Метод конечных элементов. Основы

В методе конечных элементов рассматриваются условия равно­ весия не только во внутренних точках конструкции или на ее внеш­ них поверхностях, но и в точках соприкосновения элементов. На границе каждого из соприкасающихся элементов в середине имеется некоторое напряженное состояние, поэтому уравнения должны вы­ полняться в каждой точке соприкасающихся граней. На рис. 4.4(a)

Р и с . 4 . 4 .

изображены два соседних элемента А и В, поверхность соприкосно­ вения которых проходит по оси у глобальной системы координат. На поверхности раздела не действуют внешние нагрузки. Для вы­ яснения условий равновесия на границе элементов разделим эле­ менты, как показано на рис. 4.4(b). В соответствии с ориентацией поверхности раздела имеем 1У= 0, /*=1, и уравнения (4.5) сводятся

к уравнениям Тх= о х, Т у=%ху.

Следовательно, если граница раздела между элементами про­ ходит вдоль оси у , то для выполнения условий равновесия требу­ ется лишь, чтобы нормальная компонента напряжения ох и каса­ тельная компонента %ху на этой границе были непрерывны. Разре­ шается, чтобы нормальная компонента напряжения оу, если она существует, была разрывной при переходе этой границы в направле­ нии х . Если поверхность раздела наклонена под некоторым углом к осям х и у, то нормальные и тангенциальные компоненты усилий

на ненагруженной поверхности (Тп и Т&) должны быть непрерывны на границе, разделяющей элементы. С каждой стороны от поверх­ ности раздела два усилия выражаются через три компоненты на­ пряжения. Поэтому, несмотря на то что компоненты напряжения в направлении координат могут изменяться при переходе от одного элемента к другому, условия равновесия при переходе через по­ верхность соприкосновения элементов все же сохраняются.

Перед нами снова возникла необходимость ввести символ, кото­ рый обозначал бы совокупность компонент некоторой переменной. Причем этот символ должен отличаться от символа, соответствую­ щего вектору, который задает значения этих компонент в той или иной точке. Вводимый таким образом символ есть тензор напряже­ ний а, который включает в себя компоненты ох . . х1Х\ этот символ будем записывать жирным шрифтом без скобок. Если нужно перечи-

По определению, относительная деформация (отношение при­ ращения длины к начальной длине) ех равна (А 'В '—АВ)/АВ или при A B —dx

Возводя (4.6b) в квадрат, приравнявполученное выражение к (4.6а) и поделив на (dx)2, получим

* • + * - * В + ( * ) * + ( £ ) *

Пренебрегая теперь членами, имеющими более высокий порядок малости, что соответствует предположению о малости деформаций, имеем

Деформация сдвига уху определяется как изменение значения угла, бывшего прямым до деформации. Указанный вид деформации также изображен на рис. 4.5, откуда становится ясным, что изме­ нение угла, вызванное перемещением отрезка АВ в направлении оси х в положение А ’В' равно

Уравнения (4.7а, Ь, с) являются соотношениями, связывающими деформации и перемещения в плоском случае. В трехмерных зада­ чах остается лишь добавить следующие соотношения, обозначив через w компоненту перемещения в направлении оси г:

При решении задач методом конечных элементов надо иметь в виду одно обстоятельство, касающееся связи между деформациями и перемещениями: выделение движения тела как твердого целого. Выражения для деформаций не содержат такого движения, однако оно фигурирует в перемещениях. Следовательно, при определении деформаций путем дифференцирования перемещений из искомых соотношений исключается движение тела как твердого целого. На­ пример, для линейного элемента горизонтальное смещение точки может быть задано выражением (рис. 4.6) и= а1+ а 2х) из которого следует, что ex=du/dx=a2.

