Метод конечных элементов. Основы

Осесимметричные оболочечные конструкции, изображенные на рис. 1.1(f), важны на практике так же, как и осесимметричные сплошные конструкции, однако здесь определяющие соотношения выводятся с использованием упрощающих предположений теории тонких оболочек. Теория осесимметричных тонких оболочек за­ полняет пробел между теорией изгиба и растяжения плоских пла­ стин и теорией тонкостенных оболочечных элементов общего вида; эта теория позволяет выявить ключевые аспекты, возникающие при исследовании оболочек общего вида.

Если тонкостенная оболочечная конструкция искривлена, то для ее аналитического описания предпочтительно использовать

криволинейные тонкостенные оболочечные элементы. К преиму­ ществам указанных элементов относятся возможность более точного описания геометрии поверхности исследуемой оболочки и правиль­ ный учет взаимосвязи растягивающих и изгибающих усилий в обо­ лочке. Типичные элементы, соответствующие закрученной в двух направлениях оболочке, представлены на рис. 1.1(g). Существует большое количество разнообразных элементов подобного типа.

1.3. Некоторые приложения метода конечных элементов

Чтобы проиллюстрировать, каким образом используются описанные выше элементы в вычислительных задачах, возникающих при проектировании конструкций, а также объем и сложность указан­ ных проблем, приведем ряд примеров численного анализа приклад­ ных задач проектирования.

Развитие метода конечных элементов многим обязано работам исследователей, занятых проектированием аэрокосмической тех­ ники, поэтому не удивительно, что именно эта область исследований остается ведущей по количеству приложений метода конечных элементов. Рисунок 1.2 отражает много аспектов использования метода конечных элементов при расчете конструкции самолета «Боинг-747» [1.16]. Фюзеляж самолета состоит из тонких листов металла (обшивка), охватывающих несущую конструкцию, набран­ ную из элементов, называемых шпангоутами и стрингерами. Силовые элементы крыла называются лонжеронами и нервюрами.

Опыт показал, что при расчете полей напряжений во всей конст­ рукции можно не учитывать локальное выпучивание обшивки летательного аппарата. Поэтому обшивку можно представить со­ стоящей из плоско-напряженных элементов, таких, как изображен­ ные на рис. 1.1 (Ь) и (с) треугольные и четырехсторонние элементы, а несущую конструкцию можно смоделировать набором элементов типа изображенных на рис. 1.1(a). Расчет методом конечных эле­ ментов участка соединения крыла с фюзеляжем самолета «Боинг747», изображенного на рис. 1.2(b), потребовал около 7000 неиз-

Рис. 1.2. Конечно-элементный анализ самолета «Боинг-747» (из [1.16]). (а) Само­ лет «Боинг-747» (заштрихованные области отвечают исследованным с помощью метода конечных элементов участкам конструкции самолета). (Ь) Подконструкции, используемые в конечно-элементном анализе заштрихованных областей.

вестных переменных. Наличие столь большого количества неиз­ вестных неудобно с точки зрения обработки начальных данных и выявления возникающих при счете ошибок. Поэтому на практике конструкцию обычно разбивают на части или, иными словами, на

подконструкции (суперэлементы) и каждая из подконструкций рас­ считывается методом конечных элементов. На конечном этапе рас­ четов суперэлементы объединяются с помощью обычной конечноэлементной схемы. Вид разбиения на подконструкции при расчете

Таблица 1.1. Параметры конечно-элементного представления центральной части самолета «Боинг-747» (из [1.16])

*) Некоторые нагруженные секции включают более чем одну подконструкцию,

t) Некоторые степени свободы при взаимодействии подконструкций образуют одну связанную степень свободы.

методом конечных элементов «Боинга-747» изображен на рис. 1.1 (Ь), а подробности счета приведены в табл. 1.1.

Как обычно, при проектировании самолета проводятся натур­ ные испытания «Боинга-747». На рис. 1.3 приведено сравнение экспериментальных данных с результатами расчета методом конеч­ ных элементов. Следует отметить, что ни одно из численных решений, полученных другими методами на основе упрощающих предполо­ жений, при проектировании конструкций не привело бы к столь точному совпадению, чем это было достигнуто с помощью метода конечных элементов.

