Метод конечных элементов. Основы

где матрицы-строки заменены на прямоугольные матрицы, име­ ющие число строк, равное числу компонент поля Д. В некоторых случаях, например когда геометрические характеристики элемента определяют зависимость одной степени свободы от другой, матрица [В] может стать вырожденной. Это происходит также тогда, когда комбинация членов в полиноме представляет функцию формы, об­ ращающуюся в нуль во всех узлах. Такая «нулевая» функция формы соответствует тому, что ранг матрицы [В] понижается на единицу.

Выбору числа членов в полиномиальном представлении, т. е. числу компонент в [а], следует уделить особое внимание. При этом вначале необходимо рассмотреть условия из разд. 8.1. Требованиям на движение тела как твердого целого и постоянные деформации лег­ ко удовлетворить для описываемых в книге одномерных плоских и трехмерных элементов за счет непосредственного выбора рядов, в которые входят константы и линейные члены.

Удовлетворить условиям межэлементной непрерывности не так просто. Напомним, что, согласно рассуждениям, приведенным в предыдущих главах, если описание функции вдоль границы, раз­ деляющей элементы, однозначно задается степенями свободы вдоль указанной границы, то межэлементная непрерывность данной функции сохраняется вдоль указанной границы, отделяющей рас­ сматриваемый элемент от соседнего элемента. Например, если для описания перемещений элемента выбрана кубическая функция, то для описания функций на каждой границе элемента необходимо иметь четыре независимые степени свободы.

Объединяя приведенные рассуждения с идеей геометрической изотропии [8.5], можно установить критерий выбора необходимого числа членов в полиномиальном представлении функции поведения элемента. Геометрическая изотропия обусловливает сохранение всех членов для полинома данного порядка при любой замене коорди­ натных осей декартовой системы координат.

Согласно (8.3), полное допустимое числов членов в полном дву­

ронами. Требуется выразить параметр Д в виде полиномиального разложения в терминах значений этой величины, вычисленных в заданных точках лишь на границе элемента. Если требуется, чтобы этот полином однозначно определялся на каждом участке границы, то его необходимо задавать там с помощью т + 1 точки. Общее число точек, которое необходимо задать для всего полинома на границе, равно 91 ( т + 1)—9?=9?т (следует учесть, что к каждой из вершин многоугольника сходятся две стороны). Приравнивая до­ пустимое число коэффициентов, задаваемое согласно (8 .3), требуе­

мому числу точек, получим

Это условие выполняется лишь при 9?=3 и m = 1 или т = 2. Эти элементы, имеющие вид простого треугольного и шестиузлового треугольного элементов, изображены на рис. 8 .1 .

Рис. 8.1. Треугольны е элементы с узлами по периметру: (а) простой трехузловой;

(Ь) ш естиузловой.

Можно построить и другие треугольные элементы, удовлетворяю­ щие приведенным выше условиям, если смягчить требование, сог­ ласно которому все узлы лежат на границе элемента. Это делается в разд. 8.5. В качестве узловых степеней свободы можно также рас­ сматривать производные от функции поведения. Прямоугольные элементы не удовлетворяют указанным условиям, если «полный» полином определен, как указывалось выше, даже при смягчении требования на принадлежность узлов границам элементов и задании степеней свободы только через значения самой функции. На этом аспекте акцентируется внимание в разд. 8.4.

Приведенные выше рассуждения можно перенести на трехмер­ ные напряженные элементы и пластинчатые изгибаемые элементы. При этом следует отметить два обстоятельства. Во-первых, здесь необходимо добавить формальное математическое определение пол­ ноты ряда. Согласно этому определению, если функция Д представ­ лена рядом 2 а*Дь то требуется, чтобы

Это условие выполняется для полиномиальных представлений. Во-вторых, еще раз подчеркнем, что можно определить элементы

и строить для них полиномиальные разложения, которые не удов­ летворяют условиям межэлементной совместности. Результирующие формулировки оказываются вполне приемлемыми, если не считать отсутствия уверенности в достижении верхнего или нижнего преде­ лов решения.

Полиномиальные выражения, записанные в терминах обобщен­ ных смещений, можно непосредственно использовать при построе­ нии матрицы жесткости элемента, соответствующей указанным обобщенным смещениям. Это было проведено в гл. 5 и 6 при построе­ нии основных матриц элемента и в гл. 7 в связи с рассмотрением обобщенных вариационных принципов. Полученные таким образом

матрицы жесткости могут служить опорными матрицами жесткости, которые можно преобразовать в матрицы, соответствующие альтер­ нативным физическим степеням свободы.

4

3

Рис. 8.2. Ч еты рехузловой стержневой элемент.

