Метод конечных элементов. Основы

Можно расширить возможности метода, вводя в подынтеграль­ ное выражение минимизируемого функционала цзвршенные релр? чины невязки. Введение весовых функций позволяет обратить в нуль интеграл от взвешенных невязок. Обозначая весовую функцию через ср, приходим к более общему соотношению

Таким образом, (5.26) представляет собой общее утверждение в ме­ тоде взвешенных невязок.

Весовые функции можно выбирать различным образом и каждый конкретный выбор отвечает соответствующему критерию в МВН. Обратимся к методу Галеркина, так как этот метод приводит к таким же уравнения^, как и при использовании оОрмных энергети­ ческих или вариационных подходов [5.6—5.8].

Чтобы описать МВН, использующий критерий Галеркина, рас­

что приводит к общему числу уравнений, равному п.

Уравнения (5.29) относятся к узлам внутри области и не учиты­ вают граничных условий, например заданных внешних нагрузок или перемещений. Чтобы учесть граничные условия, требуется проинтегрировать по частям интегралы (5.29), то приводит к появлению интегралов по области и границе.

Проиллюстрируем предлагаемый метод, применяя его сначала для построения уравнений жесткости стержневого элемента, об­ суждавшегося ранее в этой главе, с добавлением распределенной нагрузки q согласно рис. 5.7. Требуется построить соотношения в терминах перемещений, где Д =а. Для этого случая определяющее дифференциальное уравнение получается подстановкой соотноше­ ний между напряжениями и перемещениями Iqx=E(du!dx)\ в

уравнение равновесия А (dox/dx)+q=0. (Заметим, что последние уравнения представляют собой одномерный случай уравнений (4.3) с X= q/A .) Имеем

Левая часть этих уравнений в рассматриваемом случае есть не что иное, как @)(А). Аппроксимирующая функция и задается согласно

Я

Рис. 5.7.

(5.5). Подставляя ее в (5.30) и применяя МВН с критерием Галеркина, получим

Проведем теперь интегрирование по частям *’ левой части урав­ нения. Имеем

■37=11-37“/= |-arjM .

где {u} — вектор узловых перемещений элемента. Подставим теперь это соотношение в левую часть (5.31а). Получим

Е А \ (ж ) l-SHd x { a } = l N ‘c i d x + N ‘E A i l ' <5-з1ь>

и полная система уравнений, получаемая с F1=EA{du/dx) и yVi=^l при *=0, а также Nx=0 при x —L (аналогично для F2 и iV2), имеет вид

14 В данном случае соответствующая формула интегрирования по частям имеет вид

Аппроксимации напряжений и перемещений представим в виде

Рассмотрим сначала взвешенный интеграл от дифференциального

и после интегрирования первого члена и проведения выкладок по­ лучаем

Подставляя выражение (5.40) для ох и замечая, что NiAox= F h име­ ем для всех величин

выражением в виде произведения левой части соотношения между напряжениями и перемещениями на весовую функцию <p=Sf, по­ лучим

где [Яail определяется уравнением (5.43) и

ОJ

Очевидно, что это соотношение связывает {и} и {а} таким обра­ зом, что оно оказывается удобным для объединения уравнений (5.42) и (5.45) в единое матричное уравнение:

Выведенные таким образом уравнения назовем уравнениями сме­ шанного типа [см. уравнение (2.3) в разд. (2.3)]. В гл. 6 показано, что, применяя вариационные принципы при построении соотноше­ ний для элемента, можно прийти к тем же результатам, если исполь­ зовать энергетический принцип Рейсснера. Так как возможны от­ личные от приведенных выше комбинации основных уравнений упругости, то ясно, что можно построить и другие типы соотноше­ ний между силами и перемещениями смешанного вида.

Рассмотрим теперь применение метода взвешенных невязок в двумерных задачах. Выберем для этой цели дифференциальное урав­ нение

В механике конструкций оно может описывать растягиваемую мем­ брану под нормальным давлением, где Ф — поперечное смещение, С — функция отношения величины давления к растягиваемым на­ грузкам. Это уравнение может также описывать кручение стержней некруглого сечения, при этом Ф — функция напряжений. Это же уравнение описывает потенциальное течение жидкости, при этом Ф — функция тока или распространения тепла, здесь Ф — темпе­ ратура.

Согласно методу взвешенных невязок, аппроксимируем Ф в

где L N J , как и ранее, включает набор функций формы, опреде­ ляющих вид Ф в системе координат х , у , а {Ф} объединяет значе­

ния Ф в дискретных точках. Следуя методу взвешенных невязок, имеем

Как и ранее, проинтегрируем по частям дифференциальные сла­ гаемые этих уравнений. Это можно осуществить при помощи первой формулы Грина [5.9], утверждающей, что

|Ч-фл/,«м = | л/,(1„-#- + !„-£) .В-

(5.52)

После подстановки (5.50) вместо Ф получим для всехФ*

Из (5.55) следует, что в рассматриваемой задаче учитываются про­

изводные от Ф вдоль границы. Однако задачи, описываемые урав­ нением [5.481, характеризуются граничными уравнениями, приво­ дящими к альтернативной записи соотношений (5.55).