Следует также добавить, что анализ динамического поведения летательного аппарата важен как для осуществления компоновки аппарата, так и для оценки несущей способности и упругой неустой­ чивости, являющейся существенной формой разрушения самолета. Ни одно из перечисленных явлений нельзя адекватно исследовать численно на базе упрощающих предположений, кроме как методом конечных элементов.

Прикладные задачи подобного вида возникают и в судостроении. На рис. 1.4 изображена центральная часть конструкции корабля [1.17]. Стремление увеличить размеры танкеров привело к возник­ новению многочисленных проблем, связанных с компоновкой судна и эффективностью его проектирования. Вообще говоря, супер­ танкеры при эксплуатации подвержены многочисленным повреж­ дениям.

Представление конструкции судна конечно-элементной моделью имеет много общего с моделированием аэрокосмических конструк­ ций. Плоские элементы конструкции заменяются пластинчатыми конечными элементами. Фермовые конечные элементы используются при моделировании внутреннего силового набора судна. Общее число неизвестных, возникающих при моделировании наиболее от­ ветственных участков конструкции судна, может достигать 50 000,

Осевое напряжение в фюзеляже Снормированное)

Рис. 1.3. Сравнение результатов натурных испытаний с результатами расчетов методом конечных элементов (из [1.16]). О значения осевых напряжений, полу­ ченные при испытаниях; П значения напряжений в обшивке, полученные при ис­ пытаниях. 1 — вычисленные напряжения с помощью четырех конечных элемен­ тов для «Боинга-747»; 2 — вычисленные напряжения с помощью пяти конечных элементов для «Боинга-747».

поэтому обычно разбивают исследуемую конструкцию на части с меньшим числом неизвестных, т. е. на подконструкции.

Требования надежности, предъявляемые при проектировании к конструкции ядерных реакторов, привели к повсеместному ис­ пользованию при расчетах указанных конструкций метода конеч­ ных элементов. На рис. 1.5(a) изображен бетонный предваритель­ но напряженный корпус реактора [1.18]. Благодаря симметрии корпуса можно рассчитывать только восьмую его часть (см. рис. 1.5(b)). Этот объем представляется как объединение изображен­ ных на рис. 1.5(c) четырехгранных и шестигранных конечных элементов. В задачах подобного типа число неизвестных достигает

Рис. 1.5. Конечно-элементный анализ предварительно напряженного бетонного корпуса реактора, (а) Реальная кон­ струкция; (Ь) восьмая часть реальной конструкции; (с) конечно-элементное представление (тетраэдральные элементы).

20 000 и обычно при расчетах учитывают неупругое деформирова­ ние материала.

Не все задачи, для получения численного решения которых используется метод конечных элементов, столь громоздки. Ри­ сунки 1.6 и 1.7 иллюстрируют использование метода конечных элементов для двух основных задач механики конструкций. Одной

Область В

Рис. 1.6. Конечно-элементный анализ перфорированной балки (из [1.19]). (а) Исходная балка; (Ь) перфорированная балка зубчатой формы; (с) конечно-элемент­ ное представление области В\ (d) напряжения в сечении А — А, вызванные прик­ ладываемым моментом. 1 — решение, полученное с помощью днумерной теории упругости; 2 — решение, полученное методом конечных элементов; 3 — решение на основе балочной теории.

из возможностей увеличения эффективности проектов прокатанных стальных профилей является прием, когда полка профиля пилооб­ разно разрезается, как указано на рис. 1.6(a), а затем верхняя половина приваривается к нижней согласно рис. 1.6(b). В резуль­ тате получается балка зубчатой формы, поведение которой можно исследовать с помощью приближенных методов. Для проверки результатов, полученных с помощью приближенной теории [1.191, применяется изображенная на рис. 1.6(c) конечно-элементная мо­ дель указанной конструкции, использующая треугольные и прямо­ угольные элементы. Графики, приведенные на рис. 1.6(d), показы­ вают, что для определения максимального напряжения в конструк­ ции вполне достаточно использовать балочную теорию, а требую­ щий больших вычислительных затрат метод конечных элементов или более сложные методы численного анализа не нужны при стан­ дартных проектировочных разработках данного конструктивного элемента.

