворение условиям равновесия, которые соответствуют исключаемым элементам.

Возможность использовать данный подход для конденсации представится в разд. 3.5. Он будет также применяться в книге и для ряда других целей.

2.9. Выделение мод движения тела как твердого целого

Обычный подход к построению определенных типов элементов, осо­

в получаемой матрице жесткости. В настоящем разделе определяют­ ся алгебраические операции, которые необходимо проделать с мат­ рицей жесткости элемента, чтобы получить эту информацию.

Включение степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого, в совокупность уравнений жесткости элемента приводит к линейной зависимости некоторых уравнений от других. Линейная зависимость существует в системе уравнений, если одно из них можно записать как линейную комбинацию других уравне­ ний системы. Можно также интерпретировать линейную зависи­ мость и с геометрической точки зрения: систему уравнений л-го

порядка можно представить как систему из п векторов с проекциями (компонентами) на п осей. Если два вектора — в нашем случае наборы коэффициентов двух уравнений — коллинеарны, то имеет место линейная зависимость.

Коэффициенты системы уравнений жесткости элемента, вообще говоря, связаны, т. е. внедиагональные коэффициенты отличны от нуля. Поэтому каждая строка есть вектор с отличными от нуля проекциями на более чем одно из п главных направлений. Указан­ ные строки можно преобразовать в векторы, соответствующие п главным направлениям. Эти векторы имеют одну ненулевую ком­ поненту, лежащую на главной диагонали матрицы, и образуют в совокупности диагональную матрицу. Если пара исходных век­ торов коллинеарна, то один из диагональных элементов окажется равным нулю (число главных направлений меньше, чем размерность исходных векторов на единицу). Если существует s наборов коллинеарных векторов, то на диагонали матрицы, задающей главные на­ правления, будет s нулевых элементов.

Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям); число диагональных нулевых эле­ ментов равно числу указанных мод. Чтобы выполнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью опреде­ лим вначале характеристическое уравнение для матрицы [к]. Ха­ рактеристическое уравнение для матрицы [к) есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта |к—col |=0. Если [к] — матрица порядка пХп, то для (о получается

<0;, есть ненулевой вектор {df}, удовлетворяющий уравнению Ik]{di} = {di}(oi.

При условиях, широко распространенных в анализе линейных систем, собственные векторы ортогональны по отношению к мат­ рице [к]. Согласно этому свойству, для двух произвольных собст­

2.8.Проверьте выполнение условий равновесия для третьего и четвертого столб­ цов матрицы жесткости треугольного элемента, находящегося в плоском напря­ женном состоянии (см. рис. 5.4).

2.9.Проверьте выполнение условии равновесия для первого и шестого столбцов матрицы жесткости прямоугольного элемента, находящегося в плоском напря­ женном состоянии (см. рис. 9.13).

2.10.Проверьте выполнение условий равновесия для первых двух столбцов матрицы жесткости прямоугольного пластинчатого элемента при изгибе, пред­ ставленной в табл. 12.1.

2.11.На рис. P 2 .ll приведена матрица жесткости трехузлового стержневого эле­ мента. Осуществите конденсацию этого представления и получите систему урав­

в плоском напряженном состоянии, задана в координатных осях (*', у'), причем {F }=[к] {Д }, где

L A J — L М1 Из v\ v'2 v3J .

Для изображенного на рис. Р2.12 элемента постройте матрицу преобразования к осям (х', у', г') глобальной системы координат.

2.13. Вычислите собственные значения п собственные векторы матрицы жесткости для простого изгибаемого элемента и интерпретируйте результат с точки зрения движения тела как твердого целого.

удовлетворение условиям равновесия, отвечающим исключенным перемещениям. Обсудите смысл конденсации матрицы податливости,

2.16. Матрица жесткости стержневого элемента [к] построена в ортогональных осях х и у и должна быть преобразована к косоугольной системе координат х', у 1. Постройте преобразованную матрицу жесткости.

Рис. Р2.16.