Следовательно, член аи который был исключен в результате дифференцирования, и соответствует движению элемента как твер­ дого тела. Указанный факт говорит о том, что если конечно-эле­ ментная модель строится на основе задаваемых априори функций перемещений, то количество независимых параметров, с помощью которых описывается деформированное состояние в элементе, меньше количества параметров, задающих перемещения, на число степеней свободы элемента как твердого тела.

*- 1 2

оа)

*1 ^ ------L ----------^

(Ь)

Рис. 4.6. (а) Недеформированное состояние; (Ь) смещенное деформированное состоя­ ние.

Другое обстоятельство, тесно связанное с основными приведен­ ными выше соотношениями, но в некотором смысле противополож­ ное по предпосылкам, относится к деформациям. В плоском случае три уравнения (уравнения (4.7а, Ь, с)), определяющие три компо­ ненты деформации, выражаются через две компоненты перемеще­ ний. В трехмерных задачах существуют шесть компонент деформации и три компоненты перемещения. Следовательно, нив одном из этих случаев эти уравнения не имеют единственного решения, если де­ формации заданы произвольным образом. Необходимые дополни­ тельные уравнения можно вывести из условия совместности, кото­ рое требует, чтобы компоненты перемещения были однозначными непрерывными функциями.

Условие совместности получим наиболее элементарным спосо­ бом, последовательно дифференцируя соответствующие выражения. Для плоской задачи теории упругости последовательно продиффе­ ренцируем уху по х и по у:

Последнее выражение получается с учетом того, что, в силу од­ нозначности и непрерывности, д2/дхду=д2/дудх. Обобщение этого условия на трехмерный случай приводит к системе из шести уравнений.

Так же как и при обозначении характеристик напряженного состояния, следует различать поля перемещений во внутренних точках тела и поля перемещений в граничных (на поверхности тела)

точках. Поле перемещений внутри тела обозначим через Л. Этот символ относится к совокупности смещений вдоль осей координат и, v, w. Смещения на границе обозначим через и и отнесем к сово­ купности величин а, ц, w для граничных точек. Таким образом,

А = \__uvw J 1 (внутри тела),

и = \_uvw _\Т (на поверхности).

Кроме того, в трехмерной задаче введем для деформаций следующее обозначение:

Граничные условия на перемещения (кинематические граничные условия) попросту требуют совпадения перемещений на поверхности

упругого тела и с заданными перемещениями и, т. е.

и—и=0. (4.9)

4.4. Уравнения состояния материала

Обычно уравнения состояния для материала, которые в настоящем рассмотрении относятся только к механическим характеристикам материала, задают путем постулирования полного набора коэф­ фициентов, связывающих каждую компоненту напряжения со всеми компонентами деформации. Далее, из соображения симметрии и учета анизотропных свойств материала число коэффициентов уменьшают таким образом, чтобы они отвечали соответствующим механическим характеристикам среды, например наличию в ней ортотропной плоской деформации. Ниже, чтобы отчетливо показать физическую природу этих свойств и осветить результаты экспери­ мента, будем двигаться в обратном направлении: от наиболее про­ стых аспектов поведения материала к более сложным.

Простейшие механические свойства материала можно выяснить из испытаний образца на одноосное растяжение. Линейный учас­ ток на диаграмме напряжение — деформация представляется алгеб­ раически законом Гука: ох= Егх или ех= ох/Е. Это выражение дает зависимость деформации от напряжения. Если существует меха­ низм, приводящий к появлению деформаций без приложения на­ грузок, т. е. начальная деформация ei*.nit, то

Для построения зависимостей в двумерном случае рассмотрим сначала изотропный материал и выясним, как он ведет себя при

наличии в нем напряжений. У изотропного материала зависимость деформаций от напряжений неизменна при ортогональном преоб­ разовании координат. На рис. 4.7(a) изображено, как прикла­ дываемое к образцу напряжение ох в направлении оси х вызы­ вает деформацию образца в обоих направлениях х и у. Вдоль