Рассмотрим, например, четырехузловой стержневой элемент, изображенный на рис. 8 .2 , модель которого надо построить на базе кубического полинома:

Основная формула для опорной матрицы жесткости, согласно (6.18), имеет вид

[к‘] = 5 [С]' [E][C]rf(vol) (6.18)

В нашем случае d(vo\)=Adx, [Е)= £, а матрица преобразования

Если требуется определить матрицу жесткости элемента, соот­ ветствующую физическим степеням свободы ии и2, и3 и иА, необхо­ димо выписать преобразование обобщенных смещений в узловые смещения. В данном случае это преобразование записывается в виде

Обращая стоящую в правой части равенства матрицу, получим матрицу, задающую преобразование а*, аАв ., иА Далее это преобразование применяется к опорной матрице жесткости обычным образом.

Кроме того, можно отнести метрицу жесткости к граничным сме­ щениям (Ui, ы4) и производным от смещений в указанных точках (idujdx, dujdx). В этом случае вид преобразования полностью сов­ падает с приведенным в гл. 5 для изгибаемого элемента (за исключе­ нием знака в выражениях для производных) и здесь не приводится.

8.3.Непосредственное построение функций формы с помощью процедуры интерполяции

Хотя полиномиальное представление предполагаемых полей переме­ щений полезно для задания полноты функций и выполнения опреде­ ленных условий, а также подчас существенно в некоторых подходах, используемых в конечно-элементном анализе, чаще предпочтитель­ нее задавать рассматриваемые поля непосредственно в терминах узловых степеней свободы, т. е. в виде функции формы. Это можно осуществить с помощью процедуры интерполяции. В этом разделе продемонстрируем применение этой процедуры к функциям формы

водномерном случае.

8.3.1.Интерполяция Лагранжа

Интерполяция Лагранжа позволяет определить коэффициенты по­

а

( ь )

Рис. 8.3. Интервалы для интерполяции Лагранжа, (а) Разбиение на интервалы при рассмотрении физических координат; (Ь) разбиение на интервалы при рассмотрении естественных координат.

Расположение точек определяется физическими координатами

*я. •» xm+f• Требуется определить функцию Д, принимающую определенные значения Ai, Д2, ., Дш+1 в этих точках. Это можно осуществить, придавая полиному m-го порядка в данных точках указанные значения. Результирующее выражение имеет вид

т +1

где, очевидно, члены N t— функции формы, так как N t = 1 для Д( и N t= 0 для Д), j ^ i . Указанные действия были выполнены уже в

разд. 5.1 при составлении соотношений {Д}=[В] {а} и разрешении их относительно {а}. К счастью, для одномерного случая уже име­ ется в наличии формула, полученная Лагранжей:

где символом П обозначено произведение указанных разностей [(х— Xj) или (xi — JC/)] в заданном диапазоне изменения /.

В развернутой форме рассмотренные выражения запишутся в следующем виде:

В качестве примера рассмотрим простейший стержневой эле­ мент с двумя узлами, т. е. с т = 1. В этом случае xi= 0 и

что является обычным представлением для этого типа элемента.

Для трех точек на линии (рис. 8.4(a)) имеем т = 2. Опять Xi=0

Альтернативная форма представления координат узлов на пря­ мой использует естественные координаты, которые получаются при переходе от физических координат к безразмерной системе, причем естественные координаты принимают в узлах значения О

или 1. Поэтому применение естественных координат является по­ лезным при задании функций формы.

Чтобы ввести естественные координаты в одномерном случае, рассмотрим изображенный на рис. 8.5 сегмент длиной х 2%Расстоя­

ния от точки i до точек 1 и 2, определенные через Lx и L2, обезразмерены так, что

Следовательно, согласно данному выше определению естественных координат, L i= l в точке 1 и Lx= О в точке 2, L 2= 1 в точке 2 и L2= О в точке 1 .

и после обращения матрицы получим следующее выражение для Li и L 2 через физические координаты хх и х2:

В этой связи подчеркнем, что задание граничных точек линии точ­ ками 1 и 2 служит лишь для того, чтобы ввести естественные коорди­ наты, соответствующие полной длине этой линии. Если разбить весь отрезок на несколько сегментов, то внутренние и граничные точки обозначаются различным образом.

Естественные координаты позволяют в простом виде предста­ вить функции формы для линий, разделенных на любое число сег­ ментов. С этой целью удобно перенумеровать узлы согласно схеме на рис. 8.3(b). Самой крайней с левой стороны точке присваивается номер 0, а самой правой — номер т. Построение функции формы сводится к выбору интерполяционного полинома m-го порядка, проходящего через эти точки.