Следует отметить некоторые особенности применения метода взвешенных невязок. Во-первых, очевидно, что интеграл, значение которого должным образом характеризует определенный тип пове­ дения, можно легко выписать из интеграла взвешенного прибли­ женного решения ихгГветствующих дифференциальных уравнений.

Во-вторых, следует отметить важную роль операции интегри­ рования по частям. В методе взвешенных невязок до применения этой операции рассматривается лишь внутренняя область элемента. В результате интегрирования по частям благодаря появлению ин­ тегралов по границе можно учесть граничные условия. Повторное применение формул интегрирования по частям дает возможность

определить альтернативные формы представления граничных ин­ тегралов.

Для рассматриваемых в книге задач метод взвешенных невязок с критерием Галеркина и энергетический (вариационный) метод приводят к совпадающим результатам. Так как энергетический ме­ тод более знаком инженерам-проектировщикам и является основ­ ным подходом в литературе по методу конечных элементов, в по­ следующих главах ограничимся изложением этого подхода.

Литература

5.2.Gallagher R. H. Correlation Study of Methods of Matrix Structural Analysis.— New York, N. Y.: Pergamon Press, 1964.

5.3.Finlayson B. The Method of Weighted Residuals and Variational Principles.— New York, N. Y.: Academic Press, 1972.

5.4.Hutton S. G., Anderson D. L. Finite Element Method: A Galerkin Approach.—

Proc. ASCE, J. Engr. Mech. Div., Oct. 1971, 97, No. EM5, p. 1503— 1520.

5.5.Aral M., Mayer P., Smith С. V. Finite Element Galerkin Method Solutions to Selected Elliptic and Parabolic Differential Equations.—Proc. of Third Air Force Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech., Oct. 1971.

5.6.Zienkiewicz О. C., Parekh C. J. Transient Field Problems: Two-Dimensional

and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Elements.— Int. J. Numeri­ cal Meth. Engr., 1970, 2, No. 1, p. 61—72.

5.7.Szabo B., Lee G. C. Derivation of Stiffness Equations for Problems in Elas­ ticity by Galerkin’s Method.— Int. J. Numerical Meth. Engr., 1969, 1, No. 3,

p. 301—310.

5.8.Szabo B. A., Lee G. C. Stiffness Matrix for Plates by Galerkin’s Method.— Proc. ASCE, J. Engr. Mech. Div., June 1969, 95, No. EM3, p. 571—585.

5.9.Sokolnikoff I., Redheffer R. Mathematics of Physics and Modern Engineering, 2nd ed.—New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1966, p. 370—375.

Задачи

5.1.Постройте матрицу жесткости для простого скручиваемого элемента, ис­ пользуя прямой метод.

5.2.Используя прямой метод, постройте матрицу жесткости для прямоугольного элемента в плоском напряженном состоянии в предположении линейности сме­

Рис. Р5.2. 1 х , и 2

щений вдоль границы. Получите этот результат численно, построив сначала мат­ рицы [D] и [А] в общем виде. Определив коэффициенты этих матриц, перемножьте

6

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Вариационные или энергетические методы исследо­ вания конструкций образуют мощный и широко применяемый подход к построению соотношений для конечных элементов. Простейшие варианты этих методов используются для расчета инженерных кон­ струкций уже более ста лет. Однако некоторые усложненные ва­ рианты вариационных и энергетических методов так же современны, как и сам конечно-элементный анализ элементов, и их развитие, повидимому, обусловливалось желанием создать новую теоретичес­ кую основу метода конечных элементов. Так или иначе, последние работы в этой области дают всесторонний анализ возможных вариа­ ционных принципов строительной механики, в частности опреде­ ляют область их применения и выявляют присущие им недостатки.

В данной главе соответствующие вариационные принципы меха­ ники конструкций описываются с учетом их дальнейшего исполь­ зования для построения конечно-элементных соотношений. При­ менение этих принципов при построении соотношений для всей конструкции излагается в гл. 7. Таким образом, предполагается, что соотношения между силами и перемещениями для каждого от­ дельного конечного элемента можно построить независимо, а по­ строение соотношений для всей конструкции — отдельная проце­ дура. Это согласуется с изложенным в разд. 2.2 и использовавшим­ ся далее в гл. 3 и 5 подходом к расчету стержневых конструкций методом конечных элементов. Однако энергетический метод поз­ воляет по-иному подойти к методу конечных элементов и получить глобальные соотношения, суммируя энергию отдельных элементов. Вопросы перехода от одной точки зрения к другой обсуждаются в этой и следующей главах.

Данная глава начинается с подробного изложения вывода со­ отношений принципа виртуальных перемещений. Далее кратко из­ лагаются основные понятия вариационного исчисления и подробно изучаются экстремальные принципы минимума потецццильнр$ й