Метод конечных элементов. Основы
.pdfРассмотрим теперь слагаемое V*, входящее в выражение для дополнительной энергии. Задаваемые в точках (узлах) параметры функции напряжений не являются при анализе заданными вели чинами, и, кроме того, соответствующие им параметры деформации не имеют важного для приложений физического смысла. Поэтому методика, в которой узловые параметры деформации являются за данными величинами, не имеет в настоящем рассмотрении никакого значения, и можно считать У*=0. Тогда, согласно (6.68) и (7.35),
пв= £/*=(1_ф _|/2)1Л {Ф>,
иочевидно, что вариация Пс по Ф приводит к следующему резуль тату: [F] {Ф}=0*>. Однако ясно, что в рассмотрении мы еще не выделили реально действующих нагрузок. Выполняя это, получим ограничения, обеспечивающие правильный характер решения.
ного состояния. На стороне элемента, параллельной оси х, действует нормальное напряжение оу, как изображено на рис. 7.9. Согласно (4.4), в любой точке на этой стороне д^Ф/дх^—Оу. Дважды интегри руя это выражение и определяя константы интегрирования через
Ф и дФ/длс=Ф* в концевых точках |
(т. е. через Фг, Ф^, Ф*., Ф^), |
|
получим |
а |
|
|
|
|
—Ф*, + ФЛ/ = |
S ау dx, |
(7.36а) |
|
и |
|
|
а х |
|
—Ф ,+ (1)/ — ФЖ(.а = 55 °у^х - |
(7.36Ь) |
|
|
и к |
|
Так как оу задана и является функцией только от х , то можно вы числить интегралы в соотношениях (7.36а, Ь). Таким образом, получим два уравнения, которые задают ограничения. Учитывая аналогично все остальные граничные условия для напряжений,
Если существуют начальные деформации или объемные силы, то справа стоит не нуль. Однако это обстоятельство не меняет причин, побуждающих стро ить ограничения, учитывающие поверхностные нагрузки.
получим дополнительные ограничения. Сохраняя введенные ранее обозначения, запишем полную систему уравнений, задающих огра ничения в виде
[G] {<D}={s}. |
(7.37) |
Эти ограничения можно учесть с помощью метода множителей Лагранжа (см. разд. 7.3) либо с помощью метода конденсации (п. 3.5.2). Используя первый метод и обозначая через [_A,J вектор множителей Лагранжа, выпишем следующий расширенный функцио нал дополнительной энергии:
П? - |
Ш {Ф! + LЬ J[G] {Ф| — L J М- |
(7.38) |
Варьируя по {Ф} и |_ ^ J , получим
Эта система разрешима, потому что указанные выше ограничения, соответствующие движению тела как твердого целого, включены в эту систему. Они фигурируют и в уравнениях (7.37), если эти урав нения выписаны для системы приложенных нагрузок, которые полностью уравновешены. Так как в анализе обычно имеются неиз вестные реакции опоры, которые не позволяют определить полную самоуравновешенную систему поверхностных сил, то, вообще говоря, необходимо учитывать эти условия путем непосредственной модифи кации глобальной матрицы податливости.
Подробное изложение способов построения ограничений, реа лизующих для различных напряженных состояний силовые гра ничные условия, приводится в работах [7.5, 7.6].
Следует заметить, что указанные построения строго отвечают принципу минимума дополнительной энергии для всей конструкции только в том случае, если вид распределения прикладываемых на пряжений вдоль границ элементов совпадает с видом выбранных по лей напряжений в элементах, которым эти границы принадлежат. Если это не так, то уравнения, задающие ограничения (например, (7.37)), отвечают лишь приближенному удовлетворению условий, которые должны выполняться точно в принципе минимума дополни тельной энергии.
7.6.Свойство верхней грани для решения, получаемого
спомощью принципа минимума дополнительной энергии
Действительное решение, получаемое с помощью принципа мини мума дополнительной энергии, при определенных условиях облада ет следующим свойством: значения коэффициентов влияния для пере
мещений представляют собой верхнюю грань для значений указанных коэффициентов, которые получаются в пределе при уменьшении раз меров ячеек сетки.
