Метод конечных элементов. Основы

[В]Матрица связи параметров предполагаемого поля

перемещений с узловыми перемещениями 1В] Статическая матрица. Коэффициенты связи между

узловыми силами в элементе и глобальными силами в узлах

Ьог bi., (i= l, 2, 3). Коэффициенты в уравнении для тре­ угольных координат

сКонстанта в уравнении Пуассона

[С]Матрица, связывающая параметры предполагаемого поля перемещений с полем деформаций (£=1, 2, 3, 4). Коэффициенты в уравнении для объем­

еМножитель при варьировании Вектор узловых сил в элементе Глобальная матрица податливости

<*} Матрица податливости элемента

GМодуль сдвига

[G]Матрица ограничений I Момент инерции

[I]Единичная матрица

тПорядок полиномиального разложения

[ш]Матрица массы элемента Число сторон многоугольника

I

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании конструкций перед инжене- ром-проектировщиком стоит задача нахождения распределения напряжений, или поля напряжений. Иногда, чтобы узнать, нару­ шаются ли заданные зазоры между деталями конструкции, инже­ неру требуется вычислить перемещение лишь в определенных точ­ ках системы. В отдельных же случаях, особенно если нагрузки и поведение конструкции зависят от времени, проектировщику необходимо подсчитать полное распределение перемещений, или ноле перемещений. Для рассчитанного поля напряжений должны выполняться в каждой точке условия равновесия, а перемещения при этом должны быть непрерывны (т. е. должны выполняться ус­ ловия совместности).

Приступая в некоторой задаче проектирования к отысканию напряжений и перемещений, проектировщик должен сначала задать определяющие уравнения, которые в той или иной форме обеспечи­ вают выполнение условий равновесия и совместности. Возникаю­ щая в связи с этим основная трудность, не говоря уже об аспектах разрешимости выбранных уравнений, состоит в решении вопроса: могут ли данные уравнения адекватно отражать выставляемые при проектировании требования к конструкции. Причем сложность геометрии конструкции, а также характера нагрузок и свойств материала должна быть учтена в этих рассмотрениях.

Принимая во внимание возникающие из-за описанных выше об­ стоятельств различия в поведении конструкции и ее модели, ин­ женер приступает далее к решению выбранных уравнений. Если изучаемый объект является двумерным или трехмерным, то его Поведение описывается уравнениями с частными производными. Весьма редко существуют точные решения подобных уравнений, и ненамного чаще оказывается возможным строить адекватные приближенные решения с небольшим количеством членов аппрок­ симации. Для получения достаточно точного решения требуется большое число этих членов.

Появление электронных вычислительных машин коренным об­ разом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными. Большинству инженеровпрактиков в настоящее время стало доступным численно исследо­ вать поставленные перед ними задачи. При этом число учитываемых членов ряда, представляющего поле напряжений или перемещений, может быть велико. Используются также конечно-разностные ме­ тоды, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью дискретных значений величин, заданных в выбранных точках. Преимущество этих методов вытекает из длительной исто­ рии их развития, результатом которого стало появление теорем сходимости. Кроме того, возникающие в этих методах алгебраиче­ ские уравнения, которые необходимо численно решить, часто имеют особенно простой вид.

Метод конечных элементов является аналитической процедурой, интенсивная разработка которой велась в течение сравнительно короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на об­ ласти (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовле­ творить условиям непрерывности описываемых ими характеристик во всей среде. В других случаях выбранные представления полей не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможность получить удовлетворительное решение. При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в схо­ димости решения. Если поведение конструкции описывается един­ ственным дифференциальным уравнением, то получить приближен­ ное решение этого уравнения можно как методом конечных эле­ ментов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно­ разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и со­ стоит из большого количества отдельных конструктивных элемен­ тов, поведение каждого из которых описывается своим дифферен­ циальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно не­ посредственно применить лишь метод конечных элементов.