Еще чаще встречающаяся на практике задача состоит в расчете армированной железобетонной балки, изображенной на рис. 1.7. Здесь мало известно относительно характера связей между бетоном

тов можно с успехом использовать в задачах, требующих определе­ ния внутренних деформаций и напряжений, перемещений, мод колебаний и потери устойчивости и целого ряда других параметров. Это положение имеет место для многих областей, которые обычно считаются не связанными друг с другом техническими дисциплина­ ми, например в строительной механике, машиностроении, судо­ строении и аэрокосмической технике. Метод конечных элементов обеспечивает получение решений в этих и других областях на основе единой методики.

Задачей книги является изложение фундаментальных теорети­ ческих положений метода, поэтому далее в ней не будут затраги­ ваться специфические аспекты использования метода в прикладных задачах. Перечисление таких проблем потребовало бы многих то­ мов. Читателю предлагается обратиться к трудам конференций по методу конечных элементов, в которых излагается большое коли­ чество решений разнообразных прикладных задач.

1.4. Программы общего назначения

Как уже отмечалось, соотношения метода конечных элементов носят настолько общий характер, что теоретически возможно соста­ вить единую вычислительную программу, способную решить все вышеназванные задачи и практически неограниченное число разно­ образных задач механики конструкций. Вычислительные програм­ мы, отвечающие этой цели даже в ограниченном масштабе, называ­ ются программами общего назначения. Преимущество таких про­ грамм состоит не только в указанной возможности, но и в едино­ образии, достигаемом в инструкциях для будущих пользователей и при обработке входных и выходных данных, а также в докумен­ тации.

Стоимость затрат на создание программы общего назначения обычно очень велика, поэтому здесь важны пути восполнения этих затрат. Некоторые программы общего назначения пишутся на ма­ шинном языке, который является достаточно общим, чтобы обеспе­ чить доступ к программам большому числу различных организа­ ций, расположенных территориально в разных местах. Другие программы специально составляются таким образом, чтобы ими могли пользоваться заинтересованные лица только одной органи­ зации, а экономическая эффективность достигается путем ограниче­ ния программных возможностей. Заметим поэтому, что не все ука­ занные программы обладают достаточной степенью общности. Был опубликован ряд обзоров, касающихся программ общего назначе­ ния [1.21, 1.22], однако читатель должен помнить, что данная область является одной из наиболее быстро меняющихся во всех своих аспектах.

Представленные на схеме, изображенной на рис. 1.8, четыре части являются общими практически для всех программ метода конечных элементов общего назначения. Как минимум на стадии ввод от пользователя не требуется никакой другой информации, кроме данных о материале конструкции, описания геометрии конеч­ но-элементной модели (включая условия закрепления) и условий нагружения. Для более сложных программ общего назначения ввод осуществляется с использованием хранимых в памяти машины данных о характеристиках материала, методиках автоматического

Рис. 1.8. Блок-схема вычислительных программ при анализе конструкций.

построения сетки конечных элементов, стереографического изобра­ жения конечно-элементной модели, так что до начала вычисления представляется возможность выявить ошибки.

Для настоящей программы этап реализации, озаглавленный библиотека конечных элементов, имеет принципиальное значение. Здесь хранится закодированная процедура построения конкретных элементов. Во многих программах общего назначения хранятся все изображенные на рис. 1.1 элементы, а также целый ряд других элементов и альтернативные модели для элементов указанных ти­ пов. Например, может храниться треугольный элемент при изгибе. В идеале библиотека элементов должна иметь возможность непре­ рывно пополняться моделями конечных элементов любой степени сложности.

На этапе реализации программы, озаглавленной библиотека конечных элементов, осуществляется выборка из памяти начальных