Рассмотрим случай, когда задаваемые перемещения равны нулю, так что К*=0 и Пс=/У*. Для единственной прикладываемой на грузки Pi и вызванного этой силой перемещения А* имеем
U*=Pibi/2. (7.40)
Сравним точное и приближенное значения дополнительной энергии деформации, замечая, что точное значение представляет собой ми нимум. Следовательно,
|
|
tfiiactCf/Jpprox, |
|
|
(7.41) |
||||
и после подстановки (7.40) в (7.41) приходим к неравенству |
|
||||||||
ИЛИ |
P i |
( ^ i) e x a c t ^ ^ i |
(^i)approx> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A/)exact |
__/ с |
\ |
^ |
/г \ |
__ |
(Д/)арргох_ |
> |
т |
/10\ |
( p l j |
\/ |
///exact |
|
U / / / approx — |
£рТ) |
V1 |
• |
||
т. е. приближенное |
значение |
f it |
оказывается верхней |
границей. |
|||||
Как для верхней границы решения, обсуждавшейся выше, так и для нижней границы (минимум потенциальной энергии) можно дать физическое объяснение. Приближенное решение, основанное на принципе минимума дополнительной энергии, характеризуется раз рывными полями перемещений, и поэтому оно более «податливо» по сравнению с точным решением. На решение, получаемое при помощи принципа минимума потенциальной энергии и характеризующееся непрерывным, но приближенным полем перемещений, накладыва ются ограничения. Поэтому оно «жестче» точного решения.
Смешанные и гибридные формулировки не обладают свойствами нижней или верхней границ. Однако можно доказать, что они при водят к решениям, лежащим в промежутке между указанными пре делами. Предположим, например, что в гибридном методе напряже ний поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия не только внутри элемента, но и при переходе через границу элементов. Тогда традиционная формулировка на основе принципа минимума допол нительной энергии для этого поля приведет к решению, соответ ствующему верхней грани («высоко податливое» решение). Выбор поля перемещений на границе в гибридной формулировке накла дывает некоторые ограничения на конечно-элементное представле ние, уменьшает податливость и смещает получаемые решения в сторону точного решения. При этом, конечно, имеется возможность «перегрузить ограничениями» аналитическое представление и про скочить точное решение в сторону «нижней границы», соответству ющей перемещениям, обусловленным граничным полем переме щений.
Высказанные соображения имеют смысл только тогда, когда име ется привязка к известным значениям для верхней и нижней гра ниц решений, и справедливы в пределах, определяемых полями, на которых строятся решения. Это значит, что степень сложности граничного поля перемещений в гибридном методе напряжений должна в некоторой мере соответствовать предполагаемому внут реннему полю напряжений. Более сложные представления могут оказаться неэффективными. Оценки к указанным рассмотрениям можно найти в [7.7].
Литература
7.1. Fox R., Stanton Е. Developments in Structural Analysis by Direct Energy Minimization.—AIAA J., June 1968, 6, No. 6, p. 1036— 1042. [Имеется пере вод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1968, № 6 .]
7.2. Fried I. More on Gradient Iterative Methods in Finite Element Analysis.— AIAA J., Mar, 1969, 7, No. 3, p. 565—567. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1969, № 3 .]
7.3.Greene R. Е., Jones R. Е., McLay R. W., Strome D. R. Generalized Varia tional Principles in the Finite-Element Method.—AIAA J., July 1969, 7, No. 7, p. 1254— 1260. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: А1ир, 1969, No 7.]
7.4.Harvey J., Kelsey S. Triangular Plate Bending Element with Enforced Compa tibility.—AIAA J., June 1971, 9, No. 6, p. 1023— 1026. [Имеется перевод:
Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1971, № 6.]
7.5.Gallagher R. Н., Dhalla А. К. Direct Flexibility Finite Element Elastoplastic Analysis.—Proc. First Internat’l Conf. on Struct. Mech. in Nuc. React. Tech., Berlin, 1979.
7.6.Morley L. S. D. The Triangular Equilibrium Element in the Solution of Plate Bending Problems.—Aero. Quarterly, May 1968, 19, p. 149— 169.
7.7.Tong P., Pian T. H. H. Bounds to the Influence Coefficients by the Assumed Stress Method.— Int. J. Solids and Structures, 1970, 6, p. 1429— 1432.