3

СПОСОБЫ ГЛОБАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ

Существуют три основные группы методов построе­ ния алгебраических уравнений, отвечающих полному (глобальному) конечно-элементному представлению конструкций: методы переме­ щений (жесткости), методы сил (податливости) и смешанные методы. Вид этих уравнений аналогичен виду уравнений для элемента, оп­ ределенных в разд. 2.3. Данные группы методов соответствуют различным формам энергетических принципов, и в дальнейшем бу­ дет удобно разрабатывать эти методы, опираясь на энергетические подходы. В данной главе изучаются два различных подхода к по­ строению одного и того же типа глобальных уравнений, а именно уравнений жесткости, в которых роль неизвестных величин играют перемещения в узлах. Чтобы реализовать эти подходы, требуется лишь знание алгебраической формы записи матрицы жесткости конечного элемента и обозначений, введенных в разд. 2.3. Сами же подходы заключаются попросту в учете условий равновесия и не­ прерывности перемещений в узлах для полной аналитической ко­ нечно-элементной модели.

Цель указанных рассмотрений состоит в обеспечении читателя достаточными средствами для построения глобальных уравнений на основе соотношений для элементов, устанавливаемых в после­ дующих глава*, а не в тщательном обзоре возможных средств построения уравнений в методе конечных элементов. Жесткостные представления ныбраны для описания потому, что, с точки зрения автора, это наиболее простые и эффективные из известных представ­ лений. Кроме того, необходимо добавить, что использование жесткостных представлений налагает мало ограничений (или вообще не вносит ограничений) на характер задания конкретных уравнений

в форме уравнений податливости), то их можно преобразовать к дру­ гому виду (в данном примере возможно преобразование в уравнения жесткости).

Существует много различающихся деталями вариантов построе­ ния глобальной системы уравнений жесткости. Рассматриваемые в данной главе подходы — это прямые методы жесткости и методы конгруэнтных преобразований. Изложив эти методы, в разд. 3.4 задержимся для того, чтобы сделать обзор преимуществ (и некото­ рых ограничений) метода конечных элементов как общей процедуры расчета конструкций. В разд. 3.5 перейдем к изучению специальных операций над глобальными уравнениями, при этом часть операций необходима, а часть полезна. Сюда входят разбиение на подконст­ рукции, наложение ограничений и использование координат узлов.

В гл. 7 мы вернемся к вопросам расчета конструкции в целом, где уравнения жесткости будут изучены с других позиций. Кроме того, здесь же будут объяснены некоторые свойства решений, которые не могли быть объяснены прежде, а также изучены альтер­ нативные формы глобальных уравнений (например, глобальные уравнения податливости). Так как в данном тексте основное внима­ ние уделяется вопросам, связанным с построением элементов, то детальному описанию примеров глобальных уравнений отводится мало места. Читателю, интересующемуся подобными вопросами, следует обратиться к многочисленным книгам, по матричным мето­ дам расчета конструкций (см., например, [3.1—3.4]).

3.1. Прямой метод жесткости. Основные понятия

Полный набор соотношений между силами и перемещениями для элемента с п степенями свободы, еогласно (2.1), имеет вид

F1 = k11\ + k12k 2+ ... Ч-Л^ДуЧ-. . . + kinhn1

Предполагается, что преобразование координат уже проведено, поэтому степени свободы отвечают глобальной системе координат конструкции. Числами 1 обозначены степени свободы в узлах элемента, и для рассматриваемого случая они соответствуют гло­ бальной системе нумерации тех же узлов. В каждой строке урав­ нений (3.1) имеются все степени свободы. Способ крепления элемен­ та не задан.

Как только соотношения между силами и перемещениями в эле­ менте определены численно для каждого элемента конструкции,

применение прямого метода жесткости заключается в объединении указанных соотношений в алгебраическом виде, как того требуют условия равновесия и совместности в узлах соединения элементов. Эти операции приводят к системе уравнений, связывающих силы

Д9

Рис. 3.1. Типичный узел внутри плоской конструкции.

Рис. 3.2. Анализ равновесия в направлении Р,-—А/.

и перемещения в узловых точках элементов для конечно-элементной модели всей конструкции.

Чтобы проиллюстрировать эту методику, рассмотрим вывод уравнения связи между силами и перемещениями в точке q в на­ правлении х для изображенной на рис. 3.1 аналитической конечно­ элементной модели. Обозначим величины, отвечающие направлению х в точке q, нижним индексом i. Все изображенные элементы — три