Наряду с указанными альтернативными методиками численного решения прикладных задач механики конструкций в методе конеч­ ных элементов требуется строить и решать систему алгебраических уравнений. Особые преимущества метода заключаются в удобстве формирования уравнений и возможности представления совершенно нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.

Как отмечалось выше, метод конечных элементов стремительно развивается. Начиная с 1955 г. метод распространился с второсте­ пенных областей на наиболее перспективные направления числен­

ход, основанный на задании распределения напряжений с пара­ метрами нагрузки в качестве неизвестных.

Приблизительно к 1920 г. благодаря усилиям Мэйни [1.4] в США и Остенфельда [1.5] в Нидерландах были сформулированы основные идеи численного исследования рамных и фермовых конст­ рукций, основанного на задании перемещений в качестве неизвест­ ных параметров. Эти идеи предшествовали современным матричным методам исследования конструкций. До тех пор пока в 1932 г. Хар­ ди Кросс не предложил метод моментных распределений [1.6], важнейшим сдерживающим фактором при анализе являлась раз­ мерность задач, определяемая числом неизвестных параметров перемещений или нагрузок. Метод моментных распределений позво­ лил численно исследовать поведение конструкций в задачах, на по­ рядок более сложных, чем самые трудные из задач, которые реша­ лись с помощью ранее существовавших методов. Этот метод стал основой численного исследования поведения конструкций на сле­ дующие 25 лет.

Вычислительные машины появились в начале пятидесятых го­ дов, однако их действительная значимость как в теоретических, так и в прикладных аспектах не была столь очевидной в то время. Все же некоторые ученые, предвидевшие влияние, которое окажут вычислительные машины, предприняли попытки сформулировать в удобной для компьютеров матричной форме хорошо разработан­ ные к тому времени алгоритмы расчета фермовых конструкций.

Публикации, которые в виду их числа не могут быть подробно перечислены здесь, указаны в обзоре Аргириса и Пэттона [1.7]. Две заслуживающие упоминания работы выполнены Аргирисом и Кел­ си [1.8], а также Тернером и др. [1.91. В этих исследованиях были объединены подходы, используемые при расчете фермовых кон­ струкций, с подходами, применяемыми при расчете сплошных сред; при этом была использована матричная форма записи. Эти работы оказали решающее влияние на развитие метода конечных элементов в последующие годы. Было бы неточным приписывать появление всех основных аспектов метода конечных элементов именно этим работам, потому что ключевые моменты метода име­ лись даже раньше 1950 г. в работах Куранта [1.10], Мак-Генри [1.11] и Хреникоффа [1.12]. Особенно важна работа Куранта, так как в ней рассмотрены задачи, описываемые уравнениями, относя­ щимися не только к механике конструкций. Однако, отмечая ука­ занную особенность метода конечных элементов, останавливаться на ней подробно не будем, руководствуясь тем, что наше внимание в основном будет сосредоточено на численном расчете конструкций.

Начиная с середины пятидесятых годов метод конечных эле­ ментов в своем развитии прошел через ряд непрерывных модифика­ ций. Подробный обзор, касающийся истории развития метода, опубликован Зенкевичем [1.13]. Так же как и при формулировке

специальных элементов для плоского напряженного состояния, ис­ следователи выписали конечно-элементные соотношения для твер­ дого деформируемого тела, изгибаемых пластин, тонких оболочек и других конструктивных форм. Как только были получены соотно­ шения для исследования статического поведения линейно упру­ гого материала, внимание специалистов было переключено на такие аспекты, как динамическое поведение, выпучивание, а также гео­ метрическая и физическая нелинейности. Вслед за этими исследо­ ваниями наступил период довольно интенсивного развития вычис­ лительных программ «общего назначения», обусловленный желанием обеспечить практиков возможностью применять указанный метод.