Задачи
7.1. Разлагая соответствующие произведения матриц, проверьте, что конден сацию системы уравнений жесткости можно осуществить, полагая равными нулю силы, отвечающие исключенным степеням свободы, и строя матрицу пре образования, отвечающую этому базису (т.е. проверьте подстрочное прим, в разд. 2.7). 7.2. Вычислите смещение свободного края нагруженной на конце консольной балки (см. рис. Р7.2). С этой целью постройте матрицу жесткости для конусообразного элемента, выбирая коническую конфигурацию для эле мента и функцию формы, отвечающую конструктивному элементу постоянного поперечного сечения. Проведите расчеты для одно- и двухэлементного предста влений и проверьте для решений свойство нижней границы. [1 = 1 ^ 1 —1/2(x/L)2).]
7.3.Разработайте методику решения и выведите основные матричные соотно шения, позволяющие учесть начальные деформации в матричном методе сил (ме тоде, основанном на принципе минимума дополнительной энергии).
7.4.Выполните расчет матричным методом сил в задаче 3.5, однако без рассмот рения пластинчатых элементов.
8 |
jsft 2 5 4 7 |
7.5. Решите иллюстративную задачу из гл. 3 (рис. 3.4 и 3.6), используя подход, основанный на минимизации квадратичной функции от узловых перемещений (см. (7.11) и (7.12)).
7.6. Два прямоугольных элемента, изображенных на рис. Р7.6, должны быть соединены. Перемещения v для соответствующих элементов вдоль линии соеди нения равны
VA= |
(*—*2) (*—2*2) |
|
|
|||
2 |
(*2 2 |
J |
1 L |
Ы 2 |
||
|
||||||
|
|
в |
(' |
л * \ |
, / . я х \ |
|
v = ( C0S4 Z ) Vi + {Sm W j V*
Выпишите в алгебраической форме ограничение, которое необходимо наложить, чтобы обеспечить непрерывность перемещений в точке 2.
7.7.Постройте матрицу жесткости для изображенной на рис. Р7.7 балки в тер
минах степеней свободы w 2, Q2 и 0^. Далее задайте условия непрерывности угло-
0 |
Р2, w2 |
i p |
*г,Щ |
|
----------— - р ~ |
||||
|
||||
|
2L |
2 ! |
|
|
Рис. Р7.7. Элементы А и В |
имеют одинаковую изгибную жесткость EJ. |
|||
вых смещений в шарнире с помощью метода множителей Лагранжа и найдите прогиб в точке 2. В заключение поставьте и решите задачу, добиваясь непосред ственно непрерывности угловых смещений в точке 2. Найдите внутренний изги бающий момент в точке 2 и сравните полученный результат с результатом, найден ным с помощью метода множителей Лагранжа.
8
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА И ЕГО ГЕОМЕТРИИ
До сих пор обсуждение методов построения эле ментов носило достаточно общий характер и давало возможность применять теории, основанные на допускаемых напряжениях, функ циях напряжений, полей деформаций и перемещений. Займемся теперь проблемой выбора указанных полей, или функций поведения, на систематической и рациональной основе, наиболее пригодной для численной реализации алгоритмов метода конечных элементов. Учи тывая, что построение элементов на основе предполагаемых пере мещений получило более широкое распространение, последующее обсуждение будет затрагивать в основном вопросы выбора функций перемещений. Однако в настоящее время усиливается интерес к использованию формулировок на основе напряжений или функций напряжений, а также гибридных формулировок, причем почти все рассуждения, приводимые здесь для функций перемещений, приме нимы и для других типов функций.
В начале главы изучаются общие условия, которым должны удовлетворять выбираемые представления функций поведения. Да лее обсуждаются вопросы задания указанных представлений в виде полиномиальных рядов. Затем описывается регулярный подход к построению представлений в терминах физических степеней сво боды, т. е. в виде функций формы. Для треугольных (двумерных) элементов этот подход реализуется посредством использования треугольных координат, а для тетраэдра (трехмерный случай) — тетраэдральных координат. Далее описываются концепции, лежа щие в основе интерполяции семейств функций для двух- и трех мерных четырехугольных и шестигранных элементов.