Обозначая вновь типичную степень свободы через i, выпишем формулу перехода к естественным координатам в виде следующей

выписать полную функцию формы, заметим сначала, что каждый узел может быть идентифицирован указанием положения относи­ тельно двух граничных точек элемента. Используем ниже индексы р и <7, где р обозначает число узлов, лежащих справа от рассматрива­ емой точки, a q — число узлов, лежащих слева. На рис. 8.4(b), например, три узла обозначены как 20, 11 и 02. Им соответствуют функции формы А/го» N Xi и N 02. Зададим теперь функцию формы в ви­ де

где Np(Lx) и Nq (L2) даются формулой (8.11) с соответствующей за­ меной i на р и q.

Для рассмотренного выше элемента имеем (при т = 2) N 2(Lt)=

=Li (2Li— 1), N 2(L2) = L 2(2L2— 1), Ni(Li)=2Lu N X{L2) = 2 U

Afo(Li)=Afo(L2)=0. Тогда представление функции перемещений в естественных координатах имеет вид (здесь узловые перемещения

с предыдущим заданием этой функции в терминах физических коор­ динат, необходимо определить преобразование координат, пред­ ставленных на рис. 8.4(b), к координатам на рис. 8.4(a). Приведен­ ное выше выражение оказывается тождественным с полученным для этого случая ранее, за исключением того, что нижние индексы у х

интегралы вида ^L^L\dx, где а — полная длина элемента. Одним

о

из преимуществ использования безразмерных координат Li и L 2 является возможность получения явного алгебраического выраже­ ния для выписанного интеграла [8 .6]. Чтобы показать это, заметим

функции формы следующим образом:

Д= ЛТД + ЛТД + ... + NmД Г 1 +

+ Л«+А + ЛГЯ+А + + Л ^Д у"1. (8.14)

где верхние индексы у Дх и Д2 (например, т —1) означают порядок производных по х . Теперь в нашем распоряжении имеется 2т ус­ ловий для построения каждой функции формы N t , так как каждая функция формы (или ее соответствующая производная) должна рав­ няться 1 , если Д (или ее соответствующая производная) вычисля­ ется для степени свободы, отвечающей N h и должна равняться нулю, если вычисления проводятся для любой из оставшихся (2т —1) сте­ пеней свободы. Следуя принятому в практике выбору полиномиаль­ ного описания функции поведения, заключаем, что существование 2т условий предполагает описание каждой функции N t полиномом порядка 2т—1 , т. е. полиномом, имеющим 2т коэффициентов. Таким образом,

Далее разрешаем полученные выражения относительно 2т ве­ личин а*. Указанные операции повторяем для каждой из 2т функ­ ций формы N t.

Вышесказанное можно проиллюстрировать на примере простого изгибаемого конструктивного элемента, изображенного на рис. 8 .6 . Так как предполагается, что на каждом конце поперечное перемеще­ ние w и его первая производная непрерывны, то т = 2. Здесь Д=до и в точке 1

Аналогичные равенства справедливы и для точки 2. Из (8.15) сле­ дует, что каждая функция формы в этом случае имеет вид

М ^аг+ аЛ + аА '+ аА * .

Рассмотрим теперь построение функции Ni. Вначале представим ее в виде W i= ai+ a2|+ a s i 2+fl4i 3- Полагая N i= 1 при х=0 и Ni=0 при x= L %a N\ = 0 на обоих концах х=0 и x —L , получим

(N ,= 1 при | = 0),

(УУ; = 0 при | = 0),

0 = (flj Н-а2+ д8+ а4) (Л^ = 0 при £ = 1),

откуда ах= 1 , а2= 0, а3= —3, а4= 2, поэтому iVx= 1—3£2+2£3. Ана­ логичным образом находим, что оставшиеся функции формы, зада­ ваемые первоначально с помощью (5.14а), имеют вид

М3=3£2—2£3, N 2= - X & - I)2, W4= - * ( £ 2- g ) .

8.4. Прямоугольные элементы

Чтобы обобщить концепцию интерполяции на двумерный случай и построить функции, которые однозначно определяются на каждой стороне прямоугольника с помощью заданных на этих сторонах и вершинах прямоугольника степеней свободы, можно использовать простое перемножение одномерных в направлениях х и у функций

Рис. 8.7. Интерполяция Лагранжа в двумерном случае, (а) Прямоугольник с били­ нейной функцией; (Ь) прямоугольник с биквадратной функцией.

форм. Изображенный на рис. 8.7(a) прямоугольник с узлами, распо­ ложенными только в его вершинах, для которого требуется найти линейное поле перемещений, служит примером указанной процеду­ ры. Имеем для компоненты перемещений Д (которая может быть и или v):

^ ( N lxNly) ^ + (NiXN ly)Ь 2+ (Ы 2хЫ2у)Ая+(Ыи М2у)А<, (8.16)