оси х деформация равна попросту ох/Е. Образец сжимается и в на­ правлении оси у , так как коэффициент Пуассона р отличен от нуля, поэтому в этом направлении деформация равна —\ioJE. Аналогично наличие напряжения оу вызывает деформации в направлении осей х и у , равные соответственно —\юу/Е и оу/Е (как показано на рис. 4.7(b)). На значения относительных удлинений вдоль осей х и у не влияет наличие деформации сдвига, изображенной на рис. 4.7(c), которая связана со сдвиговым напряжением соотношением

2 0+Р) т

Матрица [Е] называется матрицей жесткости материала, а [Е]-1—

матрицей податливости материала. Аналогично выражению (4.10) можно непосредственно обобщить вышеприведенные соот­

Начальные деформации представляют наибольший интерес в зада­ чах термоупругости, где ejcnit=e^nit= a r , у $ ‘==0, для изотропного тела с коэффициентом линейного расширения а и отклонением температуры от температуры ненапряженного состояния на Г.

Наиболее часто применяемый подход при построении конечно­ элементной модели — подход, при котором задаются функции пере­ мещений,— требует, чтобы напряжения были выражены через де­ формации. Поэтому, обращая уравнение (4.14), получим

а=[Е]е—[E]eir,it. (4.15)

Теперь благодаря матричным уравнениям (4.14) и (4.15) в на­ шем распоряжении имеется достаточно общее представление меха­ нических свойств материала. Проводя обобщения на шестимерные векторы а и е, можно охватить все разнообразие задач трехмерной теории упругости. Полностью заполненная матрица [Е1 размер­ ностью 6 x6 определяет общий случай анизотропного материала, который обладает различными свойствами в различных направле­ ниях. Много частных случаев поведения материала находится в диапазоне между изотропией и полной анизотропией. Так, в част­ ности, сюда можно отнести ортотропные материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. В по­ следующих главах будет подробно представлен ряд матриц [Е] и [Е]"1 специального вида, отвечающих требованиям соответст­ вующей конечно-элементной модели. Важным свойством всех ма­ триц жесткости и податливости для рассматриваемых здесь материа­ лов является их симметричность (см. соотношения (4.12) и (4.13)).

Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов осо­ бенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свой­ ствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е] (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые на слож­ ность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой: для большинства практических задач трудно располагать большей информацией о механических харак­ теристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для ортотропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характе­ ристики слоев можно определить экспериментально, а затем вы­ числить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Благодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, применяе­ мых на практике, публикации, касающиеся их разработки и ис­ пользования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, задающих жесткостное поведение материала (см. [4.8]).

4.5.Дифференциальные уравнения равновесия

исовместности

Приведенные выше системы уравнений можно объединить с целью получения альтернативных форм дифференциальных уравнений, точное решение которых будет удовлетворять и исходным уравнени­ ям. Эти альтернативные формы называются соответственно диффе­ ренциальными уравнениями равновесия и совместности.

Сделаем несколько замечаний относительно мотивировки по­ строения указанных дифференциальных уравнений. Ранее были независимо сформулированы два набора условий: статические и динамические. Статические условия записываются исключительно через статические переменные (напряжения или функции напря­ жений). Кинематические условия записываются только через ки­ нематические переменные (перемещения или деформации). Для единственности решения необходимо связать статические и кине­ матические переменные. Это осуществляется с помощью введения определяющих соотношений.

Выведем сначала дифференциальные уравнения равновесия, так как подход, использующий при построении конечно-элемент­ ной модели метод жесткостей (или метод перемещений), одновременно может служить подходом, позволяющим получить приближенное решение этих уравнений. Для простоты исключим из рассмотрения объемные силы и начальные деформации (Х = У=0, {einit}=0). Вывод искомых уравнений заключается в построении соотношений, связывающих напряжения с перемещениями, с последующей под­ становкой этих соотношений в дифференциальные уравнения рав­ новесия. Например, подставляя соотношения, связывающие дефор­

подставляя полученные соотношения в дифференциальные уравне­

Если можно найти отвечающие кинематическим граничным усло­ виям непрерывные однозначные поля перемещений, которые удов­ летворяют вышеприведенным соотношениям и соответствующим граничным условиям, то будет найдено искомое точное решение. Это и есть теорема единственности.