Полезная концепция, согласующаяся с идеей функционального представления параметров поведения, заключается в представле нии конфигурации элемента в той же форме. Это позволяет опреде лить элементы более сложных очертаний, например произвольные
четырехугольники или элементы с криволинейными границами. Этот подход, названный изопараметрическим представлением, также рассмотрен в этой главе.
8.1. Требования к представлению функций поведения элемента
Одно из преимуществ использования вариационных принципов при формулировке соотношений для элемента в конечно-элемент ном анализе заключается в том, что они помогают установить тре бования к пробным функциям или полям, описывающим поведение элемента. Можно записать следующие основные условия, выте кающие из вариационных и других соображений:
1. Выбираемые функции должны обладать определенной глад костью (которая диктуется вариационной формулировкой) внутри элемента, а также при переходе через границы, разделяющие эле менты одного и того же типа или имеющие одни и те же функции формы вдоль указанных границ формы.
2 . Построенные на базе выбранных функций соотношения, связывающие силы и перемещения, должны давать нулевую энер гию деформации при движении тела как твердого целого.
3. Выбираемые функции должны включать представления по стоянных величин для соответствующих напряжений или деформа ций.
Согласно условию 1, необходимо, чтобы пробные функции были дифференцируемы столько раз, каков наибольший порядок произ водных в функционале вариационной задачи. Иначе члены, содер жащие указанные производные, обратятся в нуль или возникнет какое-либо другое несоответствие. Существование производных п-го порядка требует, чтобы в полиномиальном представлении функций поведения фигурировали по крайней мере члены п-й сте пени. Очевидно, нетрудно выбрать функцию, удовлетворяющую этому аспекту условия 1 .
Условие 1, удовлетворяющееся при переходе границы, разделяю щей элементы, называется условием межэлементной непрерывности. В разд. 6.3 показано, что если при построении соотношений между силами и перемещениями используется вариационный принцип, то условие 1 вытекает из требования однозначного определения интеграла (функционала), соответствующего указанному вариа ционному принципу. В частности, требуется непрерывность всех производных до порядка, на единицу меньшего максимального по рядка производной в функционале. При выборе функций поведения, удовлетворяющих рассматриваемому аспекту условия 1 , в конечно элементном анализе возникают более серьезные трудности. Для
простых элементов возможны регулярные методики построения тре буемых функций, которые рассматриваются в этой главе ниже.
Решение, строго соответствующее принципу минимума потен циальной энергии, при построении Пр требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлементной совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении Пс необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие усло виям равновесия на границах, разделяющих элементы. Как было показано в разд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем пре имуществом, что для них могут быть установлены границы изме нения определенных параметров решения. Кроме того, можно дока зать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сет ки разбиения [8. 1 , 8 .2 ].
Учитывая сказанное, будем уделять особое внимание опреде лению функций, которые удовлетворяют требованиям классичес ких вариационных принципов. Однако следует отметить, что неко торая степень межэлементной непрерывности требуется для функ ций, фигурирующих и в альтернативных принципах (принцип Рейсснера, гибридные принципы и т. д.), и даже для межэлементно несовместимых полей, которые соответствуют традиционным ва риационным принципам на стадии формулировки конечных элемен тов. При построении глобальных уравнений необходимо потребо вать непрерывности функций, задающих физические степени сво боды.
Для существования решения, основанного на принципе мини мума энергии, необходимо выполнение условия 2. В разд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содер жащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно опреде лить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие де формации не возникали при движении тела как твердого целого. В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация гх определяется, согласно (5.21а) и (5.22), в виде
е*=(1/*2у3) (—yaUi+y3u2).
Так как при движении тела как твердого целого Ui=u2i поэтому ел= 0. Аналогичные условия выполняются для гу и уху.
Во многих формулировках сознательно нарушается условие 2 , если представление движения тела как твердого целого выбранными функциями перемещений требует чрезмерно сложных выражений и операций при построении соотношений между силами и переме щениями для элемента. Это особенно справедливо, если построе ние осуществляется в криволинейных координатах. С целью упро щения построений для большого числа формулировок криволиней*
ных элементов допускается указанное нарушение условия равенст ва нулю деформаций при движении тела как твердого целого. Чис ленные эксперименты 18.3, 8.4] показали, что невыполнение этого условия для некоторых элементов ухудшает, но не исключает схо димость решения к правильному результату.