В настоящее время программы общего назначения неплохо рас­ пространены в прикладных областях. Доступность таких программ при относительно средних затратах в процессе их использования объясняется широкими прикладными возможностями метода ко­ нечных элементов. Что касается развития метода, то многие ис­ следователи и в настоящее время заняты построением новых конеч­ но-элементных моделей и дальнейшим улучшением схем и алго­ ритмов для описания конкретных явлений, а также составлением новых программ. Наиболее интересными вопросами являются ко­ нечно-элементное представление и численный анализ физических процессов при взаимодействии конструкций с внешними полями. Известным примером последнего могут служить расчет термоупру­ гих конструкций, где вычисление температурных напряжений тесно

Несмотря на то что здесь подчеркивались определенные отли­ чительные особенности и характерные преимущества метода конеч­ ных элементов при численном анализе механических систем, этот метод вряд ли может быть последним словом в численном анализе в том виде, в котором он существует в настоящее время. Его следует рассматривать как одну из многочисленных ступеней развития средств численного исследования при проектировании. Такие кни­ ги, как «История сопротивления материалов» [1.14], интересно

в этом духе либо книги по технике, подробно освещающие историю вопроса (см., например, [1.15]), снабдят информацией о публикациях

ипоэтому заслуживают внимания.

1.2.Типы элементов

Элементы, которые обычно используются на практике и о которых пойдет речь ниже, изображены на рис. 1.1.

Простой фермовый элемент, изображенный на рис. 1.1(a).

является представителем целого семейства конечных элементов. Используемый в совокупности с элементами того же типа, он опи­ сывает фермовые и пространственные рамные конструкции. В сово­ купности с элементами других типов, и особенно с пластинчатыми элементами, с его помощью обычно описывают подкрепленные элементы конструкции. Так как теоретические соотношения, свя­ занные с указанным элементом, хорошо известны, в книге не отво­ дится места для описания характеристик этого элемента. Более того, мы используем его в начальных главах книги для иллюстра­ ции многих ключевых положений конечно-элементного анализа.

Основным элементом при конечно-элементном анализе является пластина, нагруженная в своей плоскости (условие плоского напря­ женного состояния). На рис. 1.1(b) изображены треугольный и че­ тырехсторонний плоско-напряженные элементы. К этому классу элементов можно отнести еще много элементов, имеющих различ­ ную форму в плане, однако они используются в весьма специаль­ ных случаях. Эти элементы называются основными не только бла­ годаря их полезности при численном исследовании целого ряда прикладных задач проектирования, но также ввиду их приоритет­ ной роли в истории развития метода конечных элементов. Теоре­ тические работы на протяжении первых лет развития метода ко­ нечных элементов были целиком посвящены этому типу элементов.

Изображенный на рис. 1.1(c) сплошной (трехмерный) элемент

представляет обобщение на трехмерный случай плоско-напряжен­ ного элемента. Тетраэдр и параллелепипед являются наиболее рас­ пространенными формами трехмерных элементов и играют важную роль при моделировании задач механики грунтов и скальных пород, а также конструкций, используемых в ядерной физике. Уместно напомнить, что фактически не существует других подходов при численном анализе поведения конструкции, с помощью которых решались бы реальные прикладные трехмерные задачи.

Одной из самых важных областей применения метода конечных элементов является расчет осесимметричных тел, изображенных на рис. 1.1(d). К этой области относится большое количество при­ кладных задач, включая расчет бетонных и стальных резервуаров, сосудов, содержащих ядерное горючее, роторов, поршней валов и двигателей ракет. Нагрузки, так же как и геометрические очер­ тания, бывают обычно осесимметричными. Здесь изображен только треугольный элемент, хотя полезен также и четырехсторонний элемент, аналогичный изображенному на рис. 1.1(b).

Элементы типа изгибаемых тонких пластин используются не только для описания поведения плоских пластин, но также для представления оболочек и тонкостенных элементов. Конфигурация элементов схожа с геометрией плоско-напряженных элементов, причем наибольшее распространение имеют треугольные и четырех­ сторонние элементы рис. 1.1(e).