Рассмотрим, например, квадратичные поля перемещений в плоском случае

и = at + агх + а3у + а4х2 + аьуг+ а3ху, v = a7 + asx + а9у + а10х2 + а1гуг+ а12ху,

где аи а3, ., а13— константы. После подстановки в (4.17) получим

Очевидно, представленное поле перемещений не отвечает точному решению задачи упругости при произвольном выборе констант аг. Однако при а6= ам = 0 решение можно представить в виде ука­ занного поля, если

Эти условия все же не дают гарантии того, что данные поля пере­ мещений являются соответствующим решением задачи. Для и и v должны быть выполнены граничные условия на перемещения, а поле напряжений, выраженное через и и v (полученное путем диф­ ференцирования этих компонент, согласно связи деформаций с перемещениями и подстановки в зависимость напряжений), должно удовлетворять граничным условиям для напряжений.

Перейдем к формулировке определяющих соотношений, соот­ ветствующих условию совместности. Основным дифференциальным уравнением совместности для плоского случая является уравне­ ние (4.8). Подставляя в него определяющие выражения для де­ формаций через напряжения, согласно (4.11), получим

В это соотношение входят три неизвестные величины (ах, ау, хху).

Спомощью определенной в разд. 4.1 выражениями (4.6) функции Эри Ф преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в него вхо­ дила только одна неизвестная величина. Подставляя указанные вы­ ражения в (4.18), приходим к уравнению

Оператор V2— лапласиан или гармонический оператору а уравнение (4.19) — бигартоническое уравнение.

Рассуждения, касающиеся условий выбора полей перемещений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, в той же мере применимы и в данном случае. Функция напряжений по определению удовлетворяет уравнениям равновесия. Однако вы­ ражения, выбранные в качестве функции напряжений, вполне могут не удовлетворять уравнению (4.19), которое задает условие совместности. В этом случае выбранные выражения будут лишь приближением к точному решению задачи. Точное же решение должно удовлетворять как граничным условиям, так и уравнению (4.19) .

4.6.Заключительные замечания

Представленная в разд. 4.5 теорема единственности в теории упру­ гости формально утверждает, что если вместе с объемными силами заданы либо поверхностные силы, либо перемещения на поверхности тела, то в теле существует только одно поле напряженийу или пере-

меицений. Решение, удовлетворяющее всем условиям равновесия и совместности внутри тела и на его границе, единственно.

Для того чтобы эти условия выполнялись, зависимость дефор­ маций от напряжений должна соответствовать линейно-упругому телу; условия равновесия записываются без учета деформаций, и проводимые рассмотрения ограничиваются рамками теории ма­ лых деформаций. В гл. 13, например, изучаются вопросы упругой неустойчивости, которая характеризуется наличием смежных и, следовательно, неединственных форм равновесия. Эти формы вы­ являются при учете влияния деформации на условия равновесия.

Знание теоремы единственности важно исследователю, использу­ ющему метод конечных элементов. Если бы конечно-элементная модель отвечала всем условиям равновесия и совместности, то

точное решение было бы найдено и никакое дальнейшее измельчение сетки не привело бы к улучшению ответа. Однако все исследователи, конечно, допускают, что для процедуры численного решения, на какой бы основе она ни строилась — представление в рядах, конеч­ но-разностная, конечно-элементная — измельчение сетки приводит к улучшению решения. Это обстоятельство ясно показывает, что для любого доступного численного метода полученное с его помощью точное решение не будет удовлетворять либо всем, либо какому-то основному условию.

Метод конечных элементов не обладает по сравнению с другими

ности. Действительно, будет показано, что при некоторых конечно­