Более серьезные последствия возникают при нарушении усло вия 3. Невозможность аппроксимировать поле постоянных деформа ций приводит к тому, что решение сходится к неверному резуль тату и в некоторых случаях ошибка значительна. Ранее в некоторых случаях считалось целесообразным строить поле перемещений элемента, которое не аппроксимирует состояние постоянной дефор мации; в других случаях это состояние исключалось из рассмотре ния неумышленно. Сходимость к неправильному решению проис ходит из-за того, что при измельчении сетки деформированное сос тояние внутри отдельного элемента должно стремиться к состоянию с постоянной деформацией. Однако этого не происходит, так как указанного состояния в рассматриваемом представлении нет. При мер подобной ошибочной формулировки дается в разд. 12.2 .
Ниже рассмотрим два основных класса представлений функций поведения. Это — представления в виде полиномиальных рядов и функций формы. Указанные выше вопросы изучаются для обоих классов.
8.2. Полиномиальные ряды
Простейший способ аналитического описания функций поведения элемента состоит в представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обобщенными параметрами at. Даже в том случае, когда поле элемента записано в терминах функ ций формы, функции формы можно рассматривать как преобра зования полиномиального поля.
При обсуждении полиномиальных рядов будем рассматривать для простоты двумерный случай и предположим, что поле Д описы
вается единственной величиной Д. |
Запишем |
указанные полино- |
п |
или |
|
миальные ряды в виде Д= '£ xJykai, |
|
|
1=1 |
|
|
A = L p(m )J{a}, |
(8.1) |
|
где п — полное число членов ряда, а верхние индексы / и к — целые показатели степени, значения которых связаны с нижним целочис ленным индексом i следующим образом:
£= 1 / 2(/+&) (/+ & + 1) + £ + 1 . |
(8.2) |
Кроме того, через т обозначен порядок полинома, т. е. наибольшее значение показателя степени отдельного члена ряда (наибольшее
значение суммы целочисленных показателей степени / и к). Поли ном называется полным полиномом некоторого порядка, если он содержит все члены указанного порядка и ниже. Матрица-строка L р (т) J представляет, в частности, вектор пространственных пе ременных полного полинома т-го порядка. Число членов в полном полиноме дается выражением
n = l/,(m -И ) (от+2). |
(8.3) |
В качестве примера рассмотрим полный линейный полином |
|
Д= а1+ а гх+ а3у= LР (ОJ {а}. |
|
Здесь п = 3, что согласуется с (8.3). Кроме того, для |
второго члена |
/ = 1 и k=0, откуда, согласно (8 .2), t = 2 .
При изучении многих вопросов, связанных с полиномиальными рядами, удобно пользоваться так называемым треугольником Па скаля. Он имеет вид
|
<4 |
агх |
а3у |
аАх г а3ху а6у г |
|
апх г а%х гу |
а9х у г а 1йу 3 |
(константа — 1 член)
(линейная функция — 2 члена)
(квадратичная функция — 3 члена)
(кубическая функция — 4 члена)
а п х* ап х 3у а 13х 2у г а 1Аху 3 а V A
(полином 4-го порядка — 5 членов)
и т. д. для полинома любого порядка. Треугольник Паскаля пока зывает сразу, сколько членов имеется в полном полиноме любого заданного порядка.
Как правило, число обобщенных параметров выбирается равным числу узловых степеней свободы элемента. Хотя этот случай и был рассмотрен в гл. 5 и 6, далее изучим его вновь для завершенности изложения и для выявления свойств, не обсуждавшихся ранее.
Определение обобщенных параметров в терминах узловых сте пеней свободы завершается определением полиномиальных раз ложений для каждой степени свободы. При этом получаем столько
уравнений, сколько существует степеней свободы. |
Выписывая |
их в виде (8 .1), получаем |
|
{Д}=[В]{а}. |
(5.3а) |
Коэффициенты матрицы [В] — целые числа или функции, зави сящие от размеров элемента. Обобщенные перемещения записыва ются в терминах узловых степеней свободы, а именно
{а}=[В]_1{Д}. (5.4а)
Из (8 .1) имеем